Projections sur des sous-espaces munis de bases orthonormales

dans la vidéo précédente on a on a continué à parler des bases hors taux normal des bases hors taux normal et on a dit que ses bases au taux normal étaient des systèmes de coordonner des bons système de coordonnées et on avait vu une première raison pour laquelle faisait des bonds système de coordonnées et cette première raison c'était parce que c'était facile de trouver les coordonnées d'un vecteur selon ses bases donc ça c'est la première raison pour laquelle ça fait des bonds système de cordes année c'est que c'est facile de trouver les coordonnées les coordonnées d'un vecteur selon cette base en fait dans cette vidéo on va voir une deuxième raison pour pour laquelle les bases ortner mal font un bon système de coordonnées donc pour ça va se placer dans un sou espace v 2 et rennes donc on prend v1 sous espace de rn et du coup on va on va prendre une base de vecchi et on va prendre une base b qui est composé des vecteurs v1 v2 vraiment je me sentais crn la v2 et jusqu'à vk donc gk vecteur d'un sous espace de rnb c'est une base hors taux normal or taux normal de mons ou espace v et du coup je vais prendre un vecteur x qui appartient à arn donc notre bien que x il appartient à arn il appartient pas à pas vers il appartient fn et du cou si j'ai xcs parti à rennes j'avais vu dans il ya un moment dans une vidéo où donc pas mal de vidéos j'avais vu que x peut s'écrire comme un vecteur v qui appartient à mon sous-espèce vais plus un vecteur w qui appartient aux compléments orthogonale devait donc je vais écrire ou v le vecteur v appartient à mende sous-espèce b&w appartient aux compléments orthogonale devait et on avait vu on a on est passé pas mal de temps là-dessus où on avait vu que v en fait c'était la projection orthogonale de 2 x sur vbc projection sur mon sous-espèce v du vecteur x et du coup on avait vu que si on prenait une matrice à qui était la matrice former des vecteurs colonnes de la base donc devait donc v1 v2 éclairage kvk on n'avait que la projection de x sur v on pouvait l'obtenir à partir de cette matrice à c'était à fois la transposer de à foix à dont on prend linverse fois la transposer de à x x donc voilà la projection est une application linéaire on peut l'écrire sous la forme d'une certaine matrice x x mais on voit que cette matrice elle et elle est assez difficile à obtenir il faut trouver la transposer de a ensuite faire là le produit de la transe feu de la fois et prendre son inverse et c'est donc c'est assez compliqué à obtenir en général et on va voir maintenant ce qui se passe dans le cas où en fait ma base est une base hors taux normal donc si je dis que mon vecteur x x je peux l'écrire ça on l'a vu je veux écrire comme c'est un v1 plus c2e2 plus et cetera jusqu'à ses kvk donc ça c'est mon vecteurs c'est mon vecteur v on peut aussi dire que c'est là la projection sur vais de mon mec là x plus il manque un terme plus le vecteur w et ça on peut faire comme on a fait dans la dernière vidéo on peut voir qu'est ce qui se passe si je prends le produit scalaires 2x par pays donc je prends un vecteur véhic et im vecteur de ma base b scalaires x qu'est ce que ça va me donner ainsi je considère danser dans cette expression le produit scolaires devaient y paris x je vais avoir quoi je vais avoir c'est un x v é v é scalaires est un plus ces deux pays scalaires v2 plus jusqu'à c é v é scalaires pays plus etc ckb i2i j'ai dit ce qu'elle hervé kam plus il manque véhi scalaires w ça ressemble à ce que j'ai fait dans la dernière vidéo donc de la même façon on va voir est ce qu'il ya des choses qui simplifie alors ma base est une base hors taux normal donc je sais que le produit scalaires de v hyper v ainsi il est différent de 1 ça ça vaut zéro de la même façon s'il y est différent de deux véhicules rv2 savons 06 il est différent de cas vu qu'elle avait qu'à ça vaut zéro on sait que risquer leur vie ça vous a vu que la base et et tord taux normal donc tous les vecteurs sont normalisées donc le produit scalaires d'un vecteur de la base par lui-même ça vaut 1 et il manque ce terme là qui est véhiculaire w on sait que w appartient ou complément orthogonale devait et s'il appartient aux compléments tout bonal devait ça veut dire qu'il est orthogonale à tous les vecteurs devait donc notamment il est orthogonale aux vecteurs de la base de v donc il y retourne à la vie donc vie est orthogonale à w et le produit scalaires vaut zéro et du coup comme dans la vidéo précédente on a vu un scalaire douce calais x pardon qui est égal à ses eee alors que ici là la différence par rapport à la vidéo précédente c'est que dans la vie des précédentes on avait dit que x appartient à v ici c'est pas le kx il appartient arn il appartient pas forcément avait vu que x il écrit comme v + wwe lappartient pas avec mes jeux j'ai quand même que c'est y est égal à x scalaires véhi donc qu'est-ce que ça signifie ça signifie que la projection sur vais de mon veto x je peux l'écrire comment je peux l'écrire comme il ya en fait je vais remplacer les c é par le produit scolaire ici donc j'ai vais un scalaire x fois le vecteur v1 plus v2 ce qu'elle est x fois le vecteur v2 plus et cetera jusqu'à vk scalaires x ce qu'allait xx x vk alors si tu te souviens on avait vu un cas un peu similaire on avait parlé de la projection de la projection de x sur une droite d on avait dit que si on prend une droite une droite des qui est égal à l'ensemble des vecteurs tréfois eu ou t appartient à m si on suppose que huet un vecteur qui est normalisée on dit que la projection de x sur ma droite des c'est égal à quoi c'est égal au produit scolaire 2 x par une fois mon vecteur eu en fait c'est exactement ce qu'on a ici c'est ici on a x qu'elle a eue fois ui si on a vait indiqué la x x vient donc en fait la projection de x sur v on peut le voir comme la projection la somme des projections de x / en fait toutes les droites porté par les vecteurs de ma base donc la lap si c'est la projection de x sur la droite porté par v1 plus la projection de x sur la droite porté par v2 etc etc c'est une autre façon de voir en fait la projection de x sur le sous-espèce vais donc ça c'est une façon d'obtenir mon vecteur la projection de x / vais-je peut l'obtenir assez simplement finalement comme ceci mais on était parti sur ce produit matricielle ici j'aimerais voir si finalement le fait qu'on ait une base hors taux normal est ce qu'on arrive à simplifier ce calcul ichi donc si je repars de ça j'ai que la projection sur v2 mon facteur x on a dit que c'était égal à a fois l' inverse de transposer de la fois à fois transposé de à x x et du coup a ici à ckoi c'est la matrice v1 les colonnes sont les vecteurs colonnes de ma base donc v1 v2 jusqu'à vk et du coup je vais commencer par essayer de simplifier ce terme ici la transposer de la fois ça donne quoi alors la transposer de à foix à elles ont déjà assez une matrice c'est une matrice une fois cas vu que les vecteurs appartiennent arn et gk vecteur donc c'est une fois qu'a donc là la transposer de hassi une matrice cas fois n fois une matrice n fois qu'a donc au final je vais obtenir une matrice cas fois cas et donc ces gars-là quoi ça alors ma matrice transposer 2 1 c'est une matrice où je vais avoir la première ligne qui va être égal à la transposer de mon premier vecteur colonnes je vais avoir transposé de v1 ça ça va être ma première ligne 2e ligne qui veulent transposer de v2 etc jusqu'à la transposer de v kvk donc ça c'est ma matrice transposer de la fois ma batterie ça qui est in m'attriste donc c'est celle que j'ai écrit au dessus 1 v1 v2 jusqu'avec à ça c'est des vecteurs colonnes à chaque fois et du coup alors que vos transposer de la fois je vais faire matrix assez large là pour pouvoir un peu détaillé ce qui se passe qu'est ce que ça vous fait chaque coefficient ça va être un vecteur ligne fois un vecteur colonnes donc si je prends le premier coefficient ici qu'est ce que je veux obtenir ça va être v un scalaire v1 en fait ça va être la première ligne fois la première colonne donc v un scalaire v1 mais vu que ma base et ortho normal vais installer revient ça vaut 1 on le sait ça si je continue sur la diagonale le deuxième coefficient la diagonale savez de quoi ça va être vu deux scolaire v2 donc ça vaut un aussi et la même façon si on continue sur la diagonale à chaque fois on va avoir le vecteur véhicules hervé y donc ça vaut un donc sur ma diagonale je vais avoir des 1 partout je vais avoir des seins partout sur la diagonale nancy je regarde hors de la diagonale qu'est ce que je vais obtenir par exemple si je regarde ce terme ici ce terme ici c'est v un scalaire v2 c'est la première ligne fois la deuxième colonnes de as donc je vais avoir ce coefficient ici ça va être v 1 d un scalaire v2 et vient scalaires v2 s'avoue quoi ça vaut zéro vu que ma base et hors temps normal le produit scalaires deux pays par vj est égal à zéro si les différentes jj si bien qu'à la même façon si je regarde le coefficient qui suis je vais avoir v un scalaire v3 donc ça ça vaut zéro et du coup sur la ligne tu vas voir que des 0 jusqu'à v un scalaire vecteur qui vaut aussi 0 maintenant si je regarde sur la deuxième ligne si je regarde ce coefficient ici je vais avoir quoi ça va être je vais prendre une autre leur ça va être la deuxième ligne de la transposer de à foix la première colonnes de as donc ça fait quoi ça fait ici je vais marquer le fils a fait v2 scalaires v1 et v2 calais revient ça vaut aussi 0 et ensuite ici je vais avoir du coup je vais avoir v2 qu'à l'ére v3 qui vaut 0 coup je dois voir que 2 0 et du coup en fait je vois que hors de la diagonale je vais avoir que dvi scalaires vj avec les différents devis du coup je vais avoir des zéro partout ici je peux remplir deux héros tout matrix voilà donc matrice ici qu'est une matrice cas par cas qu'est ce qu'elle veut elle a des seins sur la diagonale et des zéro partout ailleurs donc c'est la matrice identité cas par cas donc c'est la matrice identité ica et je vois que du coup ça simplifie énormément pourquoi parce que maintenant vu que si j'ai une base juridique si j'ai une base hors taux normal or taux normal alors transposer de à foix à savon c'est égal à l'identité donc si je prends maintenant l' inverse de la transposer de à froid à ça vaut quoi ça vole inverse de la matrice identité et l' inverse de la matrice identité quoi c'est quoi c'est la matrice identité elle même donc donc je peux maintenant simplifiée ici qu'est ce que j'obtiens j'obtiens que la projection la projection sur vais de mon facteur ix on a dit que ça va aller à foix linverse de la transposer deux fois à fois la transposer de à x x dans le cas d'une base au taux normal ça simplifie linverse c'est égal à l'identité donc ça fait à foix l'identité fois la transposer de à x x ici je peux ignorer la transposer de à milieu donc ségala à fois la transposer doit x x donc j'avais écrit ici c'est la projection de x sur v qui est égal à ça donc je vois que j'ai énormément simplifié mon calcul je suis passé d'un calcul où il fallait déjà que je calcule transposer de à foix donc ça prend du temps dans le cas général il fallait que je prenne linverse de cette matrice donc ça ça me prend énormément de temps et ensuite que je continue à faire du calcul matricielle alors que dans le cas d'une base hors taux normal mon calcul c'est énormément simplifié j'ai plus qu'à calculer à fois la transposer deux as et a multiplié par le facteur x donc le fait d'avoir une base hors taux normal m'a énormément simplifié mon calcul alors par contre il faut faire attention ici gély khl basse transposer de à foix à cette égal à l'identité ça veut pas dire que à fois la transposer cela sera égal à l'identité ça il faut quand même que je le calcul et ça me donnait quelque chose qui sera pas égale à l'identité et du coup voilà ensuite j'ai que a multiplié par un facteur ix pour obtenir la projection sur vais de mon facteur x donc j'espère que tu as compris que c'est encore une autre utilité un autre intérêt à avoir des bases hors taux normal voilà à bientôt