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Un autre exemple de la méthode des moindres carrés

Utiliser l'approximation des moindres carrés pour trouver une droite moyenne. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va prendre quatre points d'un plan donc on va prendre le point - 1 0 on va prendre le point 0 1 on va prendre le point 1 2 et on va prendre le point 2 1 je vais j'ai commencé par les dessiner sur un graphique donc si je prends mes deux axes comme ceci qu'est ce que je vais avoir donc je vais tracé ici je vais avoir un if i were deux ici genre un ici je vais avoir deux ici je vais avoir moins 1 donc qu'est-ce que j'ai le point 1 0 - 1 0 il est ici ce point ici le point 0 1 il est ici le point 1 2 il est ici et le point 2 1 il est ici r l'idée c'est que ce que je voudrais faire je voudrais tracer une droite qui passe par tous ces points et ça c'est un problème qu'on rencontre souvent science on a des points expérimentaux et on voudrait dégager une tendance coup on voudrait faire passer une droite qui passe par tous ces points mais ici on voit bien que c'est pas possible là on a on n'a pas une droite qui passe par tous ces points on peut trouver une droite qui veut passer par ces points ici si on peut trouver une droite qui passe par ces points ici on n'aura jamais une droite qui passe par les quatre points la fois donc qu'est-ce que ça veut dire que ça veut dire que si on considère nous ce qu'on voudrait faire c'est avoir une droite d'équations y égal à x + b qui passe par tous ces points en fait si on dit que ça c'est une fonction de x une fonction d'eux qu'est-ce qu'on a si on prend le premier point on a du coup ceux y est égal à f2 x qui est égal à excuser à x + b maintenant on peut l'évaluer en un point on a f 2 - 1 parce que x ici vaut bien moins un qui est égal à quoi qui est égal à issy xv au moins un nook ou avait - a plus b qui est égale y ici vos héros qui est égal à zéro de même façon si on prend le deuxième point on à f/2 0 qui est égal à zéro x a + b + b et ça c'est égal à un lucky grec is illegal à 1 si on prend le troisième point en rouge on a f 2 1 qui est égal à quoi du coup ce fait a + b a + b et ça c'est égal à y qui vaut deux le dernier point ce c'est le point violet cf 2 2 qui est égal à 2 a + b et ça c'est égal à 1 du coup ce qu'on voit c'est que ici on n'a pas de solution qui puisse vérifier les quatre conditions on a quatre conditions quatre équations on n'a pas de points qui vérifie les quatre équations à la fois mais par contre on peut passer ça sous un système de matrix donc si on passe si on considère ça comme une matrice qu'est ce qu'on va voir on va avoir une matrice qui va être moins un ici pour le move à 1 pour le b018 b a + b et 2 a + b ça c'est mon matrice fois mon vecteur qui aimons vecteur à b qui doit être égale à mon vecteur qui est ici ce qui est de ce côté là de l'équation donc 0 1 2 1 là j'ai juste mis sous forme matricielle ce système d'équations ici du coup ça je peux appeler une matrice que je vais appeler la matrice à ça c'est un vecteur que je vais appeler un vecteur x et ça c'est un vecteur que j'appelais le vecteur b du coup on voit que la en est on se remit dans des conditions qu'on connaît c'est quoi ces conditions c'est des conditions où finalement on n'a pas de solution on n'a pas de solution à l'équation ax et galbées quand on dit qu'on n'arrive pas à faire passer une droite par les quatre points ont dit qu'en fait on n'a pas de solution à l'équation ax et galbées et ça on l'a vu dans les vidéos précédentes des manants souhaite de trouver donc on va essayer de trouver un vecteur x étoiles qui va minimiser l'erreur qu'on fait dans cette fonction et du coup c'est un x étoiles tels que tel que l'a transposé de à foix à x x étoiles soit égal à la transposer de à fois mon vecteur b donc on a la matrice à on a le vecteur b du coup on peut calculer la transposer de à foix et on peut calculer la transposer de la fois le vecteur b donc c'est ce qu'on va faire alors la transposer de à qu'est ce qu'elle vaut elle vaut siens fait le calcul savent au moins 1 1 0 1 1 1 et 2 1 ça en soi cela que je dois x de matrice à la matrice ac - 20 1 0 1 1 1 2 1 donc ici j'ai une matrice 2 x 4 ici j'ai une maîtrise 4 x 2 du coup la matrice résultant de la multiplication cinéma fils deux fois deux sites une matrice 2 x 2 alors elle est égale à quoi sur le premier coefficient je revois - info - 1 1 plus 000 + 1 x 1 + 2 x 2 4 donc ça fait quatre plus un plus un ça fait 6 sur le 2ème coefficient ici je vais avoir fait ici j'ai que d un donc je vais avoir moins 1 + 0 + 1 plus donc ça fait deux ici je vais avoir je vois la même chose que je vais voir que les uns ici du coup je veux voir moins-10 plus simple de donc ça fait deux et ici je vais avoir que des 1 fois que d un donc ça fait un plus un plus un plus un ça fait 4 très bien donc ça c'est ma matrice la 10eme motrices transposer de à foix à laon nasa maintenant il faut calculer la matrice transposer de à x b donc ma matrice transposer de là je vais la faire sous donc ça fait moins 1 1 0 1 1 1 2 1 fois mon victoire b qui valaient 0 1 2 1 donc ça vaut quoi le vecteur transpole deux alphabets ici j'ai une matrice 2 x 4 ici j'ai une matrice 4 x 1 et du coup ça me donne un vecteur ou une matrice 2 x 1 6 g un vecteur avec deux coefficient ils veulent quoi ces coefficients donc je vais avoir moins 1 fois 000 points 0 une fois de 2,2 fois 1-2 donc ça fait 2 + 2 ça fait 4 4 et sur le deuxième ici j'ai que d un du coup ça va faire zéro au plus simple de plus un donc ça va me faire 4 et du coup ça on l'a dit c'est mon vecteur transposer de la fab est donc une fois que j'ai ça qu'est-ce que j'ai si j'avais écrit mon équation avec les valeurs de la transpose de la foi et les valeurs de transposer de la fois b/g que six mètres et 6 de 2,4 fois mon vecteur x étoiles est égal à mon vecteur 4 4 donc ça c'est l'équation jesse je remplace mon x étoiles par ses valeurs donc on va dire que x étoiles c'est un vecteur à étoile b étoiles donc j'obtiens que ici j'aime amatrices 6 2 4 fois mon vecteur avec ses coefficients à étoiles et b étoiles qui est égal à mon vecteur 4 4 donc ça en fait je pourrais le passé sous forme d'une matrice augmenté calculer la matrice échelonné réduite mais ici comme c'est un système assez simple finalement je vais résoudre les deux équations donc qu'est-ce que j'ai par rapport à la première ligne qui joue evra 6 à étoiles + 2 b étoiles qui est égal à 4 et la 2010 va voir deux à étoiles plus quatre baies étoiles qui est égal à 4 donc ça c'est mes deux équations et maintenant je peux résoudre ce système du coup ce que je vais faire c'est que j'ai commencé par multiplier la première ligne par deux donc si je fais ça je veux avoir 12 à étoiles + 4 b étoiles qui est égal à 8 maintenant ce que je peux faire c'est multiplier la deuxième ligne par mois 20 du coup je fais ça je vais avoir moins deux à étoiles - 4 est égal à -4 et maintenant je vais additionner les deux lignes entre elles donc si je fais ça qu'est ce que je vois je vais avoir 12 à étoiles - 2 étoiles donc ça fait 10 à étoiles + 4 b étoiles - 4 étoiles donc ça fait zéro qui est égal 8 - cat donc qui est égal à 4 donc ça veut dire que à étoile est égal à quatre dixièmes ou deux cinquièmes à étoile est égal à 2 sur 5 est maintenant je peux calculer b étoiles donc si je calcule belle étoile dans la première équation en remplaçant à étoile par sa valeur donc je vais avoir que 6 x 2 5e plus 2b étoiles est égal à 4 donc 6 x 2 5e ça fait 12 5e si je passe de l'autre côté j'ai que deux baies étoiles est égal du coup 4c 25e ça fait vingt cinquième - 12 cinquième donc ça fait 8 8 5e et si je divise par 2 g b étoiles qui est égal à 4/5 donc j'ai obtenu mon étoile qui édifie qui est égal à 2/5 j'ai obtenu mon bep et walt est égal à 4/5 donc j'ai obtenu ce que je voulais mon vecteur x étoiles qui est égal aux vecteurs 2/5 4/5 ça c'est mon facteur ix étoiles donc c'est ma solution des moindres carrés et du coup ça veut dire que maintenant je sais que là la droite qui va minimiser mon erreur la droite qui qui use je voudrais qu'elle passe par tous les points elle peut pas et du coup qui va minimiser mon erreur c'est la droite d'équations à étoile x x + paix étoiles et du coup c'est égal à la droite d'équations 2/5 x x + 4/5 donc si j'essaye enfin de la dessiner sur mon graphe ici alors donc je verrai crif l'équation de la droite c'est y égal 2 5e fois x + 4/5 donc quand x 0 il y vos quatre cinquièmes donc c'est quelque part ici quand x 2 1 ça fait 6 6 5e donc ça fait un petit peu au-dessus de 1 comme ça je vais voir quelque chose comme ceci est du coup ma droite avec la droite va être une droite qui va être comme ceci n'est pas très bien fait mais c'est l'idée ça la droite qui à cette équation là c'est la droite qui va minimiser mon erreur quand j'essaye de faire une droite qui passe par tous les points donc ça va être la droite qui va être la résultante de la solution des moindres km