dim(v) + dim(complément orthogonal de v) = n

alors dans cette vidéo on va considérer un sou espace v de rnb on dit que c'est un souhait espace sous espace 2 on a dit de r n donc on prend v1 sous espace 2 et rennes et on va supposer qu'on connaît une base devait donc on va dire que la base devait elle est composée des vecteurs v1 qui est le premier vecteur de la base v2 et cetera jusqu'à vk le dernier vecteur de la base ça on a dit ça c'est une base devait donc on a notre espace on a une base de notre espace la première chose qu'on sait c'est que la dimension de v ça correspond au nombre de vecteurs qui a dans sa base parce que tu te souviens que une base s'est composé de vecteurs qui génère le fou espaces et qui sont linéairement indépendant donc on sait que la dimension la dimension de v c'est égal au nombre d'éléments dans ma base est ici il ya combien de vecteurs il ya v1 tu as fait un v2 ça fait deux et ch café vegas a fait qu'un vecteur donc on sait que la dimension de vck ici et là question qu'on se pose c'est on connaît la dimension de v mais quelle est la dimension du complément orthogonale devait donc la question qu'on se pose et à laquelle on va essayer de répondre dans cette vidéo c'est quelle est la dimension du complément orthogonale du complément orthogonale ortho gonal de v la question à laquelle on va essayer de répondre dans cette vidéo et pour essayer de répondre à cette question on va commencer on va prendre une matrice on va prendre une matrice à et on va dire que cette matrice à elle est formée en fait ces vecteurs colonnes sont les vecteurs de la base devait donc le premier vecteur colonne ça va être v1 le deuxième vecteur colonne ça va être v2 etc jusqu'à le lac ayem colonnes se mettre le lecteur vk donc ça c'est ma matrix a donc les lecteurs sont des vecteurs colonnes comme cette fille et du coup la dimension de matrice à on a dit qu'il y avait chaque il ya combien de lignes ici c'est ces vecteurs sont des vecteurs de rnl ça veut dire qu'il ya une ligne chaque vecteur à haisnes composants donc il ya elle ligne en a dit hey combien de colonne le nombre de colonnes c'est facile y en a autant que de vecteurs yaka colonnes donc ma matrix ah si une matrice n fois cas et alors maintenant en quoi cette matrice et les relier à montsoult espace v en fait le v on a dit que la base devait générer vais donc se dire que v c'est égal au vectes 2 mai vecteur v1 v2 jusqu'à 20 ah le sous-espèce v est générée par les vecteurs v1 v2 veka est en fait ce qu'on sait aussi c'est que le vectes des vecteurs colonnes de as c'est aussi égal à l'image de ah ça c'est aussi égal à l'image de matrice à voilà le lien entre cette matrice et mon souhait espace wc kfw c'est égal à l'image de à et alors ce qu'on sait aussi ce qu'on a vu dans la dans la vidéo précédente c'est que le complément orthogonale de l'image de a et qu'on écrit comme ces filles là c'est l'image de à et pour prendre son complément orthogonale je décris comme ceci ça c'est le complément orthogonale de l'image de là il est égal à quoi il est égal au noyau de la transposer de à le complément orthogonale de l'image de à est égal au noyau de la transposer de à et c'est quoi en fait la transposer de à si on écrit à transposer donc déjà si une matrice qui va être qu'à fois n 4 x n et va être égal à quoi ça va être égale à une matrice dont les vecteurs ligne sont les vecteurs colonnes transposer donc le premier vecteur l'insee v1 transposer qui est du coup c'est un vecteur ligne le deuxième c'est v2 transposer et le cai mcv qu'à transposer donc ça c'est ma matrice à transposer qui est composé des vecteurs ligne qui sont égaux aux transposer des vecteurs colonnes de matrix a alors qu'est ce qu'on veut qu'est ce qu'on sait sur cette matrice transposer de à on sait et ça c'est une règle générale que le rend le rang de matrice à transposer alors leur ans est égale à la dimension de l'image de matrice à transposer plus la dimension la dimension du noyau de matrice à transposer les deux la somme des 2 durant de matrix et de la dimension du noyau ça me donne n n étant ici on appris dans rnc le même haine qu'on a ici et qu'on a ici alors d'où ça vient ça on l'avait vu il ya quelques vidéos déjà on avait pris une matrice en fait on va essayer de revenir juste très rapidement sur comment est ce qu'on a obtenu sa si on prend une matrice quelconque donc là je parle plus de ma maîtrise donc je vais prendre une nouvelle matrice par exemple qu'on va appeler b je vais prendre une matrice b je vais dire qu'elle est formée des vecteurs bay un des vecteurs colonnes b1 b2 et c hkb n cette matrice je peux trouver la matrice échelonné réduite qui correspond à matrice b on a dit mme amatrices échelonné réduite et elle est sous quelle forme en fait ça va être une matrice où je vais avoir donc je vais voir mes pivot par exemple ici je vais avoir un et des 0 ici je vais avoir 1 011 et des 0 ici je vais avoir une autre colonne je sais pas comment ici comment aller ici je vais avoir une autre colonne ici je veux avoir 1 0 1 0 1 1 dezeraud encore et etc ça va continuer est ce que je sais de cette matrice donc là j'ai mes colonnes avec des pivots gilles un lacet un pivot ce1 las un pivot ce1 là c'est un pivot est ce que je sais c'est que l'image de cette matrice b en fait on connaît une base si on prend les vecteurs colonnes demain matrice échelonné réduite qui correspondent au pivot je peux obtenir en fait en prenant tous les vecteurs colonnes correspondant au pivot j'obtiens une base de l'image de a donc tout tous et tous ces vecteurs cologne qui forment une base de l'image de à et si je veux avoir une base du noyau maintenant de à comment est ce que je la trouve et ben en fait je prends toutes les colonnes correspondant à des variables lime et si je forme une famille avec tous les vecteurs correspondant aux variables l'hymne je vais obtenir une base du noyau demain matrice b et du coup on voit en fait ici on a on a n colonnes dans cette dans cette matrice et du coup la dimension de l'image de b plus la dimension du noyau de b ça va bien de faire n qu'il correspond au n colonnes de matrix nous voilà donc ça c'était juste sur la multi un petit revenir sur ce qu'on a vu pour bien comprendre d'où ça vient là le fait que le rang de la transposer de a donc la dimension de l'image de la transposer de a+ la dimension du noyau de la transposer de à me donne n est alors on avait aussi vu que le rang de la transposer de ah ça c'est égal au rang de a directement le le rang de la matrice transposer et d'égal au rang de la matrice donc si je réécris cette égalité ici j'ai le rang 2 a plus la dimension du noyau de la transposer 2a qui est égal à n alors maintenant se rende à si je leur ai écrit je l'écris bon sens et ça c'est la dimension le rende à c'est la dimension l'image de à la dimension de l'image de à la dimension de l'image de la plus la dimension du noyau de à transposer est égal à n et si on continue c'est quoi l'image de ah ben on l'a vu ici l'image de à c'est égal à v donc ça veut dire que ça c'est la dimension de l'image doit c'est aussi la dimension de v et la dimension du noyau de la transposer de à on a dit que le noyau de la transposer de haas était égal aux compléments orthogonale de l'image de a donc ça c'est aussi la dimension du complément orthogonale de l'image doit et donc le complément orthogonale de l'image de là c'est quoi c'est le complément orthogonale devez donc ça c'est la dimension du complément octogonale devez et ça c'est égal du coup à m donc nous ce qu'on voulait obtenir c'est la dimension du complément orthogonale devait mais en fait c'est ce qu'on a ici ici on n'a que la dimension devait plus la dimension du complément orthogonale devez est égal à n quand on a un v qui est un sous espace je le rappelle vc-1 sous espace en dessous espace 2 r n est le n qu'on a ici je le rappelle c'est bien le n qu'on a ici c'est la dimension de r n voilà du coup dans cette vidéo on a vu qu'elle était la dimension du complément orthogonale d'un sous espace de rn et je te dis à bientôt pour la suite