Exemple utilisant une matrice de changement de base orthogonal pour trouver la matrice d'une application

on a vu dans les vidéos précédentes que si on prenait une matrice c'est qu'on va prendre une matrice n par cas qui est égal à du cou à ces vecteurs colonnes c1 c2 jusqu'à ces cas et si on suppose que les vecteurs que l'homme ne sont pas n'importe que - c'est-à-dire que on suppose que les vecteurs colonne forment un ensemble qui est ortho normal j'ai marqué ici on suppose que les vecteurs colonnes forme forment un ensemble un ensemble au retour normal or taux normal alors on a une propriété qui est intéressante on a vu que on a que la transposer de ces fois-là matrix et c'est égal à l'identité donc qui est la matrice ica est ce qu ici transposée de cette fois ci ça va être bien être une matrice cas par cas maintenant on peut se poser la question qu'est ce qui se passe qu'est ce qui se passe si on n'a qu'à qui est égale à la haine qu'est ce qui se passe alors dans ce cas là bien sûr de façon assez simple on sait qu'on va avoir une matrice carré on va voir ma matrix et qui va être une matrice carrés et à soi on a une maîtrise qui est carré et dont les vecteurs colonnes sont linéairement indépendant on a une matrice carrés dont les vecteurs colonnes sont généralement indépendants et donc la matrice et va être inversible à ce moment là la matrice et on sait qu'elle est inversible et du coup si la matrice et est inversible ça veut dire que sa matrice inverse existe et du coup on a que c'est moins un linverse de ces fois c est égal à l'identité humaine parce que la matrix c est maintenant une matrice elle parraine donc en fait dans ce cas là on a ici on à irène fishie la matrice c est une matrice elle parraine on a l'a transposé de cette fois c'est qui est égal à irène mais recevant là on voit que on a deux choses qui sont intéressantes on a l'a transposé de ces fois c est égale aliens on a que l' inverse de ces fois c est égal à irène donc en fait si on a une matrice elle parraine dont les les vecteurs colonnes dont les vecteurs colonnes forme à un ensemble qui est au retour normal forment un ensemble hors taux normal au retour normal alors alors qu'est ce qu'on a on a que la transposer de cette fois ci était gallienne l' inverse de ces fois cité aérienne donc ça veut dire que l'un vers l' inverse de ma batterie c est égale à la transposer de ces ça c'est extrêmement intéressant pourquoi parce que l' inverse d'une matrice finalement c'est assez compliqué jusqu'à une matrice trois par trois ça va mais si on va une matrice 10 par 10 par exemple calculer son inverse est extrêmement compliqué alors que calculée calculer la transposer de cette matrice finalement ça reste assez simple donc on va voir comment on va pouvoir l'utiliser pour ça on va prendre un exemple on va prendre trois vecteurs on va prendre un vecteur v1 qui est le vecteur deux tiers - deux tiers un tiers un vecteur v2 qui est le vecteur deux tiers un tiers est moins deux tiers est un vecteur v3 qui est le vecteur 1/3 2/3 de diers donc j'ai essayé trois vecteurs on peut on peut montrer que les trois vecteurs sont normalisées c'est-à-dire qu'ils leur module est égal à 1 on peut montrer que ces vecteurs sont aussi orthogonaux entre eux et que du coup ils forment ensemble une base hors taux normal alors maintenant on va regarder si on regarde le plan formé par v1 et v2 donc je vais avoir v1 comme ceux ci ça cv 1 je vais avoir v2 comme ceci est du coup ensemble ils vont former un plan je vais essayer de représenter v1 et v2 vont former un plan dans r3 est chiant on est bien dans r3 r3 et du coup ce plan il chante on a dit que v3 il était orthogonale avait enlevé deux donc v3 va être orthogonale à ce plan formé par v1 et v2 donc on peut représenter v3 comme ceci fait 3 c ce vecteur là il est orthogonale au plan formé par v1 et v2 donc ce plan ici ce plan on peut l'appeler on peut l'appeler sous espace v et on dit qu'il est égal au vectes on la construit comme étant égales vectes de v1 et v2 alors maintenant une fois qu'on a qu'on a ce plan on va regarder en fait une application linéaire un peu spéciale de r3 on va regarder une application lunaire qui a un vecteur quelconque x qui je fais un vecteur x qui est quelconque qui est pas compris dans le plan on suppose que x n'est pas compris dans le plan et c'est l'application linéaire qui a x associe la réflexion de x par rapport à aux plans vais donc qu'elle est là la réflexion de x ou la symétrie cpt 2x par rapport à ce plan par exemple ici si on le dessine on va avoir ça va être un vecteur qui va être comme ceci ça c'est le vecteur qui est issu donc de la réflexion de x par le plan ou donc on va l'appeler jt de x donc de la même façon si on prend un autre vecteur un peu quelconque du du plan on prend un vecteur comme ceux ci et on suppose qu'il n'est pas dans le plan à ce moment là la tde xt de ce vecteur la transformer ces vecteurs ça va être ce cet autre vecteur ici et du coup si on regarde pour nos trois vecteurs qui nous intéresse ça vaut quoi si on regarde tes 2v 1d deviens c'est assez facile v1 il appartient aux plans donc la réflexion devient par rapport au plan c'est lui-même qui devient c'est égal avec lui même la même façon et b2c quoi fait de appartient lui aussi au plan donc la transformer 2 v 2 par cette application l'air s'est lui même sauvé deux et si on regarde maintenant la transformer 2 v 3 qu'est ce que devient v3 par réflexion sur le plan v en fait ça va être un vecteur qui va être comme ceci vu que v3 et orthogonale au plan t2 v3 ça va être égal à - v3 donc finalement c'est assez facile de trouver comment ces vecteurs vont être maudit commencé trois vecteurs ici vont être modifiés par mon application in her c'est pas forcément évident de trouver ce qui se passe dans le cas général à 26 6 si je considère un vecteur x quelconque je sais que pour aller de x à thé de x je dois multiplier x par une matrice à mais la matrice à dans ce cas elle va pas être évidente à trouver ça va être une matrice trois par trois et pour trouver les coefficients de à ça va pas être évident mais ici ce qu'on a fait c'est qu'on se place dans la base canonique de r3 canonique est ce qu'on peut faire pour simplifier le problème c'est changer de base passer dans une autre basée à ce moment là on va passer des coordonnées de x dans la base canonique aux coordonnées de x dans la base b en multipliant par l' inverse d'une matrice c est la matrice et c'est la matrice de passage ou la matrice de changement de base de la base canonique à ma base b ici c'est une base b du coup je peux passer d'eux des coordonnées du x aux coordonnées de x selon la base b ensuite je peux passer décoré du x dans la base b aux cours donnés de thé de x selon cette même base b en multipliant par une certaine maîtrise des et ensuite je peux repasser jusqu'au coordonnées de tjx dans la base canonique en multipliant par mme amatrice de changement de base c'est donc l'idée c'est que je pars en fait d'un t2 x qui est égal à à x x et en fait le problème c'est que ma batterie ça il va être difficile à trouver et en fait je simplifie le problème en changement de base en changeant de base parce que je sais maintenant que j'ai que tu es 2 x c'est égal à quoi c'est égal x pour passer de x aux coordonnées de x dans la base belge multiplie par l' inverse de ces donc c'est moins un pour passer de les coordonnées du x dans la base b au cours de l'été de mix dans la base belge x la matrice des haies pour passer des coordonnées de thé 2x dans la base b aux coordonnées de thé de mix dans la base canonique je multiplie par la matrice est donc voilà donc en fait je suis passé d'une matrice à à une matrice c'est des inverse de ces qui est peut-être plus facile à trouver surtout que si je dis que b est une base hors taux normal b c'est une base hors taux normal or taux normal c'est à dire si je prends b comme une si je prends une base hors taux normal pour b qu'est ce que je vais avoir en plus je vais avoir que la transposer de ces fois c est égal à l'identité en plus je sais que l' inverse de ces existe et du coup je sais c'est ce que j'ai vu en début de vidéo que l' inverse de ces est égal à transposer de c est du coup qu'est ce que je sais je sais que à elle est égale à la matrix et fois la matrice des fois en fait je remplace l' inverse de ses parts à transposer de c'est donc une fois que j'essaye moi juste à choisir la bonne bonne ici en fait de façon assez intuitive on peut choisir la base composée des vecteurs v1 v2 et v3 et du coup ci c'est ça qu'est ce qui va se passer donc je dis que ma base b elle est égale au à l'ensemble des vecteurs v1 v2 et v3 et en fait on a vu dans les vidéos précédentes que à ce moment là avait un on peut l'écrire comme une fois v1 + 0 x v 2 + 0 x v3 et du coup les coordonnées de v1 selon la base b c'est égal à quoi ces gars là une fois bien plusieurs fois v2 plusieurs os x v 3 donc c'est le vecteur 1,00 et de la même façon si je prends les coordonnées de v2 selon la base b savez trés callacois v2 c zéro x v un plus une fois v20 fois v3 donc ça va être ses coordonnées fille et v3 les coordonnées de v 3 selon mme abbas b ça va être bien sûr 0 fauvin +0 fauvet 2 + v3 donc c'est le vecteur 0,01 alors maintenant la matrice de changement de base je peut la trouver je vais le faire après il faut déterminer la matrice des la matrice des on avait déjà fait quelque chose comme ça on avait dit que on dit que la matrice d c'est une matrice une matrice 3 3 avec trois colonnes et c'est une matrice où les trois vecteurs colonnes on va les appeler d1 d2 et d3 ils veulent quoi d1 d2 et d3 si on regarde ce que vous la tde v1 selon la base b ça vaut quoi ça vaut des fois les coordonnées devient selon la base b donc c'est égal à d 1me matrice des d1 d2 d3 x v 1 selon la base b donc c'est j'ai ici c'est le vecteur 1,00 et du coup ça ça vaut quoi ça vous une fois d un + 0 x d2 plusieurs fois détroit donc ça fait c'est égal à t1 donc je sais que ma colonne des seins elle vaut les coordonnées de tête v1 selon la base b et de la même façon je vais avoir que tu es de v2 les coordonnées de tv2 selon la base b si je fais le même calcul je vais avoir des 2 v 2 d x v 2 selon la vsv donc ça va être d1 d2 d3 fois le vecteur 010 et du coup ça me faire ça va être égal à des deux et du coup je peux remplacer des deux par cette expression est enfin si je calcule les coordonnées de tv3 selon mme abbas b ça va me donner de la même façon je vais avoir des seins des deux des trois fois le vecteur 001 et du coup ça va me donner des trois des trois donc j'obtiens que ma matrice d elle est égale à quoi est légal à la matrice dont les vecteurs colonnes sont et de v1 les coordonnées de tv 1 selon la base b les coordonnées de tv2 selon mme amos b et les coordonnées de tv3 selon ma base b donc maintenant il faut que je calcule ses coordonnées qu'est ce qu'ils veulent on a vu ici on a vu au dessus que alors t'es tu reviens en a dicté gall avait intégré de égale avait deux t2 t3 et gala - v3 donc je vais leur écrire ici j'ai dit que tu es devez 1 c'est égal avait un t2 v2 c'est égal un v2 et tv3 c'est égal à v3 et nous ce qui nous intéresse et les coordonnées de thé devait intégrer deux été levée trois par rapport à b si je calcule par rapport à b ça me faire quoi ça à faire les coordonnées de 20 par rapport à b donc ça ça va être un 0 0 les corps de tv2 par rapport à b ça y est les coordonnées de v2 par rapport à b donc ça va faire quoi ça va faire le vecteur 010 et à issy lui son pays si c'est moins v3 donc les coordonnées de tv3 par rapport à b c les coordonnées de - v 3 par rapport à b et du coup ça fait quoi - v3 en fait zéro v10 v2 moins une fois v 3 - 1 donc j'ai que ma matrice d elle est égale à quoi elle est égale à la matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 c'est pas la matrice identité parce que j'ai au moins ici mais ça y ressemble pas mal et du coup maintenant si je veux calculé à à ça va être ça va être quoi ça va être la matrice c'est d'être transposé de ces alors matrice c'est ça va être quoi matrix et si je regarde mes vecteurs c'était quoi c'était deux tiers - 2/3 1/3 fins et vient v2 v3 donc je peux écrire ma matrice c'est ça va être qu'en fait je vais mettre le 1/3 en préfecture ça va être un tiers fois de moins de 1 de 1 - 2 et 1 2 2 ça ces matrices c'est fois du coup ma matrice d qui écrite juste ici donc c'est un 0 0 0 1 0 et 0 0 - 1 sas et novatrice des fois la matrice transposer de ces qui est la matrice un tiers fois et du coup les ma première colonne devient la première ligne de moins de 1 ensuite 2 1 - 2 et 1 2 2 donc voilà donc maintenant il me reste plus qu'a donc alors je vais écrire ici c'est la matrice d ici c'est la transposer de c'est donc maintenant il ne reste plus qu'une chose c'est à faire un peu de calcul matricielle qui peut être un peu fastidieux mais qui n'est pas forcément très compliqué donc je m en pré facteurs le 1/3 font un tiers donc un neuvième un neuvième et je vais calculé pour commencer le produit c'est fouad est alors donc c'est le produit de deux matrices trois par trois donc ça va faire une matrice trois par trois et qu'est ce qu'on va avoir ici on va avoir pour le premier coefficient donc ça va être deux fois 1 2 plus zéro plus zéro donc ça fait deux pour la deuxième je vais avoir donc deux fois 0-0 plus deux fois de plus une fois zéro donc ça fait zéro donc ça fait deux et il me reste le dernier ou en fait je vais avoir uniquement moins un point du coup moins 1 du coup pour le deuxième ça va être la même chose je vais avoir moins deux fois un + 2 0 - 2 je vois une fois un plus et euros donc ça me fait un efi je vais avoir deux fois moins du coup se fait moins 2 et la donna ligne je vais avoir une fois donc ça fait 1 je vais avoir moins de foin du coup ça me fait moins deux et deux fois moins tout ça fait moins deux du coup ça c'est la matrice c'est fouad et et je vais réécrire la matrice transposer de c'est donc de 2 1 - 2 1 2 1 - 2 2 et voilà elle du coup il me reste plus qu'à faire ce calcul matricielle ici donc ça aide et encore une fois c'est le produit de matrice de deux matrices trois par trois donc ça fait une matrice trois par trois je vais écrire le vingt neuvième pour pas l'oublier devant et du coup j'ai à voir quoi le premier coefficient ça fait 2 fois 2 4 + 2 x 2 4 - 1 du coup ça me fait cet premier coefficient c'est cette deuxième coefficient ça me fait deux fois moins 2 - 4 + 2 - 2 du coup ça me fait moins 4 - 4 le dernier que le chien ça fait 2 - 4 - 2 du coup ça me fait moins 4 en dessous je vais avoir moins 4 + 2 - 2 du coup ça fait moins quatre ans huit mois pas moins de tout ça fait plus 4 + 1 - 4 du coup ça me fait un et - 2 - 2 - cas du coup ça me fait moins 8 et la dernière ligne et j'ai quoi j'ai 2 - 4 - 2 du coup ça me fait moins 4 ensuite j'ai moins de moins de moins qu'à du coup ça me fait moins 8 et 1 + 4 - 4 du coup ça me fait un voilà donc la sema matrix qui aima matrice c'est des transports etc donc c'est égal à ma batterie sa matrice à l égale à ça et du coup j'ai réussi à trouver je sais que maintenant tu es 2 x illégal a à x x et j'ai réussi à calculer ma matrix a sans trop de problème alors que finalement ça aurait été extrêmement compliqué de trouver ça sans passer par cette base qui nous a permis de simplifier le problème voilà j'espère que c'est clair pour toi je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo