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Exemples de produits de matrices

Exemple avec le produit de deux matrices. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans la vidéo précédente on avait défini ce que c'était que la multiplication entre deux matrices donc mettons que j'ai une matrice à deux dimensions m x n est que j'ai une maîtrise b de dimensions n fois elle donc matrice b je les définit comme étant le vecteur colonnes bien le vecteur colonnes b2 et ses terres et ses lecteurs colonnes par donc bl ici voilà donc chacun des pays est un vecteur colonnes de la matrice b et on avait défini le produit matricielle à b comme étant égal à et bien la maîtrise a multiplié par le vecteur colonnes b1 ça ça nous donne est bien notre première colonne du produit ab la deuxième colonne c'est la matrice à part b2 et là tu commences à comprendre la logique et cetera et cetera jusqu'à la dernière colonne où ce sera le produit de la matrice à part b elle voilà est ce qu'on avait pas vraiment dit la dernière fois mais que tu vas pouvoir comprendre tout de suite c'est qu'une condition nécessaire pour que eh bien ce produit matricielle existe c'est que eh bien il y ait le même nombre de colonnes dans as qu'il y ait deux lignes dans b en d'autres termes le nombre de colonnes de as doit être égal au nombre de lignes dans bay et pourquoi est ce que cette condition est nécessaire il suffit de regarder la définition en fait ce que chacun des b i is i chacun des pays ici appartient à pardon appartient ici à r n est donc pour que ce produit là existe c'est à dire que chacun de ces petits produits là existait deux à part les pays et bien il faut qu ici nombre de colonnes de as doit être égale à la dîme ans du vecteur b et donc n et c'est pour ça que bien pour que le produit matricielle soit défini il faut que le nombre de colonnes de as soit égal au nombre de lignes de bus on va faire un exemple pour qu'on y voit un petit peu plus clair et donc je vais prendre ma matrice à est égal à 1 - 1 2 0 - 2 1 donc juste des coefficients facile pour que eh bien ce soit facile à calculer et b on va prendre 1 0 1 1 2 0 1 - 1 3 1 0 2 donc ma matrix a ici c'est une matrice deux fois 3 et même matrice bécistes une maîtresse trois fois et donc là je peux vérifier que j'ai bien effectivement le nombre de colonnes de as qui est égal au nombre de lignes devaient donc le produit matricielle abe va exister donc à foix bay qu'est ce que ça va être eh bien j'applique ma définition ça va être à donc la première colonne ça va être à x le vix est le premier vecteur colonnes ici 2b donc un deux trois ma deuxième colonne ça va être à x 0 0 un an suite à x 1 1 0 ensuite a multiplié par 1 - 1 2 voilà mon produit à b alors qu'est ce que c'est que eh bien ce produit là ici deux à part un vecteur est bon mais peut imaginer ça comme les biens la multiplication de chacune des lignes de à avec le vecteur sans d'autres termes est bien ainsi je j'écris un petit peu tout ça de manière un peu plus détaillé et bien ça va être ici le premier la première ligne de a à x la colonne de b donc ça va être un moins-12 produits scalaires avec un deux trois donc ça c'est pour la première ligne de la première colonne de mon produit ab et la deuxième ligne eh bien ça va être ici ma deuxième donc je vais reprendre notre couleur pour qu'on y voit plus clair pour ce premier exemple donc ça va être ma deuxième ligne ici de a donc 0 - 2 1 x audhuy scalaires avec un deux trois donc voilà ma première colonne de produits ab maintenant je vais faire pareil pourrait bien les trois autres colonnes mais je vais garder la même couleur cette fois ci puisque sinon ça va être un petit peu compliqué pour moi par la suite donc eh bien c'est pareil je multiplie à part le vecteur 0,01 donc je garde les colonnes les parts dans les lignes de a donc ici je vous le dis puis 1 - 1 2 par 001 est ici et bien je vais multiplier 0 - 2 1 par 001 je fais pareil après pourrait bien la troisième colonne de mon produit ab donc je garde pareil la première ligne 2e à 1 - 1 de produits scalaires 2 1 1 0 ensuite 0 - 2 1 produits scalaires 2 1 1 0 c'est un peu répétitif mais au moins l'important c'est que tu comprennes bien et donc pour la dernière colonie si bien la même chose donc je prends la première ligne 2e à 1 - 1 2 produits scalaires avec 1 - 1 2 tiens c'est la même chose d'ailleurs c'est normal ça parce que c'est normal oui c'est beau d'accord ensuite la deuxième ligne 2 à 0 - 2 un produit scalaires 1 - 1 2 donc avant de calculer ça je vais juste effacés malheureusement ma définition ici mais on manque cruellement de place voilà alors maintenant on va essayer de calculer tout ça donc je remets ici produit à b et donc je vais essayer de calculer je vais calculé ici le premier coefficient donc ici c b1 fois un plus - 1 x 2 plus 2 x 3 donc je les veux être je vais je vais écrire sa détaille donc 1 x 1 un plus - 1 x 2 - 2 + 2 x 3 6 celui d'en dessous 0 x 1 donc ça me fait zéro plus - 2 x 2 - 4 + 1 x 3,3 ensuite je passe à la deuxième colloque donc un x 0 0 - 1 x 0 0 2 x 1 2 zéro x 0 0 plus moins deux fois 0-0 plus un poids un an suite à x 1 1 - 1 x 1 - 1 - 2 non ça c'est 1 2 deux fois 0-0 ensuite un fois 0-0 - deux voisins - 2 1 fois 0-0 voilà et encore une fois je ne vais plus avoir de place mais je crois que je vais avoir besoin par contre de matrix a et b 1 x 1 1 - 1 fois moins 1 1 2 x 2 4 ans 8 0 x 1 0 - 2 fois moins 1 + 2 1 x 2 2 voilà bon si avec tout ça j'ai pas fait d'erreurs de calcul eh bien on va pouvoir être content alors maintenant eh bien on a plus qu à additionner tous a donc un x b c'est égal à est bien ici 1 - 2 + 6 ça va nous faire cinq ici - 4 + 3 - 1 00 +221 ici 1 - 1 0 0 - 2 - 2 ici un plus un plus 4 6 0 plus de plus de 4 voilà donc si je me suis pas trompé et bien la multiplication de à barbe et nous donne cette matrice ici est donc ce que je peux voir tout de suite c'est que cette matrice là et bien c est une matrice 2 x 4 et 2 qu est ce que c est bien 2 2 c'est le nombre de deux ligne 2 a donc c'est nombre de lignes de a et 4 qu'est ce que c'est et bien quatre c'est le nombre de colonnes de bay est maintenant une question qu'on peut se poser c'est est bien si la multiplication de b parra va nous donner exactement la même chose que la multiplication de à part peiné donc c'est ce qu'on va commencer à regarder ensemble donc qu'est ce que serait que b x et bien des fois à ce serait d'après notre définition b et bien par la première colonnes de as c'est à dire 1 0 ensuite b par la deuxième colonne d'eau à - 1 - 2 ensuite départ la troisième et dernière colonnes de as et donc ça est ce que c'est possible de faire ça et bien non parce qu'en fait ici et bien ça c'est un vecteur de r2 est bel et bien b à combien de lignes ici et bien b c'est une matrice qu'on a dit trois fois qu est donc en fait je vais pas pouvoir réaliser ce produit ici entre la matrice b et ce vecteur là parce que les dimensions ne correspondent pas c'est à dire que le nombre de colonnes ici de bay est différent de la dimension ici d'une colonne de a donc est bien ici ce produit matricielle et non défi est donc ça ça répond d'une certaine manière à la question qu'on s'est posée c'est à dire on voulait savoir si des fois à c'était la même chose que à foix paix et dans un cas et bien on trouve cette matrice à et dans l'autre cas eh bien on voit que c'est non définie et ça c'est assez représentatif de ce qu'on va pouvoir trouver par la suite c'est à dire que en général à x b est différent de b x et donc ce que tu as pu voir dans cette vidéo c'est comment calculer le produit matricielle ici mais il ya une chose que j'aimerais bien te rappeler ici c'est que qu est-ce qu à quoi ça correspond le produit matricielle et à quoi ça correspond et mairie va te falloir regarder la vidéo précédente parce qu'on avait vu que et bien le produit matricielle ici entre deux matrices ça correspondait à la matrix 2 transformations d'une composé de deux transformations donc mettons que et bien j'ai une transformation lee rs qui est défini comme étant donc s 2x est égal à et bien été gala à x et j'ai une autre transformation t2 x qui est égal à b x est ce qu'on avait vu c'était que et bien la composent et s auront t2 x elle s'écrivait et bien tu es pardon s de thé 2x et que ça eh bien c'était égale donc à à entre parenthèses b x et là ce qu'on vient de montrer c'est qu'en fait et bien ça c'est la même chose que d'écrire à b 2 x ou ab est en fait une matrice donc c'est qui est la matrice de transformation de cet composée l'a donc à chaque fois que tu vas faire un produit entre deux maîtres ici c'est bien de te souvenir que en fait à quoi ça correspond eh bien ça correspond à la composent et de deux transformations linéaire