Exemples : trouver la projection sur un sous-espace muni d'une base orthonormale

dans les dernières vidéos on a parlé de base hors tout normal de base ortho nord normale d'un sous espace fait d'un sous espace un sou espace v et on a parlé dans la dernière vidéo de la projection d'un vecteur hic sur v projection sur v d'un vecteur x et on a dit que dans le cas où on en avait une base hors taux normal pour v la projection se se simplifier en à foix à 30 la transposer de la haf x la transposer doit x x ou la matrice à la caisse que celle où la matrice à elle est égale à une matrice où on a les vecteurs que lon v1 v2 jusqu'avec a qui sont en fait les vecteurs d'une base hors taux normal donc ces vecteurs là ce sont les vecteurs d'une base d'une base au retour normal or taux normal devaient donc en fait dans le cas où on prend une base or tu normal pour v la projection de xserve et se simplifient et le calcul matricielle peut se faire assez facilement du coup ce qu'on va faire ici on va faire exactement ça on va prendre un exemple donc on va prendre un sou espace v qui est le vecteur de quoi lever ctbt de un premier vecteur qui est le vecteur 1/3 2/3 deux tiers ça c'est le premier vecteur est le deuxième vecteur c'est le vecteur de tiers un tiers est moins deux tiers donc ça on avait déjà vu que en fait ces deux vecteurs avait normes un module égal 1 on avait vu qu'ils étaient orthogonaux entre eux et du coup qui forme et qu'ils étaient linéairement indépendante du coup si on prend l'ensemble formé par le vecteur v1 on va appeler ce vecteur la v1 et ce vecteur la v2 l'ensemble formé par le vainqueur v1 et v2 il est en fait c'est une base hors tout normal devaient base hors taux normal or taux normal devaient parce que les vecteurs sont normalisées ils sont orthogonaux entre eux et du coup y formule 1 une base de v et du coup on a que la projection sur v2 un vecteur x quelconque c'est égal comme on l'a écrit ici à a fois la transposer de à x x ou cette fois ci aille vaut quoi ah c'est égal à la matrice 1/3 2/3 de tiers 2/3 1/3 - 2/3 sacema matrice à et du coup maintenant je peux essayer de faire le calcul de à transposer doigts ça vaut quoi donc si j'avais écrit ma matrix a ici donc ça fait ch et la réécrire un tiers deux tiers 2/3 deux tiers un tiers est moins deux tiers donc c'est assez matrix a maintenant il faut que la multiplier avec la matrice transposer de à la matrice transposer de à ça va être quoi ça va être la matrice un tiers donc en fait la première colonne va me donner la première ligne ça fait un tiers 2/3 de tiers et la deuxième colonne va me donner la deuxième ligne donc deux tiers un tiers moins deux tiers donc ça c'est une matrice 3 x 2 3 x 2 ça c'est une matrice de foix iii donc en fait le produit de la matrice afu à transposer de à ça va me donner une matrice 3 x 3 et c'est normal vu qu'en fait je pars d'un vecteur x qui est dans r3 je vais arriver avec un vecteur qui est la projection de ic survécu aussi dans r3 du coup j'ai bien une matrice au final qui doit être matrice trois par trois et du coup elle est égale à quoi elle est égale à donc je vais faire fi la matrice donc alors je vais avoir pour le premier coefficient je veux avoir un tiers fois un tiers 9 et un neuvième +2/3 fois deux tiers donc ça fait plus 4/9 qu'on fait ici je vois je veux toujours avoir un quelque chose fait divisé par neuf donc je m un neuvième en préfecture est comme ça ça va simplifier l'écriture de matrix donc si j'ai dit un neuvième plus 4/9 donc ça fait 5 9e le 9 mai je les écris ici ensuite ici je vais avoir un un tiers foi de tia donc ça fait 2 9e ça fait 2 + 2 donc ça fait 4 4 ici je vais avoir une fois de deux plus deux fois moins d'eau du coup moins 4 s'est faite de -4 fait - 2 - 2 en dessous ici je veux avoir du coup sûr la deuxième ligne deux fois un de plus à une fois 2-2 du coup ça fait 4 ici je vais avoir deux fois 2 4 plus une fois un du coup ça fait 5 ici je veux avoir deux fois 2 4 - enfin plus une fois moins 2 du coup moins deux coups de feu 4 - 2 ça fait deux ici je vais avoir deux fois 1 2 - 2 x 2 - 4 donc ça fait moins deux ici je veux avoir deux fois 2 4 - 2 du coup ça fait deux et ici je vais avoir deux fois 2 4 plus moins deux fois moins 2 du coup plus 4 donc ça fait 4 + 4 ça fait 8 donc voilà en fait très simplement je vois que j'ai réussi à obtenir la matrice à transposer de à qui est cette matrice ici que j'ai obtenu finalement assez assez simplement alors que si je n'étais pas dans une base or tu normal il l'aurait fallu que soit c'est un calcul beaucoup plus compliqué et il file le fait d'avoir une base hors taux normal m'a énormément simplifié le calcul