Complément orthogonal du complément orthogonal

alors dans cette vidéo on va parler du complément orthogonale du complément orthogonale donc suppose on se place dans rn10 que r and on représente rn part ça donc ça on dit que crn et on va supposer que j'ai un souhait espace v2 even qui est ici et que j'ai le complément orthogonale devait qui est comme ceci ça c'est le complément orthogonale devait et ici j'ai le vecteur nul qui est le seul la seule intersection entre v est le complément automnale de v alors ce que je sais c'est que le complément orthogonale devez c'est l'ensemble des vecteurs x qui appartiennent à arn l'ensemble des vecteurs x2 et rennes tels que le produit scolaire 2 x par un vecteur vais de mon souhait espace v soit égal à zéro donc le produit scolaire 2 x par v est égal à zéro pour tous pour tous v appartenant à montsoult espace grand v ça c'est le complément orthogonale devait et si je m'intéresse aux compléments orthogonale du complément tout canal devait donc je vais écrire comme le complément orthogonale des compléments orthogonale qu'est ce que c'est ainsi de la même façon l'ensemble des vecteurs x appartenant à arn tels que le produit scalaires de ce vecteur x par un vecteur w qui appartient aux compléments orthogonale devait soit égal à zéro et cette fois ci c'est pour tous pour tous vecteurs w appartenant aux compléments automnale de v ça c'est la définition du complément orthogonale du complément orthogonale est ce qu'on voudrait savoir c'est à quoi est-ce que c'est égal alors on on peut supposer au début que montsoult espace v soit inclus dans le complément orthogonale du complément tout bonal parce que les vecteurs de v seront bien orthogonaux à tous les vecteurs du complément orthogonale de v mais ce qu'on sait pas c est ce que finalement le complément orthogonale du complément orthogonale est ce que c'est juste v ou est ce que c'est quelque chose qui est peut-être plus grand que que l'espace v et c'est ça qu'on va essayer de voir pour ça on va prendre un vecteur 1 x qui appartient aux compléments orthogonale du complément orthogonale devait on prend avec x et on a vu dans la vidéo précédente que ici on a un souci espace et son complément orthogonale donc x on peut l'écrire comme la somme d'un vecteur de mons ou espace v et d'un autre vecteur du couple et d'un autre vecteur du complément orthogonale devait donc c'est ou v est un vecteur de grand v et w un vecteur du complément orthogonale devait en maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va regarder que vous de produits scolaires entre x et mon vecteur w par définition étant donné que x appartient aux compléments orthogonale du complément orthogonale que w appartient aux compléments orthogonale ce produit scalaires vos héros mais on peut aussi un peu aussi exprimé comme le produit scalaires du vecteur vais plus w avec le vecteur w si on développe cette expression on avait scalaires w plus w scalaires w et à quoi c'est égal au rv escale rwb est un vecteur de mons ou espace v et w un vecteur du complément orthogonale devait ça veut dire que le produit scalaires devait par w est égal à zéro ça veut dire que ça c'est égal ou produits scolaires de w par lui-même donc c'est égal à la norme de mon vecteur w au carré et ça souvenons nous est égal à zéro donc ça veut dire que le vecteur w à une norme au carré qui est égal à zéro donc ça veut dire que mon vecteur w il est égal aux vecteurs nul le seul vecteur dans la norme est égal à zéro c'est le vecteur nul et donc ça veut dire quoi ça veut dire ensuite que mon vecteur x quitté qui s'écrit comme vais plus w en fait on a x qui est égale avait donc ça veut dire que je suis parti d'un vecteur du complément orthogonale du complément orthogonale et j'ai supposé qui enfin j'ai je sais qu'il peut écrire comme la somme d'un vecteur de vie d'un vecteur de w et finalement je trouve que mon facteur ix x il s'écrit il est égal à un vecteur qui appartient vais donc ça veut dire que mon facteur x il appartient avait donc ça veut dire qu'en fait le complément de la conclusion de ça c'est que le complément orthogonale du complément orthogonale v il est inclus dans v vu que tout élément du complément orthogonale du complément orthogonale est forcément inclus dans v alors maintenant j'avais commencé la vidéo en disant que forcément les éléments devaient appartenait aux compléments orthogonale du complément tonale on va essayer maintenant de le prouver un peu plus rigoureusement l'idée c'est l'idée on va réécrire donc on va redessiner rn n est comme ça ça c'est mon espace est reine et dans cet espace rng le complément orthogonale devait qui est ici j'ai le complément orthogonale du complément orthogonale devait qui est ici je vais dessiner comme ça donc ça c'est le complément orthogonale du complément orthogonale et du coup si je prends un vecteur v qui appartient à mon espace v vu qu'ici j'ai un souhait espace et son complément orthogonale je peux écrire v comme la somme d'un vecteur w qui appartient aux compléments tonale devait et d'un vecteur que je vais appeler x qui appartient aux compléments togo nal du complément togo n'a donc ici c'est où w appartient aux compléments au togo n'a levé et x appartient aux compléments orthogonale du complément orthogonale devait alors maintenant comme avant ce que je peux faire ce que je peux calculer le produit scolaire devait par w le faut juste qu'elle ne devait pas w appartient à mon espace grand v w appartient aux compléments togo nal devait donc le produit scolaires devaient pas w est égal à zéro mais on peut l'écrire différemment on peut dire le produit scalaires devait par w c'est égal au produit keller de w plus x par w donc maintenant je peux développer cette expression ça me fait le produit scolaire de w par lui même plus le produit scolaire de x par w ici je sais que w il est il appartient aux compléments automnale de v et x appartient aux compléments orthogonale de ce complément orthogonale devait donc le produit scalaires de xp en w est égal à zéro donc il me reste que là le produit scalaires de w par lui-même qui est égale à la norme 2 w o car est la norme de w au carré est égal à zéro donc encore une fois le l'information que j'obtiens c'est que w est égal aux vecteurs nul parce qu'encore une fois le vecteur nul est le seul vecteur dont la norme est égal à zéro et du coup je peux dire que mon vecteur x il est mon vecteur v est égal aux vecteurs x ça implique que v est égal à x donc je suis parti d'un vecteur v qui appartient à montsoult espace v et je trouve que ce vecteur vais en fait est inclus dans le complément orthogonale du complément orthogonale devait donc ça veut dire que v appartient aux compléments orthogonale du complément orthogonale devait et du coup je sais maintenant que vais est inclus dans le complément orthogonale du complément orthogonale devait donc si je regarde les deux informations que j'ai obtenus j'ai obtenu que le complément orthogonale du complément orthogonale est inclus dans vgg inclus kfw est inclus dans le complément au togo nal du complet mort tonale donc la conclusion de cette vidéo c'est que v est égal aux compléments orthogonale du complément orthogonale devait ça c'est là c'est l'information à retenir de cette vidéo c'est ce qu'on a prouvé dans cette vidéo j'espère que tu as bien compris ce point là et je te dis à bientôt pour la vidéo suivante