Compléments orthogonaux

alors dans cette vidéo on va partir de v on va supposer que v c'est un sou espace v on va dire que c'est un souhait ce parce qu'un sous espace vectoriel bien sûr de rnb sinsou espace vectoriel 2 et rennes et on va s'intéresser à ce qu'on appelle le complément orthogonale devait le complément orthogonale orthogonale devait et on va essayer de définir un peu ce complément orthogonale devait voir ce qu'on peut dire dessus et c'est alors la première chose qu'on peut dire sur le conflit morteau canal c'est que c'est un abus de langage de l'appeler comme ça normalement on peut l'appeler le souhait ce pass orthogonale parce que le terme complément en mathématiques n'a pas la même signification mais c'est un abus de langage qui est couramment utilisé du coup ici on l'appellera tout le temps le complément orthogonale en garde en mémoire que ce n'est pas un complément donc ce complément orthogonale on va l'écrire v orthogonale comme ça c'est comme ça qu'on va noter le complément orthogonale devait et à quoi est-ce qu'ils légal ce complément orthogonale devait il est égal à tous les vecteurs x qui appartiennent à arn tous les vecteurs x qui appartiennent à r n tels que le produit scolaire 2 x par un vecteur v soit égal à zéro pour tous pour tous pour tous vecteurs v pour tous vecteurs v qui appartient à un os ou espace vais donc le complément orthogonale devait c'est l'ensemble de vecteurs qui appartiennent à rennes tels que le produit scalaires de ses vecteurs fois par un vecteur de devait soit égal à zéro alors la première question qu'on pose posée par rapport à ce complément automnale de v c est ce que c'est un souhait espace est ce que le complément orthogonale de v est un sou espace 2 et rennes est-ce que ça c'est un sou espaces c'est là que la première question qu'on va se poser dans cette vidéo alors pour répondre à cette question je sais pas si tu te souviens on avait vu dans il ya quelques vidéos déjà on avait vu les conditions que un ensemble devait respecter pour être un espace alors si on prend par exemple à deux vecteurs a et b et on va supposer que ces deux vecteurs appartiennent à mon complément au canal devait avait perpendiculaire on va supposer que ces deux vecteurs appartiennent aux compléments automnale de v est ce qu'on va voir c est ce que le vecteur a + b appartient aux compléments orthogonale devait ça c'est la première question qu'on va se poser et si cette condition est vérifié ça veut dire que alors v le comble est morte automnale de v est stable par addition ça c'est la première condition est la deuxième condition c'est si on prend un un scalaire c est ce que le vecteur c'est fois à appartient à aux compléments orthogonale devait est en fait donc donc ça c'est ce qu'on appelle la multiplication la stabilité par multiplication scalaires et si tu rappelles bien il y avait une troisième condition qui est est ce que le vecteur nul appartient à mon ensemble donc ici au complément orthogonale devait en fait cette condition cette troisième condition en fait elle est un peu redondante avec cette condition parce que ici vu que ça doit être vrai pour tous c'est à cela doit être aussi vrai pour ces égal à zéro et donc ça veut bien dire là on a là la condition implicitement la condition est ce que le vecteur nu il appartient aux compléments orthogonale devait alors du coup pour vérifier ça qu'est ce que ça veut dire déjà que a et b appartiennent aux compléments togo n'a levé ça veut dire que si à appartient aux compléments orthogonale devait alors par définition on aa le produit scolaire de à x v qui est égal à zéro pour tous vecteurs v pour tous v qui appartient à montsoult espace grand v donc j'ai cette condition que le produit scalaires de à parts égales à zéro pour tous vecteurs v appartenant à montsoult espace v même chose si v16 b appartient aux compléments orthogonale devait ça veut dire que j'ai b produits scolaires de b x v qui est égal à zéro pour tous pour tous vecteurs v qui appartient à montsoult espace grand v alors maintenant qu'on a ces conditions on va se poser la question est ce que a + b appartient aux compléments automnale de v 6 a + b appartient donc ça va en fait on va se poser la question que vaut le produit scalaires de a + b par vais donc que vous le produit scolaire de a + b a + b par un vecteur v qui appartient à montsoult espace grand v en fait le pôle scolaire on sait que c'est distributif donc ça je peux l'écrire comme à scalaires v + b scal hervé et maintenant je sais que à appartient aux compléments togo nal devait donc se dire que à pôle scolaire de à parts égales à zéro ça c'est égal à zéro + b appartient aussi aux compléments orthogonale vais donc le produit scolaire de bébé par v est aussi égale à zéro ça fait zéro plus zéro ça fait c'est égal à zéro donc j'ai bien que le produit scolaire de a + b par un vecteur de v est égal à zéro axa veut dire que a + b il appartient bien au complément orthogonale devait la première condition de stabilité par addition est bien vérifier maintenant si on regarde la deuxième condition qu'ils aient la stabilité par multiplication scalaires il faut que je regarde est ce que le produit scalaires de ca de mon secteur c'est à part un vecteur de mons ou espace v à quoi est-ce que c'est égal ça là je peux l'écrire comme ces fois le produit scalaires 2-1 par v et vu que à appartient aux compléments octogonale devais je sais que à le produit scalaires de harvey est égal à zéro pour touver appartenant à montsoult espaces donc ça c'est bien égal zéro donc ça fait c'est x 0 et ça fait c'est bien égal à zéro donc le complément orthogonale de vf bien instable par multiplication ce qu'allait donc la deuxième condition est vérifiée et là on voit bien que si on prend c'est égal à zéro ça fait zéro x 0 donc ça fait aussi zéro donc le vecteur nul appartient aussi aux compléments orthogonale devait en fait on peut même si on se rappelle bien si tu te rappelles bien on avait dit ouh là il ya quelques vidéos déjà que le vecteur nul est en fait orthogonale à tous vecteurs de rn donc ça veut dire qu'en fait le vecteur nul il va appartenir à tous les compléments orthogonaux c'est à dire que quel que soit mon souhait espace v on sait par définition que 0 appartient à son complément orthogonale donc maintenant on a bien répondu à la question est ce que le complément togo n'a levé et un seul espace réponse c'est oui quelle que soit v le complément togo n'a levé est un sou un espace 2 et rennes alors maintenant on va un peu changer de point de vue du coup on va parler de matrix on va prendre ce qu'on va prendre une matrice à on va dire que c'est une matrice m x n est en fait dans la vidéo précédente on avait dit que on avait pris quelques exemples de matrix et on avait vu que le noyau qu'on écrit le caire 2 ah ça c'est le noyau à on avait dit que c'est le complément orthogonale là est dit que le noyau de la est le complément le complément orthogonale de en fait de l'espace de l'espace qu'on avait défini de l'espace qui étaient définis par définies par les vecteurs ligne 2 a en fait définis par les vecteurs ligne vecteur ligne 2 a en fait c'est par le vecteur des vecteurs ligne doha ça c'est en fait on peut l'écrire comme cet espace ça on peut l'écrire comme l'image de à transposer c'est l'image de la transposer des bars en fête donc ce qu'on dit ici c'est que care 2a est égal est égal en fait aux compléments orthogonale de l'image de la transposer de à jeudi complément orthogonale le noyau de à c'est le complément orthogonale de l'image de la transposer 2,1 alors ça on va essayer de le démontrer ici et pour le démontrer on va dire qu'en fait que la matrice à matrice à on va l'écrire sous la forme en fait de ces vecteurs ligne donc on va voir le vecteur ligne 1 est en fait on va dire que vu que c'est des vecteurs ligne on va les écrire comme des vecteurs colonnes transposer ce jeudi qu'en fait le vecteur lignes de ma batterie ça c'est le vecteur l1 transposer et la même façon on va voir le vecteur ligne 2 qu'on va écrire comme la transposer en fait c'est pour l'écrire comme la transposer d'un vecteur colonnes et c'est jusqu'au vecteurs elle aime transposer ça c'est ma batterie ça que j'ai écrit en fonction des vecteurs ligne donc gm vecteur ligne est maintenant si on prend un vecteur x qui appartient au noyau à on sait qu'on a à x qui est égal aux vecteurs nul le vecteur elle le produit a le produit à paris xe est égal aux vecteurs nuls 6 x appartient au noyau de à qu'est ce que ça veut dire ça en fait le fait que à x x soit égale vecteur nul on peut l'écrire comme le fait que le produit scalaires de l1 par x soit égal à zéro le produit scalaires de l2 par x swayze égal à zéro et cth que produits scolaires de l -m -parent x soit égal à zéro si je n'écris l1 par un mix est égal à zéro donc si j'écris plus la transposer parce que en fait le produit scalaires on l'a vu dès on l'avait défini pour des vecteurs colonnes donc là c'est bien un vecteur colonnes donc j'ai l1 paris x qui est égal à 0 l de produits scolaires de l2 par x qui est égal à zéro et c'est jusqu'à elle m produits scolaires de l aime paris x qui est égal aux 6 à 0 sassi x appartient au noyau de à g que le projet scolaire de l1 paris xe est égal à zéro le produit scalaires de l2 paris x et qui est égal à zéro et c'est jusqu'au produit de l aime paris xe est égal à zéro gré les deux sont équivalents le fait d'écrire tout ceci ou saas et c'est la même chose alors du coup avant de continuer pour rappel au niveau de notation on disait que le noyau de à cette égal à l'ensemble des vecteurs x appartenant à air n tels que le produit de à paris ixe soit égal aux vecteurs nul et du coup d'après ce qu'on vient de dire là si on prend un vecteur v qui appartient au noyau doigts si on prend v qui appartient au noyau de à l'hectare v d'après ce qu'on a dit ici le produit scalaires devait par n'importe lequel des vecteurs ligne est égal à zéro donc ça veut dire que v et orthogonale à tous les vecteurs ligne v est orthogonale orthogonale a donc l1 l2 et c'est jusqu'à elle m donc ça veut aussi dire que v et orthogonale b est orthogonale à toute combinaison linéaire de ses vecteurs ligne à toute combinaison une r je l'écris combinaison l'inr ça cela on écrit comme sa combinaison venir donc v6 v appartient au noyau de à v et orthogonale à toute combinaison in her des vecteurs ligne si je prends un vecteur w je prends w que je vais écrire comme une combinaison in her de ces vectory donc vw cc1 fois elle un plus c'est deux fois elles deux plus et c'est jusqu'à cml m ce que je dis c'est que le produit scalaires devait par w v par w c'est égal du coup à ses 1 fois le produit ce qu'alain devait par l un plus ces deux fois le produit scalaires devait par l 2 + etc jusqu'à cm produit ce cas-là devez par elle m et donc ça on l'a vu que v et orthogonale la l1 je vais voir que le produit scalaires devait parer l'un est égal à zéro v est encore tôt gones à la l2 donc le produit scolaire devait par l2 est égal à zéro et ch que produits scolaires devaient par hélène qui est aussi égale à zéro donc le produit scolaire devait par w est bien égale à zéro ça correspond à ce que je disais que v et orthogonale à toute combinaison linéaire des vecteurs ligne l1 l2 jusqu'à hélène donc ce qu'on vient de dire c'est que si on prend un vecteur w qui appartient à l'image de la transposer de à c'est bien ce qu'on avait fait ici w il combinaison linéaire des vecteurs ligne ça veut bien dire que w il appartient à l'image de la transposer 2a et v on a dit v appartient au noyau de à si on n'a que w appartient à l'image de la transposer doha et kfw appartient au noyau de à ce qu'on vient c'est que le produit scalaires devait par w est égal à zéro donc ça si on le formule en français on a dit que tout le monde tout membre du noyau doit tous membres de care 2a et orthogonale et octogonale à tout membre à tout membre de l'image de la transposer delà de l'image de à transposer c'est ça qu'on vient de dire donc si on repasse en termes mathématiques ça nous dit que le noyau à il est forcément inclus dans le complément orthogonale de l'image de la transposer doit le complément orthogonale de l'image de la transposer de a vu que tout membre de du noyau de à et orthogonale à tout le membre d'une image à transposer de à ça veut dire que tout membre du noyau a et appartient aux compléments orthogonale de l'image de la transposer de à mais il ya peut-être des éléments du complément orthogonale de l'image du à transposer de à qui appartiennent pas au noyau de à et c'est ça qui va falloir vérifier si on veut qu'ils aient égalité si on veut montrer qu'il ya égalité entre ces deux éléments il faut montrer maintenant que tous les éléments de l'image du du complément orthogonale de l'image de la transposer doha est inclus dans le noyau de 1 et du coup pour ça on va prendre maintenant on va prendre un élément eu un vecteur u qui appartient du coup au complet morte au monal de l'image la transposer de un complément orthogonale de l'image de la transposer 2 1 et on va essayer de montrer que lui appartient au noyau doit donc si une appartient aux compléments orthogonale de l'image de loi transpose de 20 ça veut dire qu'on a eus scalaires w qui est égal à zéro pour pour tous w qui appartient à l'image de à l'image de la transposer de à sciure appartient aux compléments orthogonale de l'image de la transposer d'eux a alors pour tous w qui appartient à l'image de la transporter à g le produit scalaires de l'upa wks est égal à zéro et comme ça c'est vrai pour tous w qui appartient à l'image de la transposer 2 à 6 aussi vrai pour les vecteurs ligne vu que les vecteurs ligne appartiennent par définition à l'image de la transposer doit donc ça ça implique que j'ai le produit scalaires de eu par l j qui est égal à zéro ça en fait c'est où le mans j il est égal à 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou extra jusqu'à m pour tout j entre 1 et mg le produit scolaire de lui paraît logique est égal à zéro donc si on écrit autrement j'ai eu un scalaire l1 qui est égal à zéro j'ai eu scalaires l2 qui est égal à zéro j'ai eu ce qu'elle rlm qui est égal à zéro alors si ça c'est vrai si une escale rlj est égal à zéro ça veut dire que le produit de a paru est égal aux vecteurs nul parce que le produit de apparu c'est jusqu'à l'ère l1 qui donne le premier coefficient u scolaire l2 qui donne le deuxième coefficients et sera donc j'ai bien en résultat un vecteur rouge et où les coefficients qui sont égaux à zéro donc j'ai bien le vecteur nul donc ça ça veut dire que mon vecteur qui appartient aux compléments orthogonale de l'image de la transposer 2 1 maintenant je sais qu il appartient au noyau de à c'est ce que je viens de dire si u appartient aux compléments orthogonale de l'image de la trans'oise d'eux a alors j'ai le produit apparu qui est égal avec tenu donc ça veut bien dire que eu appartient au noyau doigts et donc ce que je viens de démontrer c'est que je viens de démontrer l'inclusion inverse dire que si lui appartient complément orthogonale de l'image de la transposer d'eux a alors il appartient au noyau doit donc ça veut dire que l'image le complément orthogonale de l'image de la transe au s2 est inclus dans le noyau de a donc maintenant je sais que le noyau doigt est inclus dans le complet morceau gonal de l'image de la transpose de loi que le complèment orthogonale de l'image de la transposer 2a est un cul dans le noyau doit donc je peux dire que j'ai égalité que le noyau à j'ai bien montrer qu'il est égal aux compléments orthogonale de l'image de la transposer de à sa maintenance a été démontrée et alors pour finir si on prend on considère que à ces égale à une matrice b transposer on peut toujours trouver une matrice bethel que à soi à transposer de b alors d'après cette cette égalité ici j'ai que le noyau 2 b transposer le noyau de à nouilles aux bêtes se poser est égal aux compléments orthogonale de l'image 2e b transposé de la transposer 2b transposer et donc on a dit le complément orthogonale ça c'est vrai est en fait le la transposer de la transposer 2b ça on peut dire que c b a transposé de la transposer c'est la matrice elle même du coup ce que je dis c'est que le noyau de b transposer il est égal aux compléments orthogonale de l'image de ben et donc ici j'avais que le noyau de a et l image était le complément orthogonale de l'image de la transposer 2a et maintenant j'ai que le noyau de la transposer 2b est égal aux compléments orthogonale de l'image de b/j en fait dans les deux sens ça c'est la deuxième égalité importante de cette vidéo voilà j'espère que tu as bien compris maintenant un peu mieux ce que c'était le complèment orthogonale est ce qu'on a pu lire donc c'est un espace à sous espace vectoriel et le le complément orthogonale de l'image de la transposer ça aide égale au noyau doigts voilà je te dis à bientôt pour la vidéo suivante