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Compositions d'applications linéaires 2

Les raisons de définir un produit matriciel. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans la vidéo précédente on avait défini ce que c'était que la composé de deux fonctions et on avait pris deux transformations linéaire s et tsa les 2 x verts y était allée de y verrez des on avait construit la composent et héron est ce qui va de x vers z comme étant et bien la transformer partait de la transformer paraissent du vecteur x donc là c'est theron s ii x6 manqué le vecteur ici voilà et on avait dit que est bien là composé ici de deux transformations lissner était aussi une transformation linéaires c'est à dire qu'on peut aussi écrire tes auront s 2 x comme étant le produit d'une matrice par un vecteur la maîtrise et en deux dimensions et bien le nombre de ligne ça va être les dimensions de l'espace d'arriver ici qui sera z et c'était elle et le nombre de colonnes va être la dimension de l'espace de départ ici elle est donc theron s 2x est égal à ses 2 x et maintenant ce qu'on va essayer de faire dans cette vidéo c'est trouver une expression pour la matrix c est une chose qu'on peut remarquer ici c'est que et bien s 2 x je sais que c'est une transformation linéaire qui a pour expression la matrice a multiplié par le vecteur est donc ça c'est égal à a je m en rouge ici comme la matrice sct gala à 2x et je sais que donc si je prends la transformer par t2a de ys je peux aussi utiliser la matrice de transformer 2 transformations de demont application ici de ma transformation tu es donc je vais avoir b2 à 2x donc je peux exprimer ma mamma composé ici par le produit de b x ax mais non ce que je trouvais ici c'est ces 2 x mais on va voir pourquoi ce que j'ai écrit en rouge ici est important alors comment je fais pour trouver et bien l'expression de ma matrix est ici bien d'habitude ce que je fais c'est que je commence par prendre l'identité dans l'espace de départ est ici donc c'est ce que je vais faire là je vais prendre l'identité de l'espèce de départ c'est-à-dire l'identité dans rn donc hideux n qu'est-ce que c'est c est d 1 sur toute la diagonale et des zéro partout perd donc un 1 1 voilà 0 ici on a un 0 6 1 0 là etc etc et donc je prends cette matrice identité là et pour trouver et bien la matrice c'est de ma transformation linéaires c'est à dire de mâcon poser ici eh bien je vais transformer chacun chacune des colonnes demain matrice identité par parme à composer donc qu'est-ce que ça va me donner ça va me donner que c'est donc c'est va être égal à et bien ça va être égale ici à thérèse de 1 000 donc tu es iron ace de 1,0 et theron s2100 c'est ce qu'on avait défini comme étant la matrice b par le produit à x donc ça va être égal à baa1 x donc la première colonie si bien c'est 1 000 donc c'est a multiplié par 1 0 avec que des 0 ici voilà ma deuxième colonne ça va être b x à part ma deuxième colonne ici donc 0,1 et que des zéros ensuite voilà et cetera et cetera jusqu'à et bien ma dernière colonne qui va être b x à et mon dernier un vecteur que des 0 sauf sur la dernière ligne voix alors comment est-ce qu'on peut simplifier cette expression eh bien on sait comment on peut simplifier l'expression et bien d'un produit d'une matrice par un vecteur mettons que j'ai une matrice à que je multiplie par le vecteur x donc je vais avoir une matrice à qui va être ici noté par ses vecteurs colonnes à 1 à 2 et cetera et cetera à peine ai je la multiplie par mon vecteur x qui va être x1 x2 et cetera et cetera x et hey ça on avait vu avant que c'était la même chose que d'écrire et bien x1 à un plus x 2 à 2 plus et cetera et cetera xn a donc maman je sais ça eh bien je vais pouvoir simplifier ici l'écriture de ces dons clamons vecteur x et bien c'est ici un avec que des 0 ici donc si et bien je multiplie ma matrix a par ce vecteur la toux les coefficients non vecteur sauf x1 sont égales à zéro donc c'est à dire que ici x 2 à 2 et cetera et cetera x ena enn valent tous 0 il me reste que en fait x 1 à 1 donc vu que x1 en plus est égal à 1 et bien me reste plus que à 1 ça veut dire que ça eh bien ça ici c'est égal à a1 ça c'est égal à a2 et caetera et caetera et ça c'est égal à à n voilà tout simplement donc on va écrire ça donc c est égal à et bien il me reste ba1 ba2 et cetera et cetera b à elle voit la matrice c'est donc je vais faire un petit peu de place ici pour la suite alors voilà j'enlève ça très bien mais il ya une chose je suis sûr que tu te poses la question depuis le début c'est pourquoi eh bien on définirait pas ses commettants est bien égale à la maîtrise b par la matrice est le truc c'est que pas pour le moment on sait pas du tout ce que ça donne le produit d'une matrice par une autre matrix si on sait pas ce que ça donne en fait ça tombe bien parce qu'on va pouvoir définir et bien qu'est ce que c'est que b x et bien donc ici on va faire une définition donc la définition ça va être que et bien des fois à b x à on va définir sa comme étant égal à et bien b amatrice c'est elle que je les définit ici donc je vais juste effacés encore un petit peu ça parce qu'on a vraiment plus de place donc des fois à ça va être égal à ba1 ba2 et cetera et cetera bea n ous les avis ici eh bien ce sont les vecteurs colonnes de matrix donc ça c'est une définition et on va reparler en fait du produit de de matrix dans les vidéos d'après mais la raison pour laquelle j'étais montrer tout ça c'est qu'en fait on a défini le produit de deux matrices de telle manière à ce qu'on puisse simplifier ce problème en fait les la définition du pôle du produit de deux matrices vient de 2,7 de cette raison-là de tout ce que je t'ai montrer ici dans cette vidéo la bon mais si tu ça te semble encore un petit peu abstrait et bien on va voir dans la vidéo suivante en pratique comment ça se passe la multiplication de deux matrices