Projections sur des sous-espaces

il ya un moment déjà on avait parlé de projection de pro g ctions et on n'avait pas parlé de n'importe quel projection avait parlé de projection sur une droite alors supposons qu'on ait une droite d aider on veut dire que c'est le mec tu on le définit comme le vecteur d'un certain vecteur v et du coup une autre façon de le dire c'est que ma droite d elle est égale à l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent sous la forme c'est une constante c'est fois un vecteur v avec ses qui appartient à air et du coup on avait parlé de projection sur cette droite donc si je dessine graphiquement ce que ça peut donner si j'ai mon axe y est mon axe x comme ceci et je considère une droite donc qui qui on va dire qu'elle passe par l'origine ni fils et ils passent par l'origine donc j'ai une droite comme ceux ci par exemple si j'ai une droite ça c'est ma droite des et je vais considérer un vecteur j'ai consulté un avec teurs comme ceux ci un vecteur quelconque x et je vais m'intéresser à la projection de x sur ma droite d alors on n'avait vu qu'une idée une façon simple de voir ça c'était de considérer condat de la lumière qui arrive perpendiculairement à ma droite d est en fait que la projection de x sur madame ma droite des correspond à l'ombre de x sur ma droite des camps la lumière arrive comme ça donc ici l'ombre de x ça correspond à quelque chose comme ceci a fait ici on a un angle droit donc ça ici ce que je représente c'est la projection sur ma droite d2 mont vecteur x et on avait vu que on pouvait écrire on pouvait connaître la projection de x sur ma droite d grâce à la formule donc si je prends la projection sur ma droite des de mon facteur x on avait dit que c'était égal au produit scalaires 2x par mon vecteur v qui génère madre wade / le produit scalaires devait pas lui même ce qui me donne le module devait au carré donc ça ça me donne amplitude est en fait la direction est donné bien sûr par v parce que la direction de ma production c'est bien ça cause bon n'y avait pas ce que la projection et sur ma droite des donc ça c'était une façon d'écrire la projection d'un vecteur sur une droite mais on avait montré cette expression que dans le cas de la projection sur une droite on a on n'a pas montré à quoi correspondait à la production sur un sou espace quelconque qui qu'ils soient qui ne soit pas une droite alors on a aussi dit récemment que si on considère sous espace v qui est un sous espace un sou espaces 2 et rennes alors alors on a le complément orthogonale devait le complément automnale de v qui est aussi un sou espaces et du coup on a vu qu'on pouvait écrire si on prend un vecteur x qui appartient à arn on a dit qu'on pouvait écrire x comme la somme d'un vecteur vais plus un vecteur w ou en fait les vw sont pas n'importe quels vecteurs ou v appartient à montsoult espace v et w appartient aux compléments orthogonale de se souder espace v fait ce qu'on dit ici c'est que si on parle on peut on peut très bien parlé de la projection sur mon souhait espace vais de mon facteur ix et en fait on dit que la projection de x sur mon souhait espace v ça correspond directement à mon vecteur vais donc qui est ici dans cette tête des compositions à est de la même façon si on parle de la projection sur mon souhait espace v perpendiculaire donc le le complément orthogonale devais de mon facteur x cette projection elle vaut quoi elle vaut tout simplement w c'est-à-dire ce vecteur ici alors pour aller un peu plus loin là dessus on va revenir sur l'exemple qu'on avait pris dans la vidéo précédente où on avait une matrice à qui s'écrit comme ceux ci un vecteur b qui s'écrit comme ceux ci et on s'intéressait aux solutions de l'équation ax et galbées et on avait vu du goût on connaissait le noyau de va qui était le vecteur du vecteur de 3 on connait c'est l'image de la transposer de acquis et elevate du vecteur 3 - 2 et on connaissait les solutions de l'équation ax et galbées qui est l ensemble des vecteurs qu'ils écrivent sous la forme d'un lecteur 3 0 plus ces fonds un vecteur de trois housses et appartient à m du coup ça on peut le représenter graphiquement alors on a notre axe y comme ceci notre axe x comme ceci est du coup on va commencer par présenter le noyau de a donc le noyau de à il est défini comme le vecteur du vecteur 2 3 donc ici un 2-1 2-3 donc là j'ai mon vecteur 2,3 et le noyer doit du coup c'est la droite qui est générée par le welt de ses lecteurs donc c'est une droite comme ceux ci là j'ai le noyau de à de la même façon on peut représenter les solutions de l'équation ax et galbées les solutions de la ligue les l'équation avec ses galbes et donc c'est le vecteur 3 0 donc qui est ici ça c'est mon vecteur 3 0 + 6 fois un vecteur 2,3 donc plus si on prend le vecteur 2 3 il est comme ceci donc les solutions de l'équation avec ses galbes et vont être sur une droite comme ceux ci qui va être parallèle à la droite représentant le noyau de ah ça c'est les solutions les solutions de ax et galbées solution de l'équation ax et galbées et enfin on peut représenter l'image de la transposer de à l'image de la transposer doit donc se définit comme le vecteur lecteurs 3 - 2 donc 3 - 1 - 2 donc il va être comme ces filles ici j'ai le vecteur 3 - 2 et l'image de la transposer de à c'est la droite défini qui est générée par ce vecteur donc être comme ceux ci ça je vais écrire c'est l'image de la transposer 2a et du coup ici on voit bien encore une fois que le noyau de à et orthogonale à l'image de la transposer de a en fait ça c'est tout à fait cohérent avec ce qu'on avait vu quand on avait dit que le noyau de à n'avait démontré que le noyau doit s' était égal aux compléments orthogonale de l'image de la transposer 2a et de la même façon que le complément orthogonale du noyau de a été égal à l'image de la transposer de a donc ce qui veut dire que tous vecteurs de r2 peut être décomposée selon un vecteur qui appartient au noyau a et un vecteur qui appartient à l'image de la transposer de à ça on peut le voir par exemple si on prend un vecteur comme ceci si on prend ce vecteur est finie en vert on voit très bien qu'on peut le décomposer selon un vecteur qui appartient à l'image de la transposer de a donc ce vecteur il va être comme ceci donc ça va être ce vecteur ici ici plus un vecteur qui appartient au noyau doigts qui va être ce vecteur ici si je prends un vecteur quelconque de r2 il peut décomposer selon un vecteur de l'image de la transposer 2a est un vecteur du noyau doigts et du coup maintenant si on prend un vecteur non plus un vecteur quelconque dr demain un vecteur qui est solution de l'équation ax et galbées par exemple je prends un vecteur comme ceci ce vecteur est sur la droite ici je lai est donc c'est bien une solution de l'équation ax et galbées et ce vecteur aussi peut être décomposée sont un vecteur de l'image de la transposer doha est un vecteur du noyau de a donc il peut décomposer comme ceci donc ça ça va être bien un vecteur du noyau de à l'âge est un vecteur du noyau de à est un vecteur de l'image de la transposer de a donc ce vecteur en rouge je vais des composés selon un vecteur qui appartient au noyau doigt est un vecteur qui appartient à l'image de la transposer 2a est ce qui est intéressant c'est qu'on avait vu que ce vecteur ici donc qui appartient à l'image de la transposer de à mékhé aussi une solution de l'équation ax et galbées on avait dit que c'était l'unique solution de l'équation avec ses galbes et qui appartient à l'image de la transposer de a et on avait vu que c'était le vecteur solution de l'équation a hissé galbées qui avait le plus petit module en fait ce qu'on voit ici c'est que ce vecteur là c'est en fait la projection d'une solution quelconque de l'équation a ici galbées sur l'image de la transposer de à quelle que soit la solution de l'équation ax et galbées qu'on consulte la projection de cette solution sur l'image de la transposer doha ça va être mon vecteur ici donc en fait si on appelle est ce une solution de l'équation haïti kenbe on dit que s est égal à air plus n ou r est un vecteur de l'image de la transposer doit donc ça va être mon vecteur hi-fi et n est un vecteur du noyau de à est en fait du coup la projection de s sur l'image de la transposer doigt sur l'image de la transposer de 1,2 du vecteur on a dit yves ecoeur s est égal à r en fait on peut retrouver le vecteur airs grâce à la projection sur l'image de la transposera d'une solution de l'équation ax et galbées donc parmi les solutions de x et galbées on a le vecteur 3 0 si on prend c'est égal zéro en a que le vecteur 3 0 est une solution de l'équation ax et galbées je veux marquer ici donc le vecteur x kiéthéga le vecteur 3 0 est une solution est une solution de l'équation ax et galbées et on a que la projection selon l'image sur l'image de la transposer 2 à 2 mon vécu teurs 3-0 à quoi c'est égal l'image de la trans'oise là on a dit que c'était une droite du coup on peut appliquer la formule qu'on a vu au début on peut appliquer cette formule à notre projection de maintenant et du coup si on fait ça qu'est ce qu'on a on a du coup que ça c'est égal à quoi aux produits scalaires de mon vecteur 3-0 par un vecteur de l'image de la transposer doit donc par exemple vecteur générateur qui est le vecteur 3 - 2 / le produit scalaires de ce vecteur par lui-même donc tu vecteur 3 - 2 par lui-même et fois le vecteur générateur donc les lecteurs 3 - 2 donc qu'est-ce que ça me donne ici si je calcule de produits scolaires donc ici j'ai 3 x 3 9 + 0 point - dont +0 donc ici j'ai neuf ici j'ai trois fois trois donc neuf moins deux fois moins deux donc se fait plus 4 donc ici g13 donc la projection la projection sur l'image de la transposer 2 à 2 montréal terre solutions30 est égal à quoi est égal à 9 13e 2 3 - 2 et du coup si je fais entrer le 9/13 de danger neuf fois 3,27 donc qui je vais avoir 27 13e et ici neuf fois moins 2 - 18 donc moins 18 13e et en fait ici j'ai retrouvé le qu'on avait trouvé dans la dernière vidéo qui est l'expression de mon vecteur r ici je n'ai obtenu d'une façon différente j'ai obtenu grâce à la projection sur l'image de la transposer de à d'une solution de l'équation ax et galbées ici j'ai pu le faire parce que mon l'image de la transposer 2a est une droite et du coup je connais une expression de la projection sur une droite d'un vecteur alors que je ne connais pas encore l'expression de la projection sur un sou espace quelconque d'un vecteur donc ça c'est ce qu'on verra dans la vidéo prochaine