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Exemple de solution à l'équation Ax=b

Visualiser l'espace des solutions de l'équation Ax=b à l'aide de la transposée. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va considérer une matrice a comme ceci est un vecteur b comme cela et on va s'intéresser à eau solution de l'équation ax et galbées mais avant d'obtenir sa on va faire quelques étapes et notamment la première chose qu'on va faire on va s'intéresser au noyau de la matrice à s'intéresser au noyau de la matrice à et on a déjà vu que pour trouver le noyau d'une matrice on s'intéresse à la matrice échelonné réduite la matrice et je launay réduite donc pour ça on reprend la matrice a donc la matrice 3 6 - 2 - 4 et on va un peu travaillé sur cette matrice pour la mettre forme d'une matrice échelonné réduite donc la première chose à faire on va garder la première ligne constante il en va remplacer la deuxième ligne par la deuxième ligne moins deux fois la première ligne donc je garde ma première d'une constante 3 et -2 et je remplace la deuxième ligne par la deuxième ligne moins deux fois la première ligne donc ça fait 6 - 2 x 3 ça fait zéro et ça fait moins 4 - 2 fois moins deux donc ça fait moins 4 + 4 ça fait zéro ça c'était la première étape est maintenant on va remplacer la première ligne par la première ligne est divisé par trois pour obtenir 1 1 ici donc si on fait ça la deuxième ligne reste constante 00 ici on a 3 / 3 ça fait 1 c'est ce qu'ont voulu obtenir et là on a moins de diviser par 3 ça fait moins deux tiers - 2/3 donc maintenant j'ai obtenu ma matrice échelonné réduite et si je veux m'intéresser au noyau à en fait je vais résoudre l'équation cette matrice la matrice échelle réduite fois un vecteur x donc je vais noté x1 x2 égal aux vecteurs nul d'un correcteur 00 donc si j'ai raison cette équation sur la deuxième ligne en fait je vais avoir aucune information parce que j'ai zéro x x 1 + 0 x2 égal à 0 5 et 0 égal à zéro par contre sur la première ligne qu'est ce que j'ai j'ai une foi x1 moins 2/3 x x 2 - 2/3 x x 2 qui est égal à zéro ça la gêne équation donc je peux la réécrire sam dunn et x1 égale deux tiers 2 x 2 donc là j'ai que si mon vecteur x vérifie c'était quoi sur la donc ça veut dire simon baker x appartient au noyau demain matrice échelonné réduite et on sait que s'il appartient au noyau de la matrice et je tenais réduite il appartient au noyau 2 à simon vecteur x appartient au noyau doit alors il doit vérifier x1 égale deux tiers 2 x 2 donc maintenant ce que je peux faire c'est 6 x 2 je l'appelle t jeudi que x2 est égal à un réel t d qui appartient air à ce moment là je sais que x1 les égales à deux tiers de tes deux tiers de thé donc si j'écris le noyau de à noyaux dois je peux dire que c'est l'ensemble de tous les vecteurs x1 x2 qui s'écrivent sous la forme de avec un réel t fois le vecteur x 1c deux tiers de tes deux tiers et x2 7 et galatée donc deux tiers a donc le noyau assez l'ensemble des vecteurs qui écrivent comme tu es fois le vecteur deux tiers 1 ou t appartient à air est une autre façon de dire ça si on pose maintenant si on dit que tu es est égal à 3 fois un autre réel c'est ça je peux l'écrire le noël de hp les griffes comme l'ensemble des vecteurs x1 x2 est en fait je vais remplacer t par trois fois c est en fait je vais faire entrer le 3 dans le vecteur ici donc ça me fait c'est fois donc deux tiers x 3 ça fait deux et une fois 3 ça fait 3 donc c'est l'ensemble des vecteurs qui s'écrivent sous la forme c'est fois le vecteur 2,3 ou c'est appartient à m ça c'est le noyau de ma batterie ça donc ça veut dire je peut réécrire donc ça c'est un mec tempête s'élevait pts du vecteur 2 3 donc je peux écrire que mon noyau de à est égal au vectes de mon vecteur 2 3 voilà donc la g l'expression du noyau de matrix a alors maintenant si je veux résoudre l'équation ax et galbées donc pour ça je vais écrire ma matrice augmenter la matrice augmenté ça va être 3 6 - 2 - 4 et ici je vais rajouter mon vecteur b qui est le vecteur 9 18 ça c'est la matrice augmenté maintenant je peux la passer sous forme d'une matrice échelonné réduite donc comme tout à l'heure je vais remplacer la deuxième ligne par la deuxième ligne - deux fois la première ligne dont je garde la première ligne constante me fais 3 - 2 9 et la deuxième ligne ça me fait 6 - 2 fois 3 0 - 4 - 2 fois moins deux ça fait zéro et 18 - deux fois 9 ça fait zéro et maintenant j'ai dit viser la première ligne par trois obtenir 1 1 ici en premier donc ça me fait la deuxième ligne constante 000 et la première ligne devient 3 / 3 ça fait 1 - 2 / 3 s'est fait moins 2/3 élèves divisés par trois ça fait 3 donc une fois que je suis lâche pour passer à la résolution de mon équation donc résoudre l'équation avec ses galbes et c'est la même chose que résoudre l'équation de matrix 1 - 2/3 00 fois un vecteur x que j'écris sous la forme x1 x2 est égal à mon vecteur qui ici 3 030 résoudre l'équation a été calme et c'est la même chose que résoudre cette équation ici alors ici encore une fois la deuxième ligne ne nous donnent aucune information parce que c'est zéro x x 1 + 0 x2 égal à zéro ce fait zéro et gagnent 0 par contre sur la première ligne qu'est ce qu'on a on a x 1 - tiers de x2 égale à 3 donc x1 moins deux tiers 2 x 2 qui est égal à 3 et donc ça je peux l'écrire sous la forme x1 est égal à 3 + 2/3 2x deux tiers 2 x 2 comme précédemment je peux poser x2 égale tx2 égalité avec thé qui appartient air et du coup à ce moment là j'ai x1 qui est égal à 3 + 2/3 de thé et du coup maintenant je peux écrire mon ensemble de solutions je veux dire que mon ensemble eux des solutions de l'équation ax est élevée c'est égal à l'ensemble des vecteurs x1 x2 qui s'écrivent sous la forme donc on va voir un premier vecteur qui va être un vecteur constants donc on va faire par rapport à x1 déjà on va voir si on va avoir 1 3 parce que ses trois plus des fois le vecteur ici on va avoir deux tiers et sur la deuxième ligne pour x 2 x 2 il n'ya pas termes constants donc ici on a 1 0 et exilé galatée donc ici g11 et avec encore une fois tu es qui appartient à r comme précédemment je peux poser tes qui est égale à trois fois ces trois fois réelle c est du coup mon ensemble eux devient l'ensemble des vecteurs sous la forme 3 0 ça ça change pas plus c'est fois et du coup j'ai fait rentrer le 3 dans le lecteur ici je vais avoir deux tiers x 3 ça fait deux ici un x 3 ça fait 3 avec ces qui appartient à m ça c'est bon ensemble de solutions de l'équation ax et galbées et on voit en fait qu'est ce qu'on obtient on obtient tout simplement un vecteur qui est constant plus un membre du noyau de 1 alors maintenant si on s'intéresse à l'image l'image de la matrice transposer de à l'image de la trappe matrice transposer de à ckoi c'est l'ensemble générés par les vecteurs ligne de matrice à celle vectes de mai vecteur lille qui sont 3 - 2 et 6 - 4 donc c'est le mec tu des vecteurs 3 - 2 et 6 - 4 mais en fait ce qu'on voit très vite et que le deuxième vecteur ces deux fois le premier vecteur donc en fait je suis là n'importe pas et on dit que l'image de la matrice transposer de ac le vectes de mon vecteur 3 - 2 voilà maintenant qu'on a vu tout ça on va essayer de représenter tout ce qu'on a vu de façon graphique donc si je fais un petit graphique ici joan lax y ici mon axe x comme ceci est du coup si j'essaye de représenter d'abord le noyau de matrice à le noyau de matrice à on a dit que c'est le vecteur du vecteur 2 3 donc le vecteur de 3 ici il avance de 2 comme ceci et de trois comme ceci donc dans sa position standard le vecteur 2 3 c'est ce vecteur l'ifi et du coup le vectes du vecteur 2 3 c'est la ligne la ligne hi fi donc ici ce que j'ai représenté on l'a dit c'est le noyau de à figer le noyau doit qu'au bien maintenant on peut regarder l'ensemble des solutions de l'équation ax et galbées l'ensemble de solution de l'équation est légal mais il est ici donc c'est l'ensemble des vecteurs générés par le vecteur 3 0 plus un vecteur du noyau doit donc le vecteur 3 0 il est ici c'est ce vecteur ichi et ensuite donc c'est l'ensemble de tous les vecteurs 2 3 donc ça va être une ligne qui va être une droite qui est parallèle à celle qui définit le noyau doit donc être droite comme ceux ci voilà ça c'est on a dit c'est l'ensemble eux si l'ensemble des solutions de ça c'est toutes les solutions de l'équation ax égale b très bien maintenant qu'est ce qu'il nous reste à dessiner il nous reste à dessiner l'image de la transposer de a donc c'est le vecteur du vecteur 3 - 2 donc 3 c'est ici - 2 c'est quelque part par là donc le vecteur de vecteurs 3 - 2 ça c'est le lecteur 3 - 2 et le vexer laïque qui passe par ce vecteur comme cette fille voilà donc ça je vais ensuite c'est l'image de la transposer de a très bien maintenant j'ai dessiné les trois ensemble qu'on a vu la première chose qu'on observe c'est que l'image doit transposer 2a et le noyau de à son bien transposer son bien orthogonaux l'un à l'autre ce qui est normal parce qu'on avait vu que le noyau de à c'est le complément orthogonale de l'image de la transposer doigts et inversement à voir maintenant si on se rappelle de ce qu'on avait dit dans la dernière vidéo on avait dit que si on prend un vecteur b qui appartient à l'image doit on a la solution la solution qui a la solution de ax de ax et galbées avec le module avec le module qui est le plus le plus faible avec le module le plus faible la solution de ax et galbées avec le module le plus faible est un membre en fait unique de l'image de la transposer de la donc est un membre unique 2 l'image de la transposer doit l'image de la transposer de a quand même ça ça veut dire que on a on à l'infinité de solution à l'équation avec ses galbes et mais la solution de cette équation qui a le module le plus faible donc c'est dire la longueur de vecteurs la plus faible états membres de l'image de la transpose 2a et en plus il est unique en fait ça on le voit bien ici graphiquement ici un bleu on a les solutions de l'équation ax et galbées en jaune on l'a l'image de la transposer de a et on voit que les deux ensembles ont une intersection unique ici en rouge donc ce point ici c'est bien une solution de l'équation avec ses galbes et vu qu'il est sur la droite bleus il appartient à l'image qui va transposer vu qu'il est sur la droite jaune donc ce vecteur ici que je défile en rouge c'est bien une solution de l'équation avec ses galbes et qui appartient à l'image de la transpose doit donc on va l'appeler le vecteur air et on voit graphiquement aussi que donc six ans si on prend des vecteurs sont solution de l'équation avec ses galbes est par exemple ce vecteur là et solution de l'équation ce vecteur là et solution de l'équation ce vecteur ici et solution de l'équation mais le vecteur air et bien de toutes les solutions de mxi lbc le vecteur qui a la plus petite longueur ou le plus petit module alors maintenant vu que air appartient à l'image doit transposer de on sait qui s'écrit sous la forme c'est fois le vecteur 3 - 2 n'a que r on sait qui s'écrit sous la forme c'est fois le vecteur 3 - 2 l'idée maintenant ça va être d'essayer de résoudre poussé pour avoir une expression de mon vecteur r alors si on fait ça si on prend si on considère le vecteur le vecteur 3-0 - le vecteur air donc moins ces 3 - 2 ce vecteur là en fait c'est quels vecteurs c'est le vecteur qui est ici ou en position standard c'est un vecteur qui est ici ce vecteur l'acquis et qui en verre c'est un vecteur qui appartient au noyau de a vu qu'il est sur cette ligne hi fi donc ce vecteur ici c'est un vecteur du noyau de 1 et on sait que le noyau doigt est perpendiculaire à l'image de la transposer de a donc si on fait le produit scalaires de ce vecteur qui appartient au noyau de à part un vecteur qui appartient à l'image de la transposer doit on devrait ça devrait être égal à zéro donc ici si on fait le prout jusqu'à l'ère de ce vecteur par le vecteur 3 - 2 qui appartient à l'image de la france ne doit se produire qu'à l'ère par définition doit être égale à zéro pourquoi j'insiste parce que ici on a un vecteur qui appartient au noyau doigts qui appartient au noyau à et ici on a un avec terre qui appartient à l'image de la transposer de à l'image doit transposer de a et on voit que maintenant on a une équation avec une inconnue qui essaie et du coup on va pouvoir trouver c'est donc ça qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que ici j'ai 3 - donc gérer écrire ce vecteur est ici pour soit plus lisible ce vecteur illégal ou vecteurs 3 - 3 c 3 - 3 c est ici on a deux c2 c'est donc c'est le produit scalaires de ce vecteur par le vecteur 3 - 2 et donc ça ça vaut quoi ça on peut le calculer ici on a 3 - 3 c x 3 est en dessous on a plus de ces fois moins deux et donc ça je te descendre ça c'est égal à quoi alors donc ça fait 9 - 9 c est moins 4 c'est ça on sait que c'est égal à zéro donc ça veut dire que j'ai 9 - 9 + 4 ça fait 13 - 13 c qui est égal à zéro donc j'ai que c est égal à 9 13e j'ai réussi à obtenir la valeur de ces grâce à ce produit scolaire et du coup maintenant je peux revenir sur mon vecteur air ici r il est égal à quoi ils et gallas est donc à neuf treizième fois le vecteur 3 - 2 3 - 2 et du coup il égale à 9 soit 3 27 donc 27 13e et 9 x 2 10 8 donc moins 18 13e donc j'ai réussi à trouver la valeur de r grâce à ce produit scolaire donc voilà donc ça c'était pour donner un exemple de ce qu'on a vu dans la dernière vidéo qui pouvait paraître un peu un peu abstrait là j'espère que tu as bien compris comment ça se passe et de façon plus concrète