La projection est le plus proche vecteur dans le sous-espace

alors dans cette vidéo on va parler d'un sous espace v qu'on va considérer comme étant un plan qu'on va prendre un plan et on va regarder donc ça c'est mon souhait spa cvc - sous espaces c'est un sou aux espaces et on va s'intéresser à la projection d'un vecteur x ici on a avec tom hicks et on s'intéresse à la projection de x sur ce sous espace vais donc c'est quoi la projection de x sur ce souhait se passe ça va être un vecteur comme ceci donc ça c'est là je viens de le dire c'est la projection la projection sur v2 convecteurs x et ce qui va nous intéresser dans cette vidéo c'est de comparer la distance entre x et son la projection orthogonale donc c'est cette distance ici qui est noté en jaune et la distance qu'il existe aussi entre x est un vecteur v qui appartient à mon sous-espèce v est un vecteur v quelconque donc on va comparer la distance en jaune ici avec la distance envers ici la distance entre le vecteur x est un vecteur v quelconque du plan et on va essayer de montrer dans cette vidéo que la norme 2 x - la projection orthogonale 2x sur v la norme ou là à distance entre x et la projection orthogonale 2x sur v on va essayer de montrer qu'elle est toujours inférieur ou égal à la norme 2 x - un vecteur v quelconque de mons ou espaces verts c'est à dire que on va montrer que la distance entre x et la projection octogonale 2 x v est toujours inférieur ou égal à l'aide la distance entre x est un vecteur quelconque de mons ou espace donc pour ça la première chose qu'on va faire c'est qu'on va appeler ce vecteur à ce vecteur ici on va l'appeler le vecteur ah ça c'est le vecteur à et la vectra du coup c'est le vecteur x - la projection de x sur v ça c'est mon lectorat et on va appeler un autre vecteur aussi on va dire que ce vecteur ici ce vecteur là on va là on va l'appeler b et du cou qu est ce que c b b le vecteur b c'est la projection orthogonale 2x sur v - le vecteur v c'est bien ici si on on ajoute v + b on a bien le la projection au togo nal 2x sur vais donc maintenant qu'on a ça qu'est-ce qu'on peut faire on peut écrire la distance entre x et v et on va la mettre au carré x - v c'est quoi alors le vecteur x - v illégal ici donc c'est ce vecteur envers ici ça c'est le vecteur x - v est illégal à quoi il est égal au victor b plus le vecteur a donc si je prends ça au carré c'est égal à la norme 2 b plus à au carré est la norme de bplus à au carré c'est quoi c'est le produit scalaires deux mais plus ça par lui-même donc le dit le produit scalaires 2b plus à part lui-même par b plus plus à du coup maintenant ce produit scalaires je peux le développer j'obtiens le produit scalaires de b par lui même plus en fait le produit qu'à l'ère de ben et parlera plus le produit scalaires de à par b en fait du coup ça me fait deux fois le produit scalaires de à barbe et plus qu'est ce qu'il manque qui manque le produit scalaires de à part lui même le brusque à l'un d'eux à part a alors maintenant que vaut le produit ce cas-là de à part bbc à un vecteur qui est défini comme la différence entre deux vecteurs qui appartiennent avait or comme vous êtes un sou des espaces il est stable par addition donc b est aussi un vecteur de v est le vecteur à est le vecteur qui est défini comme x - la projection orthogonale 2x sur v donc il appartient aux compléments orthogonale devait donc on a un vecteur qui appartient aux compléments orthogonale devait scalaires un vecteur devait donc ça ça vaut zéro et il me reste la norme 2b au carré plus la norme de à au carré et ça puisque la norme de bo carré est forcément positive c'est forcément supérieur ou égal à la norme 2 à o car est maintenant puisqu'on sait que une norme est forcément positive on peut passer à la racine de chaque côté et on a que la norme 2 x - v est supérieur ou égal à la norme 2 à il nous reste plus qu'à remplacer à part son expression en fonction de heath et de la projection de x sur v et j'obtiens que la norme 2x moins vais donc qui représente la distance entre le vecteur x est le vecteur v est supérieur ou égal à la norme 2x moins la projection orthogonale 2x sur v oups donc ce qui veut dire que la distance entre x et sa projection automnale est toujours inférieur ou égal à la distance entre x est un vecteur v quelconque de mon sous-espèce vais donc voilà j'ai réussi à montrer à démontrer ce que je voulais donc ce qui veut dire que le projeter orthogonale et finalement c'est le vecteur de v qui est le plus proche de x