Représenter des vecteurs de Rn en utilisant une décomposition selon des sous-espaces

alors dans cette vidéo pour ne pas changer on va prendre un sou espace v qui est inclus dans rn qu'on a sous espace v2 est reine et du coup on sait que le complément orthogonale devait est lui aussi inclus dans l aisne et on a vu dans la dernière vidéo que on sait maintenant que la dimension devait plus la dimension du complément orthogonale devait est égal à n et dans cette vidéo on va voir ce qu'on peut ce qu'on peut dire sur des vecteurs de rn par rapport à v est le complément retourne elle devait alors la première chose qu'on va essayer de voir séquelles et l'intersection entre v est le complément orthogonale devait c'est à dire on va supposer supposons supposons un vecteur x supposons qu'on a un vecteur x qui appartient avait et que ce même vécu x appartiennent aussi au complément orthogonale devait et on va essayer de voir est ce qu'on peut dire des choses sur ce vecteur x alors si x appartient aux compléments orthogonale des ça veut dire que par définition le produit scolaire 2 x par un vecteur v est égal à zéro pour tous pour tous vecteurs v qui appartient à montsoult espace grand v donc j'ai que le produit scolaire 2 x par un vecteur de mons où l'espace v est égal à zéro ah oui mais ce qu'on sait c'est que tout ce qu'on a su poser c'est que x appartient aussi avait donc au lieu de décrire ici je peux écrire et x donc ça ça implique que x scalaires x est égal à zéro parce que x est à la fois dans le complément automnale de v et d'enlever & cie ce qu'allait x était à 0 ça veut dire que la norme 2 x au carré le module 2 x au carré est égal à zéro et donc ça maintenant on sait on l'a vu plusieurs fois que le seul vecteur dont la norme est égal à zéro le seul vecteur dans le produit scolaire par lui-même est égal à zéro c'est le vecteur nul donc ça ça implique que x est égal aux vecteurs nul donc ce qu'on vient de dire c'est que si on suppose qu'on a un vecteur x qui à la fois d'enlever et dans le complément orthogonale devait alors forcément ce vecteur x il est égal aux vecteurs nul et ça ça veut dire que l'intersection devait en fait la taxe réduction va m on va l'écrire comme un eu à l'envers l'intersection entre v est le complément orthogonale devait c'est égal à l'ensemble composé par le vecteur nul ça on peut le dessiner si on suppose on dit que cet ensemble là tout cet ensemble la cfn ça je dis que c'est mon ensemble est reine et je vais dire que mon ensemble mon souhait espace v c'est ça ça c'est mon souhait espace v et à ce moment là je peux dire que mon souhait espace complément automnale de v je vais le défi n'est comme ça ça c'est le complément tout canal devait et je sais d'après ce que je viens de dire que la seule intersection entre v est le complément orthogonale donc le seul vecteur conte à cette intersection ici c'est le vecteur nul c'est le seul vecteur qui est à la fois d'enlever et dans le complément orthogonale devait montrer bien si c'est une première caractérisation du coup de des vecteurs par rapport à v et aux compléments orthogonale devait alors maintenant si on si on suppose on va supposer que la dimension on va supposer qu'on connaît la dimension de v et que la dimension de v c'est égal à cas car on ne connaît pas forcément mais on dit que la dimension de wc cas alors ce qu'on sait c'est que la dimension de du complément orthogonale devait ça va être égal à quoi pensait que la dimension devait plus la dimension du complément orthogonale de vcn si la dimension de wc cas ce que j'ai à dire alors la dimension du complément automnale de v ça va être l - k parce que si on fait cap l'ue c'est lé moins qu'à ça fait bien n donc la dimension du complément automnale vcn moins qu'à moi une fois qu'on a dit ça du coup on peut supposer qu'on connaît une base devait on va dire que l'ensemble composé des vecteurs v1 v2 jusqu'à fait cas il ya ka vecteurs on dit que ça c'est une base de v à supposer que ça c'est une base de v et on va supposer aussi qu'on connaît une base du complément orthogonale devez on va dire que une base du complément orthogonale devait et former des vecteurs w1 w2a jusqu'à w end - k n - k parce qu'il ya la dimension du complément automnale de v cn - k ça c'est une base 2 du complément orthogonale devait est alors la question qu'on va se poser c'est est-ce que si on combine ces deux bases une base de v et une base du complément orthogonale de v est ce qu'on peut obtenir une base de rnc la question qu'on va se poser est alors pour répondre à cette question on va prendre une équation on va prendre un vecteur c'est un v1 plus ces deux v2 plus etc jusqu'à ces kvk plus maintenant on va prendre donc nous laisser un jusqu'à ces casses décédé constante réel on va prendre plus d un w 1 plus des 2 w2 plus etc jusqu'à des haines - k w n - cas où les des injures kdn maca sont des constantes réel maintenant on va essayer de répondre à la question si je dis que ce vecteur là est égal aux vecteurs nul quelles sont les solutions de cette égalité de cette équation alors là on sait qu'il ya une une solution qui est évidente pour cette équation c'est de dire que on a tous les sens' calais jusqu'au jusqu à ckac sont égaux à zéro et tous les drh kdn macaques sont égaux à zéro si tous ces airs et elles sont égaux à zéro forcément j'ai zéro égal à zéro la question c'est est ce que il y à d'autre solution à cette équation et pourquoi ça nous intéresse parce que si il n'y a pas d'autre solution ça veut dire que tous ces vecteurs d un v1 jusqu'avec a et w hinges kwl - car seront linéairement indépendant alors pour répondre à cette question est ce que est ce que il ya d'autres solutions que tous les constantes égal à zéro pour comme solution de cette équation ce qu'on va faire c'est qu'on va passer tous ces éléments là qui sont envers les filles de l'autre côté donc on va écrire que c'est un v1 plus ces deux v2 plus plus c'est kvk est égal à du coût zéro - en fait tout ce qui est là donc moins d 1 w 1 plus des 2 w2 plus etc jusqu'à des haines - k w n - k donc maintenant j'ai que c'est c'est un v1 plus et devait de plus et c'est le cas c'est qu'avec à est égal à zéro moins ça donc en fait on peut on peut enlever le zéro ici ça on peut le bar et ça ça n'a pas d'importance donc j'ai c'est un v1 plus est devenu plus et c'est le cas c'est qu'avec à est égal à moins d 1 w 1 plus des de w2 plus des aides - kwl - k et maintenant ce que je veux faire c'est que j'ai posée je vais dire que ça c'est égal à un vecteur x je veux dire x qui est égal à c'est un v12 plus ces deux v2 plus c'est kvk et du coup x c'est une combinaison linéaire de mai vecteurs qui forment une base devait donc x il appartient avait vu que c'est une combinaison lunaire des vecteurs de la base mais j'ai aussi que ici donc ça tout ça c'est égal à x 6 x qui est égal à tout ça et qui est égale aussi à tout ça donc x c'est aussi une combinaison linéaire des vecteurs de la base du complément orthogonale devait vu que c'est moins d 1 x w 1 - des deux fois w2 - et c'est jusqu'à - dl - kwl - k donc x appartient aussi aux compléments orthogonale devait donc maintenant j'ai un vecteur qui m'ont vecteur x qui appartient avait et qui appartient aussi aux compléments orthogonale devait même si on regarde ce qu'on avait dit au début si on vient à ce qu'on avait là on a quand on a supposé que on avait un vecteur x qui appartenait à v et aux complots complément automnale de v n'en avais déduit que x était forcément égal aux vecteurs nul donc d'après ce que j'ai dit j'ai que tout ça c'est égal aux vecteurs nul qu'est ce que ça veut dire ça ça veut dire que du coup ici j'ai mon vectrix qui est égal aux vecteurs nu mais ici ça veut dire maintenant que j'ai c'est un v1 plus et devait de plus et c'est le cas c'est qu'avec à qui est égal à zéro et ça maintenant on sait que les pays comme une base devait donc ça veut dire que son linéairement indépendant et ça veut dire que la seule solution à cette équation c'est que tout laissait y soient égaux à zéro donc là je sais que c'est un c'est égal à ces deux sets égale etc c'est égal à ces cas et c'est égal à zéro tous les séismes sont égaux à zéro et en fait ici je vais avoir la même chose parce que du coup j'ai que d 1g moins d 1 w en plus des 2 w2 plus et serge kdm - kwl - coeur qui est égal aux vecteurs nul est salée w y forme une base de complément orthogonale devait donc ça veut dire que c'est des vecteurs tous les w y sont linéairement indépendant ça veut dire que la seule solution à cette équation c'est que tous les pays soient égaux à zéro et donc je sais que d un illégales à des deux il est égal à d3 d4 d5 illégal adn - k et il est égal à zéro si je reviens à l'équation initial je me posais la question des solution de cette équation est maintenant j'ai vu j'ai démontré que la seule solution à cette équation c'était que j'ai c'est un égal à zéro ces deux égal à zéro ck égal à zéro d un égal à zéro des deux égal à zéro jusqu'à 21h45 égal à zéro donc j'ai une seule solution à cette équation qui est que tout mais constante réel soit égal à zéro et ça ça veut dire quoi ça veut dire que l'ensemble formé par mes vecteur s'applique que l'ensemble formé par le vecteur v1 v2 et cetera jusqu'à fait qu'à et w1 w2a jusqu'à w elle moins qu'à ça ça forme une famille c'est une famille linéairement indépendante tous les vecteurs de cette famille sont militairement indépendant très bien donc ça c'est intéressant surtout que ont souvent iai dans une ancienne vidéo on avait dit que si on avait un sou espaces supposons qu'on a un souhait espace qui est de dimension n si on a un souci espace de dimension humaine et si on a si on na n vecteur qui sont linéairement indépendant et qui sont membres du ce ou ces espaces qui sont membres du ce ou ces espaces donc on a un sou espace de dimension humaine et on a n vecteur qui sont linéairement indépendant et qui sont membres de ce sous espaces ça veut dire que l'ensemble formé par les électeurs l'ensemble des électeurs et d'une base du cloud espace ça c'est une base du sud espace une base du sous espaces mais ce qu'on sait aussi c'est que rnc un sou espace de dimension nrn il est de dimension n on peut l'écrire que la la dimension de rnc égal à n est maintenant dans cette famille on na n vecteur qui sont linéairement indépendant donc cette famille ici forme bien une base de rn ça c'est une base de r n alors ça c'est très intéressant pourquoi pas ce que ça veut dire que si on prend un vecteur à on prend avec à quelconque qui appartient à arn vu que cette famille forment une base de rn on sait que le vecteur à il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base donc il peut s'écrire comme un c 1 v1 plus c2e2 plus c'était le cas c'est qu'a fait qu à plus d 1 w 1 plus des 2 w2 plus et que c'était à jusqu'à des haines - kwl - k vu que cette famille ici c'est une base de rn le vecteur à peu se décomposer selon les vecteurs de la base de rn et du coup il peut s'écrire sous cette forme là maintenant ici qu'est ce qu'on remarque ici en fait on a un vecteur qui s'écrit comme une combinaison l'inr des vecteurs devait donc ça on peut l'écrire comme un vecteur qu'on va pv qui appartient avait à mons où l'espace v est ici qu'est ce qu'on a on a une combinaison linéaire des vecteurs du conte du complément orthogonale devait donc ça on va l'écrire comme un vecteur w qui appartient aux compléments orthogonale devait donc ça veut dire que un vecteur quelconque de rn peut s'écrire comme une somme d'un vecteur qui appartient à montsoult espace v plus un autre vecteur qui appartient aux compléments orthogonale devait alors la question qu'on peut se poser maintenant c est ce que cette décomposition en deux vecteurs 1 qui appartient avait un qui appartient complément automnale de v est ce que c'est une décomposition qui est unique est-ce que ça c'est unique ou est ce que on peut prendre différents vecteurs qui vérifie la même chose alors pour démontrer ça on va supposer que cette décomposition n'est pas unique donc supposons que ce n'est pas unique ce n'est pas unique si c'est pas unique ça veut dire que mon vecteur à on peut l'écrire d'abord comme la somme d'un vecteur v1 plus un vecteur w1 donc avec v1 qui appartient avait avec w 1 qui appartient aux compléments orthogonale de v mais on peut aussi l'écrire comme il essaie aussi égale à un vecteur v2 qui appartient avait plus un vecteur w2 qui appartient à au complément au canal devait alors une fois qu'on a ça ce qu'on va faire c'est qu'on va soustraire de chaque côté par v2 donc on va avoir v1 - v2 et on va souffrir aussi de chaque côté par w 1 donc je vais avoir v1 - v2 qui est égal à w 2 - w un air si j'appelle ce vecteur ici si je l'appelle z si j'ai le vecteur z qui est égale avait 1 - v2 mais que aussi égal à w 2 - w1 ici en fait ce qu'on a c'est ici ce sont deux vecteurs qui appartiennent avait et comme v est stable par addition le vecteur - v2 appartient aussi avait donc ça veut dire que z appartient avait z appartient avait et on sait aussi que le complément orthogonale devait est aussi un sou espace ça veut dire qu'il est aussi stable par addition est ici comme on a deux vecteurs qui appartiennent aux compléments orthogonale devait la soustraction de ces deux vecteurs appartient aussi aux compléments orthogonale devait donc ça veut dire que z appartient aussi aux compléments orthogonale devait z appartient aux compléments orthogonale 2 v/m et maintenant on voit qu'on a un vecteur z qui appartient à v et qui appartient aussi aux compléments automnale de v donc ça ont commencé à comprendre maintenant un vecteur qui appartient v et à son complément orthogonale il est forcément égal à zéro donc j'ai que z est égal aux vecteurs nul et puisque z est égal aux vecteurs nul je sais que 20 - v2 donc j'ai v1 - v2 qui est égal aux vecteurs nul donc ça veut dire que v1 est égal avec deux et j'ai aussi que w1 w2a - w1 est égal aux vecteurs nul w2 - w1 est égal avec temps nul donc ça veut dire que w2 est égal à w 1 donc j'ai que v1 est égal avec 2g que w2 est égal à w 1 donc c'est que en fait ces deux des compositions c'est la même donc à bien unicité de la décomposition d'un vecteur de rn selon un vecteur de v est un vecteur du comblement orthogonale de v voilà j'espère que tout ça c'est clair pour toi et je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo