Coordonnées dans une base orthonormale

alors dans cette vidéo on va continuer à parler de ce qu'on avait introduit dans la vidéo la dernière vidéo c'est les bases or tout normal les bases or taux normal on avait défini ce que c'était une base hors tout normal mais on n'a pas encore dit à quoi ça sert une base au taux normal est en fait dans cette vidéo on va voir que les bazars taux normal elles sont utiles parce que elles fournissent un bon système de coordonnées donc un bon système de coordonnées alors là je te dis ça pour l'instant j'ai absolument rien prouver j'ai même pas défini entre guillemets ce que ça veut dire un bon système de coordonnées mais on va voir ça justement dans cette vidéo donc si on prend déjà une base or tu normal qu'on connaît bien c'est la base canonique de rn si on prend la base canonique de rn2 est reine qu'est ce que c'est la base canonique de rnc l'ensemble des vecteurs ou en fait le premier vecteur ça va être un vecteur on va voir un au début puis que des 0 le deuxième vecteur on va avoir 1 0 1 1 en deuxième position puis que des zéros et caetera et on va pouvoir aller comme ça jusqu'au énième vecteur le énième vecteur savez de quoi se mettre que des zéros que des zéros que 2-0 et 1-1 en 1e position donc en fait les vecteurs de la base technique de r n ont d zéro partout sauf 1-1 en 15e position et donc ça on dit que c'est une base hors tout normal ça c'est une base hors taux normal or taux normal alors je les ai pas démontrée mais si on regarde si on prend par exemple ce vecteur quelle sera l le module de ce vecteur masseube être le produit scolaire de ce vecteur par lui même du coup on va voir un point donc ça fait 1 puis que des héros du coup c'est fait le module est égal à 1 donc c'est bien un vecteur qui est normalisée la même chose poursuit là on va avoir zéro x 0 + 1 x 1 plus que de 0 à 0 ça fait bien un éclairage donc tous les vecteurs sont normalisées ils ont un module égal à 1 et si on regarde le produit scalaires entre ces vecteurs et bien sûr gagnent par exemple les deux premiers on va voir une fois 000 fois 1 0 et ensuite 0 x 000 partout donc ça fait bien zéro et ce avec la même chose partout parce qu'à chaque fois on a un d'un côté quand on a un en fait en face on n'a que 2 0 on n'a que un seul un par ligne si on gagne tous les vecteurs donc c'est bien une base qui est une base hors taux normal est donc ce que j'ai dit en introduction c'est que et derrière ça on l'a vu il utilise pourquoi est-ce qu'on utilise tout le temps la base canonique à rennes parce que c'est un bon système de coordonnées un bon système de coordonnées donc alors on va rentrer un peu plus dans les détails on va commencer à définir qu'est ce que c'est un bon système de coordonnées si on prend une base on va prendre un ensemble b l'ensemble des vecteurs v1 v2 et cetera jusqu'à vk donc ça je suppose que c'est une base hors taux normal dans son espace v ça c'est une base hors tout normal de teint sous l'espace v et on va prendre un vecteur x qui appartient avait francs avec thaïs qui appartient avait à ce moment là on sait que si on a avec x qui appartient à v on peut dire que x est égal à un réel c'est un x v un plus ces deux fois v2 plus et cetera jusqu'à scei cie fois véhi plus etc jusqu'à ces cas fois vk alors maintenant la question qu'on se pose c'est que vaut le produit scalaires deux pays par x du coup si on prend le même vecteur de ma base et ont fait le produit scolaire pays par x ça vaut quoi eh ben le le premier donc ça va être c'est un x v ient scalaires v1 plus ces deux ce qu'elle véhicule hervé v2 vie scolaire v2 plus et cetera jusqu'à c é v é scalaires véhi plus c'est qu'à véhi scalaires vécu ça ça paraît un peu compliqué maintenant on peut essayer de voir si ça simplifie pas b on a dit que c'était une base hors taux normal de v ça veut dire que tous les produits scalaires vvj sont égaux à zéro si on a eu différentes de j donc si on suppose que vie est différent de v1 on a véhiculé revêt un qui est égal à zéro de la même façon si on suppose que il différent de deux on à vis cam hervé 2 égal à zéro si on suppose que il est différent deux cas on avait hills qu'elle hervé cas qui est égal à zéro et en fait du coup il nous reste uniquement le terme où on a ces véhicules et revit ça se termine il vaut quoi il vaut 1 parce que là la base et tord taux normal et le normal ça veut dire que la norme des vecteurs est égale 1 est ici vieillissent calais revisser la norme au carré du coup si la norme de véhic égalant sa norme car est égal à aussi et le produit scolaires devaient y parle lui même est égale 1 donc il nous reste que le produit scolaires devaient y paris xe est égal à série bon ben voilà ça c'est un résultat à quoi ça nous sert fait ça va être très utile si on cherche maintenant à exprimer x selon les coordonnées de x selon la base b c'est égal à quoi ça on le sait depuis longtemps que ces gars-là c1 c2 et c'est assez y est c'est jusqu'à ces cas bon alors là j'ai pas réinventer la poudre ça on le sait depuis longtemps maintenant si on veut aller plus loin nous ce qu'on sait c'est que si on connaît la matrice de passage de la base canonique à la base b on a que c'est fois les coordonnées de x selon la base b est égal aux coordonnées de x dans la base canonique et en fait on peut écrire si c est un ver cible on peut écrire que les coordonnées de x selon la base b ces gars-là quoi c'est égal à linverse de ses 6,7 inverse existe fois les coordonnées x dans la base comme unique et donc ça je les dis je vais l'écrire c'est seulement si seulement 6 seulement si c est un ver cible et inversible sinon c'est linverse de ces n'existe pas et du coup on peut pas écrire ça donc ça on voit que même si c est un ver s'il sait c'est compliqué parce qu'il faut multiplier x par l' inverse de la matrice il faut calculer linverse de la matrice de c est multipliée x par cette inverse alors que nous qu'est ce qu'on a eh ben on a vu que on a vu ce qu'est la xq est égale à celle donc je vais avoir quoi si je prends est égal à 1 je vais avoir que c'est un finalement cv un scan x donc v un scalaire x2 même façon si je prends un égal à 2 je vais avoir ces deux qui est égal à v2 scala x v2 scalaires x etc si je prends y je vais avoir c'est y qui est égal à vie scolaire x v i said khadr x et je peux continuer jusqu'à vk scalaires x donc je suis passé d sehic était à peu près inconnu ou si je voulais connaître il fallait que je calcul inverse de ces x x si c'est inversible donc s'il inverse de ces existe à quelque chose qui est finalement assez facile à calculer où on n'a que les cci sont égales aux véhicules f x bon alors ça c'est la théorie maintenant on va faire un exemple pour un peu mieux comprendre on suppose on va prendre deux vecteurs va prendre avec hervé un qui est égal aux vecteurs reprendre 3 5e 3/5 4/5 ça c'est mon premier vecteur et on va prendre un deuxième vecteur v2 qui est le vecteur moins 4/5 moins 4/5 et trois cinquièmes et qu'on considère bien sûr la base ou plutôt on va dire pour l'instant l'ensemble des vecteurs v1 et v2 parce qu'on sait pas si c'est une base pour l'instant c'est même pas une base de quoi ça pourrait être et on va montrer que cet ensemble est un ensemble or tout normal alors on va essayer de le montrer donc si on regarde la norme de v1 bien sûr on va regarder la norme devient au carré pas ce que c'est c'est toujours plus pratique à calculer c'est égal à quoi la norme devient au carré au ségala trois cinquièmes au carré donc ça fait 9 25e 9 25e +4/5 au carré donc plus 16/25 16/25 donc ça ça fait quoi 9 puis ciel se fait 25 ça fait vingt-cinq 25e donc c'est égal à la norme de 20 m² est égale 1 donc la norme où le module de v1 est égal aux 6,1 et si on regarde les deux la norme où le module de v2 au carré c'est égal à quoi ces gars-là moins 4/5 aux caresses a fait 16/25 16 25e +3/5 au carré ça fait 9 25e 9 25e donc ça fait seize +9 25/25 donc ça fait aussi un donc le module de vidéos carré est égale 1 donc le module de v2 est égale 1 donc les vecteurs sont bien normalisée maintenant il faut montrer qu'ils sont orthogonaux entre eux donc pour ça il faut que je calcule le produit scalaires devait en parler d'eux le produit scalaires deux verres par v2 ça ça vaut quoi ça vaut 3 5e fois moins 4/5 donc ça fait moins 12/25 -12 25e et + 4/5 fois trois cinquièmes donc plus 12/25 plus 12/25 donc ça fait moins 12 +12 donc ça fait zéro en fait fait 0 25e donc ça fait zéro donc bel et bien un ensemble hors taux normal or taux normal alors maintenant si on regarde un peu plus en détails en fait on peut dire que b est un ensemble or tout normal donc les vecteurs sont in herman indépendants dont qui forment une base et une base de quoi en fait ces deux vecteurs de r2 et on a une base avec deux vecteurs donc ça fait bien une base de r2 donc b est une base est une base de r2 et on peut même dire du coup que c'est une base hors taux normal alors maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va prendre un vecteur de r2 on va prendre un vecteur x qui est égal je prends en aux hasards je vais prendre 9 -2 donc je prends avec thé xx qui appartient r2 est ce que je voudrais connaître c'est les coordonnées de x selon mme abbas b donc si b était une base quelconque pour obtenir les coordonnées de b comment je ferais je prendrai la matrice de passage de la base canonique de r2 à la base b donc cette matrice de passage c'est la matrice 3/5 4/5 moins 4/5 3/5 3/5 que je multiplie par le vecteur x les coordonnées de x selon un brevet qui est égal aux coordonnées de x selon la base canonique donc ici je pourrai faire de façon un peu plus simple vous pourrez trouver linverse de la matrice et vasques ici c'est une matrice qui est inversible et comme ça je pourrais avoir un tout petit peu plus simplement les coordonnées de hic selon la base bien mais ça reste quelque chose d'assez compliqué alors que maintenant j'ai dit que b c'était une base qui était hors tout normal donc on va essayer d'utiliser ce qu'on a trouvé ici pour simplifier ce calcul donc si j'utilise ça qu'est-ce que j'ai j'ai que les coordonnées de x selon mme abbas b c'est égal à quoi donc les deux coordonnées je suis derrière deux la première cv un scalaire x et la deuxième c'est v2 scalaires x et ça ça vaut quoi alors la première coordonnées du coup mais vecteur c'est 3 5 et 3 5 et 4 5e et moins 4/5 3/5 donc v1 scala x a fait 9 x 3 5e donc ça fait 27 5e 27 5e - deux fois quatre cinquièmes donc moins 8 5e - 8 5e ça c'est la première coordonnées de hic selon la base b et la deuxième coordonnées de x selon la base b c'est du couvent et de ce qu'est la x donc ça fait neuf fois - quatre cinquièmes du coup ça fait moins 36 5e - 36 5e - 2 x 3 5e - 6 5e - 6 5e et du coup ça ça vaut quoi ça vaut 27.8 du coup ça fait 19 5e 19 5e et moins 36 - si ça fait moins 42 donc moins 42 5e - 42 5e et voilà ça y est j'ai trouvé les coordonnées de x selon la base b et j'ai pas eu qu'à calculer linverse de la matrice et j'ai pas eu à faire un calcul matricielle pour trouver ses coordonnées j'ai juste eu à faire deux produits scalaires assez simple finalement pour trouver les coordonnées de b les coordonnées de x dans la base et nous voilà j'espère que tu as compris pourquoi maintenant je disais que les bases ortner mal formé un bon système de coordonnées une des premières raisons c'est qu'il est assez simple finalement de trouver les coordonnées de 1 d'un vecteur quelconque selon des bases or tout normal voilà je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo