Exemple concernant la méthode de Gram-Schmidt

alors dans la vidéo précédente on a vu ce que c'était le procédé de cannes schmidt qui nous permet de passer d'une base quelconque d'un sous espace à une base hors taux normal est dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est qu'on va voir un exemple du procédé de g schmitt et du coup on va prendre un sou espace v2r3 on va dire que v ces implants et wc le plan défini défini par l'équation x1 plus x 2 plus x3 égal à zéro là on a bien une équation d'un plan et ce plan on va l'appeler v du coup pour définir v on va un peu joué sur cette équation s'en va te fait on va dire qu'on a x1 qui est égale du coup à moins x 2 - x3 et du coup si on dit que x2 on dit que c'est vu que c'est une variable ivre on va l'appeler c1 et x3 qui est une deuxième variable vivre on va l'appeler ses deux on peut dire que v7 égal à quoi c'est l'ensemble des vecteurs x1 x2 x3 qui sont égaux à quoi qui sont égaux à ses 1 fois un premier vecteur plus ces deux fois un deuxième vecteur donc le premier vecteur on a quoi on a que x 1c - x2 donc moins c'est un fait - une fois c'est un moins une fois ces deux mois une fois ces 2 x 2 cités gallas est un donc c'est une fois c'est un + 0 fois ses 2es de la même façon il 3 cc deux donc c'est zéro fois c'est un plus une fois ces deux donc pour ça on a c1 et c2 qui appartiennent tous les deux à r donc on peut définir notre plan de cette façon là et du coup qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que v est égal à quoi est égal ou vectes de ces deux vecteurs vu que c'est l'ensemble des combinaisons hilaire de ces deux vecteurs donc c'est le mec tu du vecteur -1 1 0 et du vecteur -1 0 1 donc ça c'est c'est mon souhait espace v c'est mon plan et du coup on va dire que on va appeler ce vecteur là on va l'appeler v1 ce vecteur là on va l'appeler v2 et ensemble ils forment bien une base de il faut bien une base de v mais on sait pas si c'est à priori c'est pas une base ni lee orthogonale et les vecteurs somport togo entre eux ils sont pas normalisées donc on n'a pas une vase aux taux normal est ce qu'on va faire c'est qu'on va utiliser le procès le procès des deux grammes suite pour obtenir une base hors taux normal devaient à partir de ces vecteurs v1 et v2 l'onction on commence on va faire comme dans la vidéo précédente on va considérer le sous-espèce v1 qui est égale au vectes vectes de v1 e le vecteur vient c'est pas un vecteur qui est normalisée pour obtenir avec temps normal et il faut prendre le vecteur v1 sur la longueur devient alors pour ça du coup on va calculer la longueur devient la longueur de bien c'est quoi c'est égal à la racine carrée 2 donc v1 s'est du coup moins fort moins 20 du coût 1 + 1 x 1 du coup plus un + 0 0 du coup plus zéro donc la longueur devient ses racines de 2 et du coup on peut considérer le vecteur 1 on va dire que le vecteur juin c'est le vecteur v1 sur la longueur de gamme donc un sur la longueur de 20 à nos coûts insu racines de deux fois le vecteur v1 du coup fois le vecteur -1 1 0 le vecteur ua est vague et maintenant un vecteur qui est normalisée et du coup on sait que vu que v1 est une combinaison linéaire de 1 levêque tu deviens c'est égal vectes 2 1 du coup on peut dire que vient c'est le vecteur de mon vecteur u11 et u 1 et bien normalisé du coup la base formé par le docteur juin et bien une base hors taux normal devient alors très bien maintenant on a notre vecteur 1 donc on va dire que c'est un vecteur qui est comme ceux ci ça c'est baker eu un et on avait un qui est la droite porté par un du coup mon souhait espace v 1 c'est cette droite là ça c'est v1 et j'ai mon vecteur v2 si je m'intéresse à mon plan j'ai mon vecteur v2 je sais qu'il n'est pas sur la droite v1 puisque v1 et v2 forment une base devait du coup ils ne sont pas collinaires du coup on peut v2 on peut le dessiner comme ceci je dessine au hasard je fais pas attention aux longues heures etc c'est juste pour avoir une idée de ce qui se passe du coup il fige et le vecteur v2 et si je veux obtenir une base hors taux normal de v il faut que je remplace v2 par un autre vecteur qui va être orthogonale a eu un et du coup ça va être un vecteur qu'il va être orthogonale avait un du coup ça va être un vecteur qui va être plus ou moins comme ceci ici j'ai un vecteur qui est normal qui est orthogonale avait un du coup si je considère l'ensemble v2 qui est le vecteur de v1 et v2 qu'est ce que je peux dire je peux dire que ça c'est égal vectes de eu un v2 c'est le vecteur de un v2 vu que lui un soap ya comme une combinaison in her devient du coup ce qui ce qui est généré par v1 est aussi généré par eu un et maintenant je peux remplacer u2 par ce vecteur ici qui va être qu'on va appeler y 2 qui va lui orthogonale avez un et en fait j'ai que v2 c'est ce vecteur il fuit en jaune qui en fait la projection devait deux surveillants ça c'est la projection sur mon sous-espèce v12 mon vecteur v2 et du coup d'après ce qu'on a vu dans nos vidéos on sait que v2 on peut aussi l'écrire comme vectes 2 1 et y 2 et alors ce grec de livres quoi y deux illégal on a dit on a dit que v2 c'est la projection de v2 sauver un plus y 2 donc il y deux ça va être v2 - la projection devait deux surveillants donc ça c'est à la v2 - la projection sur mon soutien de mon secteur v2 et la projection devait deux surveillants on sait le calcul et vu que on connaît une base hors taux normal de v1 et du coup si je fais le calcul mon v2i vaut quoi mon v2 ici yves au moins 1 0 1 - 1 01 et qu'on a moins la projection de v2 sur 20 qui vaut quoi qui vaut le produit scalaires de v2 donc c'est moins 1 0 1 c'est le produit scolaire de v2 par u11 et u13 vue qui valait 1 / racines de deux fois le vecteur moins-10 donc un sur racine de deux fois le vecteur -1 1 0 c'est un scalaire tout ceci c'est un scalaire ça a produit scalaires fois le vecteur eu un qui vaut 1 sur un signe de deux fois moins 1 1 0 ça c'est y deux ans maintenant on peut faire le calcul ça vaut quoi ça vous ça vous alors v2 donc v2 -1 01 - ici je vais faire sortir les deux les 2 1 sur un fil 2-2 donc un sursis de 2 x 1 / à sion 2-2 ça fait un demi 1/2 et le produit scalaires du coup il me reste le produit ce cas-là du vecteur - 0 1 par le vecteur - 1 0 donc ça ça vaut quoi ça vaut moins fort moins 1 du coup un +10 points dont coût zéro + 1 x 0 du coût zéro et il me reste il faut pas que j'oublie me reste le vecteur ici fois le vecteur -1 1 0 du coup je peux continuer le calcul ça vaut quoi ça vaut je vais écrire le vecteur v2 -1 01 - je vais faire rentrer le 1/2 du coup ça ça vaut ça ça vaut 1 et je vais faire rentrer le 1/2 dans le vecteur du coup fait - le vecteur moins un demi 1/2 0 et du coup ça ça vaut quoi ça vaut le vecteur du coup moins en moins - ennuis du coup moins un plus animées du coup ça fait moins d'ennuis 0 - 1 demi du coup moins en demi et 1 - 0 du coup 1 du coup mon vecteur y 2 c'est ce vecteur là maintenant ça suffit pas tout à fait parce que ce vecteur y de il est bien orthogonale a eu un bon du coup la base humain y de et bien une base orthogonale mais c'est pas une base hors taux normal parce que y 2 il na pas été normalisées du coup on va prendre un autre vecteur on va définir un vecteur u2 qu'on va définir tout simplement comme un sur la longueur de y deux fois y 2 et c'est quoi la longueur de y de la longueur 2 y 2 c'est égal à la racine carrée de quoi 2 - ennuis fois au moins un demi du coup ça fait un quart à un quart - ennuis faut au moins un demi ça fait un quart et un x 1 ça fait 1 du coup ce fait un cap plus sa carte + 1 ça fait six cars et du coup ça fait racines de trois demis graphein de 3,2 me et du coup u2 on a dit que c'était un sur sept longueurs faut y 2 du coup u2 ça vaut quoi ça vous un sur racine de trois demies c'est fait racine de deux tiers du coup ça fait racines de 2/3 fois y 2 donc fois le vecteur - 1/2 - 1/2 a du coup si j'avais écrit ici mon vecteur je vais écrire pour avoir les deux sous les yeux mon vecteur juin c'était un sur racine de deux fois le vecteur -1 1 0 et du coup qu'est ce qu'on a réussi à obtenir on a utilisé le procédé de gamme schmidt pour obtenir un ensemble lui un u2 lui un u2 à partir des vecteurs initiaux v1 et v2 et cet ensemble eu un ou deux ils forment maintenant une base hors taux normal devaient u12 forment une base hors taux normal or taux normal 2 v donc on voit comment on a pu utiliser le procédé de gamme fuite pour obtenir une base au taux normal devaient à partir d'une base qui n'était absolument pas or ce taux normal voilà à bientôt pour la prochaine vidéo