Composition d'applications linéaires 1

donc dans cette vidéo on va définir qu'est ce que c'est que la composent et de deux transformations lillers et donc je vais définir une transformation lean rs qui va de x temps y où x est un sous-ensemble de rn et y est un sous ensemble de r m donc si je dessine qu'est ce que ça peut donner cette transformation là mais je vais avoir mon ensemble ici de définition x et je vais avoir mon ensemble d'arriver ici y est donc je vais prendre un point dans x et je vais le transformer paresse et ça va me donner un vecteur en fait dans dans y ici donc ça c est ce donc mon point mon point de départ ici un bon vecteur de départ ça va être un vecteur x donc ici un vecteur qui peut s'écrire dans aer n est ici je vais avoir un point d'arrivée dans r m d'un air m ce point là ici et je vais définir une deuxième transformation que je vais appeler t qui cette fois ci va aller de y dans z ou z va être un sous-ensemble de r elle donc je vais décider ça de la même manière ici donc voila mon ensemble z ici et maintenant et bien si je prends si je prends ma transformation lean et rt et que je prends un point dans rm bien je vais avoir un point dans rl ici ça c'est par t est ce que j'ai dit c'est que s était étaient des transformations linéaires c'est à dire que je peux écrire ma transformation s comme le produit d'une matrice et d'un vecteur et cette matrice laquelle dimensions et bien elle va avoir elle va avoir en colonne et bien la dimension de l'espace 2 définition c'est à dire si n est en ligne la dimension de l'espace d'arrivée c'est à dire m donc ce sera une fois n matrice une matrice m x l maintenant en ce qui concerne t eh bien tu es c'est pareil je peux définir t comme étant le produit d'une matrice et d'un vecteur et cette matrice là va avoir pour dimension le nombre de lignes va être la dimension de l'espace d'arrivée c'est à dire elle est le nombre de colonnes à la dimension de l'espace de définition donc ici aiment donc une matrice l x ème et la question qu'on va se poser à partir d'ici c'est est ce qu'on peut construire une transformation linéaire qui va directement de x dans z et la réponse allait bien sûr oui c'est qu'on peut définir cette transformation nerfs comme étant une composée des transformations linéaire s était c'est à dire qu'on va construire cette transformation lunaire 2x vers l'aide en utilisant s était et on va définir cette transformation linéaire comme étant t rond est-ce qui va aller 2 x vers z est une manière de définir ça ça va être donc de partir d'un vecteur x2 et rennes de le transformer paraissent ici ce que je veux dire obtenir c'est le vecteur s 2 x c'est-à-dire la transformer du vecteur x paresse et je peux utiliser ce vecteur l'a utilisé ce vecteur là pour avoir ici pour utiliser ma transformation t es ici avoir un point qui sera ici et bien t2s 2 x c'est-à-dire la transformer partait du vecteur s 2 x donc là ça paraît assez compliqué mais en fait c'est pas si compliqué que ça puisqu'ici x c'est un vecteur de m sdx c'est un vecteur de rm et t2s 2x et bien c'est un vecteur de r elle donc une définition donc la définition de ma trempe de ma composé de thé paraissent ça va être théron s 2x est égal à t2s 2x et ça c'est la définition de la composition de fonction alors maintenant une question qu'on peut avoir c'est est-ce que et bien cette cette nouvelle transformation est une transformation qui est linéaire et pour quelle transformation soit linéaire elle doit respecter deux propriétés qu'on n'arrête pas de voir depuis le début et la première de ces propriétés c'est que la transformation de la somme de deux vecteurs par cette transformation donc doit être égale à la somme des transformations de chacun de ces villes ont vu que c'est une phrase un petit peu compliqué on va essayer de regarder qu'est ce que ça donne ensemble donc on va regarder qu'est ce que c'est que la composent et de la somme de deux vecteurs a et b qui sont tous les deux dans aer n donc ici par définition de la deûle a composé ici sas est égal à t2s de a + b ça c'est juste en appliquant et bien ma définition ici alors après qu'est ce que j'ai je décale un petit peu mon signe égal sinon je vais pas avoir de place eh bien je sais que s est une transformation linéaire donc s s et une transformation linéaire donc qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que s de a + b 7 et gala s2a plus est b donc tu es s la transformer 2 à paraissent plus la transformer 2 bb par s il ya une autre chose aussi que je sais c'est que par définition je sais que tu es est aussi une transformation linéaire t est aussi une transformation linéaire donc et bien la transformer 2 s2a plus s2b partait ça va être égal t2s de a plus t2s 2b est donc qu'est ce que c'est que tu es de s2a et bien t2 s2a c'est tout simplement terreau est celle a composé de ts 2 du vecteur à +6 il a composé du vecteur b donc ici et bien j'ai bien que la somme la transposer l'un part non j'ai bien que la transformation de la somme de deux vecteurs est égale à la somme de transformation de chacun des vecteurs donc la première propriété ici eh bien on vient de la vérifier maintenant pour que la composent et soit une transformation linéaire il faut qu'on vérifie la deuxième propriété qui a à voir avec la multiplication pince calais et on va voir tout de suite qu est ce que ça donne donc si je prends tes os de c2a qu'est ce que ça va être très bien par définition ça va être t2s de ah pardon de ses à et comme s et une transformation linéaire et bien je peux sortir le scanner de la transformation ici donc j'aurai t2c x s2a et comme tu es est aussi une transformation linéaire je vais pouvoir sortir le scala ici donc je vais voir ces deux t2 s2a et ça eh bien c'est égal assez de théron s2a est donc là on a vérifié en fait la deuxième propriété qui fait que et bien theron est ce la composent et des fonctions tu es et s est aussi une transformation en linéaire donc qu est ce qu on en conclut on en conclut que la composent et de deux transformations linéaire est une transformation linéaire et la chose importante maintenant qu'on va pouvoir écrire si j'ai encore un peu de place quelque part on va dire ici c'est que on peut maintenant écrire et bien cette transformation linéaire theron s 2 x comme étant le produit d'une matrice par un vecteur et quelles vont être les dimensions de cette matrice et bien l'espace de départ ici c'est x donc je sais que le nombre de colonnes de mama tri66 et va être la dimension de l'espace de départ donc c'est à dire n est le nombre de lignes de ma matrix et va être la dimension de l'espace d'arrivée c'est à dire ici z est donc l voilà n'est donc dans la vidéo suivante on va voir qu'est ce que c'est que l'expression de ces ici la matrice et