Exemple d'utilisation de Gram-Schmidt avec trois vecteurs de base

dans cette vidéo on va voir un autre exemple de l'utilisation du procédé de g schmidt donc on va prendre v1 sous espace de r4 et on va dire que v c'est le vecteur des vecteurs voir un premier vecteur qui va être le vecteur 0-0 1-1 mais bien d'un air 4 on va voir un deuxième vecteur 0 1 1 0 et un troisième vecteur qui va être 1 1 0 0 donc là on a nos trois vecteurs à trois vecteurs de r4 qui forment bien une base de r4 et du coup maintenant on va essayer d'obtenir à partir de ces trois vecteurs on va essayer d'obtenir une base hors taux normal devaient donc tout d'abord on va nommer ces vecteurs on va dire que ce vecteur là on va l'appeler v1 ce vecteur là on va l'appeler v2 et celui là on va l'appeler v3 la première idée du combat on va faire dans l'ordre dans le procédé de g schmidt on commence par normaliser le premier vecteur donc pour ça on va voir là la longueur de v la longueur de v1 part donc de v1 c'est quoi c'est égal à la racine carrée de zéro car et du coût zéro plus zéro car et du coup ça fait zéro plus zéro plus à un carré s'est fait un plus un au carré ça fait 1 du coup ce fait la racine carrée de 2 et du coup je peux définir un premier vecteur eu un qui est entre guillemets la version normaliser devaient 1 et qui va être égal à quoi qui va être égal à 1 sur la longueur de v1 du coup insu racines de deux fois v1 du goût fois le vecteur 0 0 1 1 donc ça ça va être le premier vecteur de ma base hors taux normal donc je suis là très facile à obtenir et maintenant on va passer au deuxième vecteur de cette base alors le deuxième vecteur il va être égal à quoi il va être égal à alors on va faire une étape on va passer on va définir le vecteur y 2 je l'écris ici on va définir le vecteur y 2 qui va être égal à quoi qui va être égale avait 2 - la projection de mon vecteur v2 sur le sous-espèce v1 est le souhait ce passe bien c'est quoi v1 cele cité gallo vectes de u1 donc on définit comme ça comme on l'avait fait dans les vidéos précédentes un sou espace v1 et on dit que les grecs 2 on veut qu'ils soient perpendiculaire à ou plutôt un orthogonale a eu un et du coup on le définit comme v2 - la projection sur le sou espace générés par u12 v2 donc maintenant on peut faire un calcul ça vaut quoi ça vaut alors v2 niveau 0 1 1 0 ça c'est fait deux mois et la projection de v2 sur v 1 on l'a vu dans les vidéos présidente se définit par le produit scalaires de v2 part qu 1 du couvent et 2c 0110 scalaires eu un coût 1 sur racine de deux fois 0-0 1-1 ça c'est v2 keller juin fois eu un coût fois un sur racine de 2 x du coup 0 0 1 1 donc maintenant il me reste plus qu'à faire le calcul de l'uqac 2 qu'est ce que c'est alors ici je vais écrire v2 du coup 0 1 1 0 - je vais sortir les 2 1 sur un site de 2 du goût s'est fait un demi 1/2 fois le produit scolaire de vecteurs 0-1 1-0 par le vecteur 0 0 1 1 du coup ça fait zéro x 0 0 une fois 0-0 une fois 1 1 et 0 x 1 0 du coup ça fait un donc un demi fois un fois il me reste le vecteur ici 0-0 1-1 et du coup ça ça me fait quoi ça me fait je vais écrire du coup 0 1 1 0 - je vais faire rentrer le 1/2 dans le vecteur ici donc je me faisais raw 01 demi 1/2 1/2 1 2000 donc il y 2 il vaut quoi ivo 0 - 0 0 1 - 0 1 1 - 1 demi 1/2 et 0 - ennuis moins en demi - demi donc ça c'est mon vecteur y 2 du coup maintenant il faut que je connaisse la norme ou la longueur de y deux pour pouvoir normaliser le deuxième vecteur du coup j'ai que la longueur des grecs 2 c'est quoi c'est la racine carrée 2-0 au carré zéro + 1 au carré 1 + 1 2 milliard et un quart plus - 1/2 o car est du coup plus un car du coup ça fait racines de 6/4 du coup racines de 3,2 me racine de 3,2 me et du coup si on veut obtenir maintenant le deuxième vecteur de la base qu'on va appeler u2 on va avoir que je l'écris si on va voir que u2 il va être égal à 1 sur la longueur 2 y 2 du coup racines de 2/3 racines de 2/3 fois il y deux donc fois le vecteur 0 1 1 2 me -1 2000 donc ça c'est le deuxième vecteur de ma base art normal alors juste pour faire un petit point rapide on était partis devaient qui est égale au vectes de v1 v2 et v3 et en fait ça c'est égal à quoi ces galops vectes de u1 v2 et v3 c'est aussi égale vectes de u1 u2 et v3 du coup on est parti d'une base v1 v2 v3 où les vecteurs n'était pas normalisée est partout gounod entre eux maintenant on est arrivé à une base où on a deux vecteurs qui sont normalisées u11 u12 ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux et maintenant il reste à normaliser et a organisé le dernier vecteur donc c'est ce qu'on va faire maintenant est comment on va faire me refaire de la même façon que précédemment on va prendre un vecteur y croit et on va dire que les grecs 3 c'est quoi c'est v3 - la projection sur un espace v2 que je vais définir du vecteur v3 et v2 sait quoi en fait v2 on appelle v2 le l'espace défini par le vecteur de u11 et u 2 donc en fait ce qu'on veut c'est que il y 3 soit orthogonale à u11 et u du coup on peut le définir comme ça du coup ça ça vaut quoi ça vaut v3 - je vais l'écrire d'abord comme ça comme ça ce sera ce sera plus facile - v3 scalaires eu un fois eu un plus v3 scalaires eu deux fois u2 donc ça c'est le la projection 2v 3 sur le sou espace v2 et maintenant je peux l'écrire en termes de vecteurs donc mon vecteur v3 ivo c'est le vecteur 1-1 0-0 - du coup alors on va avoir v3 scolaire qu un c1100 scalaires eu un duc ou scalaires 1 sera sin de deux fois le vecteur 0 0 1 1 fois le vecteur du 1 qui vaut 1 sur racine 2 2 0 0 1 1 et du coup on va distribuer le moins ici donc ça va faire moins le produit scolaires devaient 3 donc 1 1 c zéro x du coup eu deux kivu racines de 2/3 racines de 2/3 fois le vecteur 011 demi - 1/2 fois du coup le vecteur u2 racines de 2/3 fois ce même vecteur 0 1 1 2 me -1 2 me et du cou qu'est ce que ça vaut tout ça alors du coup on va réécrire les trois v3c 1 1 0 0 ensuite on a moins ce terme ici et ce terme ici en fait ils simplifient parce que on va pouvoir sortir les les uns sur un fil 2-2 et ensuite on va voir produits scolaires de ce vecteur l'a100 par le vecteur 0 0 1 1 en fait ça vaut quoi ça vous une fois 0-0 plus une fois 00 +0 fois 1-0 plus 0.10 du coup le produit scalaires niveau zéro donc tout ce terme là vaut 1 0 donc ça fait 1 - 0 et il nous reste ce terme ici qui vaut quoi donc ça fait moins et je vais sortir les deux racines de 2/3 que je fais moins 2/3 fois du coup le produit scalaires de de ce vecteur là par ce vecteur là du coup ces faits une fois 0-0 une fois un ça fait zéro + un plus zéro x 1 2me zéro plus zéro x - un musée rodin coût zéro plus zéro donc c'est fait en fait ça fait un tout ça et il nous reste le vecteur ici donc 0 1 1 2 me -1 2 me voilà alors ça ça vaut quoi ça vaut quoi ça vaut du coup 1-1 0-0 - et du coup je faire rentrer le 2/3 ça ça vaut 1 ça ça vaut un jeu fait rentrer le deux tiers dans le vecteur donc ça fait 0 0 x deux tiers 2 0 deux tiers x 1 ça fait deux tiers 2/3 fois un demi ça fait un tiers et deux tiers fois - ennuis ça fait moins un tiers moins un tiers et du coup tout ça ça fait quoi ça fait alors un mois 0,1 1 - 2/3 1/3 0 - un tiers moins un tiers et 0 - - entière ça fait un tiers donc ça c'est mon vecteur y de pardon ici j'ai fait une erreur 1 - 2/3 ça fait bien sûr plus un tiers ici c'est un plus c'est un un tiers moins un tiers plus entière alors maintenant pour pour finir il faut calculer donc ça cc je vais écrire si ça c'est mon vecteur y 3 c'est un vecteur qui est bien orthogonale à lui 1 et 2 mais c'est un vecteur qui n'est pas normalisée du coup maintenant on va normaliser et en fait pour normaliser ya une chose qu'on peut faire pour se simplifier un peu la tâche ici ça c'est un peu embêtant de faire les calculs de la longueur ici mais on peut considérer le vecteur y 3 qu'on va appeler prime et en fait on va multiplier juste y 3 par 3 est en fête avec la même chose qu'on normalise y trouvera un hook ont normalisé ensuite et qu'avec trois primes ça revient au même du coup c'est 3 1 - 1 1 ça c'est beaucoup plus facile de calculer la longueur de grecs trois primes y trois primes c'est quoi ça va être racines de trois au carré du coup 9 plus un plus un plus un du coup plus un plus un plus un du coup ça fait racines de 12 et racines de 12 ses deux racines de 3,2 racines de troyes et du coup mon vecteur eu trois niveaux quoi c'est un sur la longueur de y trop prime du coup un sur deux racines de trois fois le vecteur 3 1 - 1 1 et du coup ça c'est le troisième vecteur de ma base et du coup je peux dire que pour finir mon vais j'ai dit que c'était le 22 juin e2v iii et v c'est égal aussi avec tu de u11 u12 et u13 ou maintenant eu un u2 et 3 sont des vecteurs qui forment ensemble une base hors taux normal donc en fait on a juste utilisé le procédé de gamme schmidt pour obtenir encore une fois une base hors taux normal pour un espace v quelconque voilà à bientôt