L'unique solution à l'équation Ax=b

alors dans cette vidéo on va considérer une matrice à on va dire que c'est une matrice m par n et du coup on va écrire cette matrice à grâce à ces vecteurs colonnes donc on va dire que c'est à 1 à 2 et cetera jusqu'à athènes jusqu'au fekter colonna n et on va considérer un vecteur b on va supposer que b est un vecteur qui appartient à l'image doit b appartient à l'image de a donc six baies appartient à l'image à ça veut dire qui peut s'écrire comme une combinaison l'inr des vecteurs colonnes de as donc on peut écrire b sous la forme x1 fois à un plus x 2 x à 2 et cetera plus jusqu'à x n fois le vecteur à n est donc ça c'est équivalent ça revient à dire que si on multiplie la matrice a donc à 1 à 2 ces tirages caa n par un vecteur x1 x2 et serrage kxn la matrice à foix ce vecteur x est égal à mon vecteur b donc ça veut dire que à ce moment là on sait que l'égalité ax et galbées à au moins à au moins une solution à au moins une solution est en fait sa une solution ixe et xe appartient à m n donc ce qu'on a dit c'est que si b appartient à l'image doit il peut s'écrire comme une combinaison l'inr des vecteurs de a et donc l'équation ax et galbées à au moins une solution qui est ce vecteur ici et maintenant l'idée c'est de cette vidéo ça va être de voir s'il n'y a qu'une seule solution à cette équation alors pour ça on va commencer par représenter rn parce qu'on a dit que x appartient et rennes donc si on veut présente et rennes comme ceci ça en dit que cnn dans l'arène qu'est ce qu'on a on a tout d'abord le noyau de la matrice a donc on va représenter ici le noyau doigts iker de à et si on n'a qu'à doit on a aussi le complément orthogonale du noyau doit donc ici on a le complément automnale du noyau doit en aker à le complément orthogonale du noyau de a et ça on a vu dans la vidéo précédente que le complément au canal du noyau doigt c'est égal à l'image de à c'est égal à l'image pardon pas l'image de à l'image de la transposer doigts c'est l'image de la transposer de a bien sûr on sait que si x appartient au noyau à ça veut dire qu'on a six ax ils vérifient l'équation ax égale le vecteur nul maintenant qu'on a ça est ce qu'on peut dire quelque chose si on prend x on suppose que x est une solution est une solution de l'équation ax et galbées ax et galbées et qu'est ce qu'on peut dire sur x alors on sait que x appartient à rnx appartient à r n est ici on a on a vu que dans les veines on a un sou espace et son complément et on a vu dans quelques il ya quelques vidéos que tout vecteur de rn peut se décrire comme un vecteur d'un sous espace plus un vecteur du complément orthogonale de ce sous espace donc ici ça veut dire que on peut écrire x sous la forme on va dire que x est égal à r0 plus n 0 ou où on a que m 0 il appartient à l'image de la transposer de a et n 01 phare tient au noyau da au noyau de a en fait ici on n'amène 0 et ici on a notre ère 0 donc mon vecteur xx e s'écrire sous la forme d'un vecteur qui appartient à l'image de la transposer de a plus un vecteur qui appartient au noyau de 1 alors c'est très bien maintenant si on essaie de définir un peu mieux ce héros ici du coup on va soustraire de chaque côté par 1 0 donc on a que m 0 il est égal à x - 1 0 et du coup on a aussi que si on multiplie par la matrice à on a que à foix est zéro c'est égal a à x - nd 0 x - n 0 et ça assez égaux c'est égal à quoi on peut distribuer donc ça me fait à x - à peine 0 ça vaut quoi ax a par définition x et solution de l'équation haïti galbées donc à x est égal à b et ça vaut quoi à n 010 en fait on l'a pris dans le noyau de a donc ça veut dire que nd 0 et solution de l'équation ax égal zéro à foix and zero est égal aux vecteurs nul donc ça veut dire que à foix est zéro est égal à b ça c'est le premier résultat et qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que f0 finalement et solutions d l'équation à aix et galbées ça je vais l'écrire ce qu'on vient de dire c'est que f zero et solutions et solution de l'équation ax égal b alors maintenant est-ce qu'on peut aller plus loin on peut on peut essayer d'aller plus loin on peut se demander s'il existe d'autres vecteurs de l'image de la transposer de à qu'il soit aussi solution de l'équation avec ses galbes et pour ça on va supposer qu'il existe d'autres solutions qui appartiennent à l'image doit transposer doit on va prendre un vecteur r1 va prendre r1 qui appartient à l'image de la transposer de a et on va dire que ra on va supposer que c'est une solution de l'équation avec ses galbes et solutions 2 ax et galbées du coup maintenant on sait que à 0 et solutions de ax et galbées et on suppose qu'il existe un vecteur r1 qui appartient à l'image de la transposer 2a qui est lui aussi solution de l'équation avec ses galbes et à ce moment là vu que l'image de la transposer 2a et un sou espaces il est stable par addition donc on sait que le vecteur f1 - r0 appartient lui aussi à l'image de la transposer de à appartient à l'image de la transposer de à parce que l'image de transposer doigt est un sou espace donc stable par addition et à ce moment là qu'est ce qu'on peut dire on a que ar1 f1 - 0 à quoi c'est égal ça assez égal si on distribue à ar 1 à r 1 - à 0 et ça à quoi c'est égal à eyrein errants et solution de l'équation ax et galbées donc à eyrein ça c'est égal à b et de la même façon ar 000 et solutions aussi de l'émotion avec ses galbes et donc à 1 0 vos b donc en fait j'ai que à foix le vecteur est à - 0 c'est égal ab - b donc c'est égal aux vecteurs nuls et 6 ar 1 - 0 est égal avec temps nul ça veut dire que r 1 - 0 appartient au noyau doit donc ça ça implique que le vecteur f1 - r0 appartient on vient de le dire au noyau de a donc maintenant j'ai que le vecteur terrain -0 appartient à l'image de la transposer doigts et aussi appartient au noyau doigt mais si on revient à ce qu'on avait dit au début on a que le noyau de a ou plutôt on a que l'image de la transposer de à c'est le complément orthogonale du noyau doit donc ça veut dire que r 1 - 0 appartient au noyau de à et à son complément orthogonale est le seul élément qui a la foi qui appartient à la fois à un sou espaces et à son complément orthogonale c'est le vecteur nul donc ça veut dire que le vecteur r 1 - 0 est égal aux vecteurs nul puisqu'il a fois à part puisqu'il appartient à la fois au noyau de à et aux compléments orthogonale du noyau doha qui est l'image de la transposer 2a et du coup si le vecteur air à moins-10 est égal avec temps nul ça veut dire que f1 est égal à 1 0 donc en fait on a supposé qu'il existait un autre vecteur qui appartient à l'image de la transposer 2a qui soit aussi solution de l'équation ax et galbées et en fait on arrive au résultat que cette ce vecteur est égal à mon premier vecteur 0 donc en fait f zero est l'unique solution de l'équation ax et galbées qui appartiennent à l'image de la transposer de a donc si j'écris ce que je viens de dire si on suppose on prend un vecteur b qui appartient à l'image de à ce qu'on vient de dire c'est que il existe il existe un unique un unique ça c'est important il est unique un unique membre de l'image de la transposer delà de l'image de la transposer de à qu'on va appeler f0 donc ce qu'on dit de façon mathématique c'est que m 0 appartient à l'image de la transposer de à tel que tel que m 0,60 lution de l'équation de l'équation ax et galbées alors maintenant on peut même aller un peu plus loin si on revient à ce qu'on avait dit on avait dit que toute solution on avait dit que toute solution x de l'équation ax et galbées toute solution x de l'équation avec ses galbes et peut s'écrire e s'écrire c'est ce qu'on avait dit au début de cette vidéo peut s'écrire comme la somme d'un vecteur du noyau de a et d'un vecteur de l'image de la transposer de a donc peut s'écrire comme x égale r0 plus n 0 ça c'est ce qu'on sait exactement ce qu'on avait dit au début de la vidéo est maintenant si on s'intéresse à la longueur ou au module de x ou on appelle aussi la norme 2 x si on s'intéresse au module 2 x au carré on sait que le module de xk reis est égale à o produits scalaires 2x par lui même ça si on remplace x par son expression en fonctions de m 0 et 1 0 ça veut dire que on a zéro plus zéro scalaires f0 plus n 0 maintenant on sait que le produit scalaires et distributif du coup on peut distribuer cette expression on aère 0 scolaire ers zéro plus zéro scalaires n0 +10 scalaires r0 plus n 0 scalaires nd 0 mais j'ai juste distribuer le produit scalaires alors maintenant qu'est-ce qu'on a m 0 ce qu'allait faire zéro ça on sait que c'est égal à la norme ou au module 2 0 au carré normes ou le module 2 0 au carré maintenant que vos f0 ce qu'elle f10 alors on a dit que m 0 appartient à l'image de la transposer doigts et n 0 au noyau doigts et en fait on sait que l'image de la transposer de à c'est aussi le complément orthogonale du noyau de à ça veut dire que c'est eux deux éléments i 6h00 appartiennent à des sous-espèces qui sont complément orthogonale l'un de l'autre et par définition le produit scalaires de deux éléments qui appartiennent à des compléments orthogonaux l'un de l'autre est égal à zéro donc ça veut dire que le produit scalaires 2 à 0 par rennes 0-1 est égal à zéro de la même façon le produit scalaires 2-0 par zéro est égal à zéro et nous reste le produit scolaire 2 0 par lui même qui nous donne le module 2 à 0 au carré donc j'ai que la norme où le module 2 x au carré est égale à la norme le module 2h01 au carré plus un homme où le module 2 0 au carré et on s'est du coup là c'est un carré du coup c'est forcément positif du coup ça c'est forcément supérieur ou égal à la norme de m zéro au carré et si la norme 2 x au carré est supérieur ou égal à la norme 2 0 au carré comme les normes sont des nombres positif ça veut dire que la norme de x ou le module 2 x est supérieur ou égal à la norme 2 es10 voilà donc ça veut dire que en fait si x et solution de l'équation ax et galbées alors sa norme est supérieure à la norme 2 0 donc ça veut dire qu'en fait m 0 et la solution de l'équation ax et galbées qui a la plus petite normes donc on va réécrire ce qu'on a dit là donc s'ils ont conclu cette vidéo qu'est ce qu'on a dit on a dit qu'on prend un vecteur b qui appartient à l'image de a6b appartient à l'image de a alors il existe il existe il existe un unique il existe un unique f0 qui appartient à l'image de la transposer de à l'image de la transposer de à tel que tel que f zero est une solution est une solution est une solution de l'équation ax et galbées de l'équation ax et galbées ça ce qu'on avait dit et ce qu'on a dit maintenant c'est qu' il n'existe pas d'autres il n'existe il n'existe pas d'autres solutions d'autres solutions en fait il n'existe pas d'autre solution de l'équation à aix et galbées avec un module plus petit que celui le vert 0 donc donc avec un module plus petits autrement dit f zero est la solution de l'équation ax et galbées qui a le plus petit module voilà j'espère que c'est clair et dans la vidéo suivante on va prendre un peu un exemple pour illustrer tout ça