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Déterminant et aire d'un parallélogramme

Comprendre que le déterminant d'une matrice 2x2 est égal à l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs colonnes de la matrice. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc j'ai une matrice carré de dimension 2 a donc avec coefficient a b c d est ce que je vais faire c'est que je vais nommer les vecteurs colonnes v1 et v2 tels que et bien vient va être égal aux vecteurs de dimension 2 à ces evs et 2 va être égal aux vecteurs de dimensions de bts qu'on va faire c'est qu'on va représenter ces vecteurs dans r2 donc ça on l'avait déjà fait avant donc c'est pas une très très très grande surprise donc voilà r2 et donc je vais représenter v1 donc par exemple vient peut être comme ceci voilà vient donc qui a pour coordonner ici ah et pour autres coordonnées ici c est je vais représenter aussi v2 donc voilà par exemple v2 qui a pour coordonner ici b et des voix et dans cette vidéo en fait on va s'intéresser aux parallélogramme qui est formé par ces deux vecteurs donc qu'elle parallélogramme et ben j'entends ce parallélogramme ici voilà celui que j'ai fait ici en jaune dans tout 7,7 cette surface ici et en fait on va s'intéresser effectivement plus précisément à l'air de ce parallèle est alors déjà c'est quoi laird un parallélogramme et bien l'air d'un parallélogramme c'est sa base foire sa hauteur donc la base du parallélogramme ici et bien c'est v un cv un ici tout simplement donc grand baie est égal à vient donc la norme de v1 bien sûr puisque vers été un vecteur et la hauteur du du parallélogramme qu est ce que c est bien la hauteur du parallélogramme c'est cette distance ici voix qui forment un angle droit avec v1 donc ça c'est petit h alors c'est comme comment est ce que je peux calculer ici petite hache et bien ici j'ai pas directement la réponse il va falloir que je passe certainement par autre chose par exemple par le théorème de pythagore ici puisque ici et bien je vois que j'ai un triangle rectangle mais bon pour avoir le théorème de pythagore dans ce triangle là il faudrait déjà que je sache et bien cette langourla que je connaisse cette longueur là l'autre longueur je la connais ici c'est la norme de v2 mais alors qu'est ce que c'est que cette longueur là que j'ai mis en rose ici et bien ce que je peux voir c'est que cette langueur là en gros c'est la projection de v2 sur la droite qui est dirigé par v1 donc mettons que j'appelle cette droite là elle donc on dirait bien que ce que j'ai ce que j'ai mis en rose ici c'est la projection donc je ne m y si ça c'est égal à la projection la projection du vecteur v2 sur la ligne dirigée ici par elle donc maintenant et bien je peux appliquer mon théorème de pythagore pour trouver h donc achkhar et plus et bien la projection la projection sur elle de v2 donc cette projection là il me faut la norme bien sûr au carré puisqu'on et adam pythagore est égal à quoi est bien est égal à v2 enfin la norme de v2 au cas voilà donc là j'ai appliqué le théorème de pythagore bon maintenant on va essayer de simplifier un petit peu ça pour avoir h carré en fonction et bien du reste alors achkhar et c'est égal à quoi et bien c'est égal à la norme de v2 au carré alors qu'est ce que c'est que la norme de v2 au carré et bien c'est tout simplement le produit scalaires de v2 par lui-même donc v2 par v2 - eh bien la projection de deux v2 sur elle la norme de la projection devait de sur elle au carré alors qu'est ce que c'est que la projection de v2 sur elle est bien dans les vidéos précédentes enfin il ya déjà un petit moment on a vu que la projection d'un vecteur sur une droite qui est dirigée par un autre vecteur c'est tout simplement et bien le produit scalaires de ce vecteur v2 par v1 donc le vecteur qui dirige cette ligne là / le produit scalaires de v1 avec v1 est multiplié par le vecteur vais donc ce qui est intéressant avec cette quantité là c'est que et bien ceci ici toute cette fraction là et bien c'est un nombre d'accord ce n'est pas un vecteur puisque ici j'ai un produit scalaires / un produit scalaires donc j'ai bien un nombre est ici donc je sais j'ai une expression en tout cas pour la projection de v2 sur la ligne l donc maintenant eh bien c'est quoi la norme au carré de de cette quantité là et bien de la même manière que j'ai fait pour la norme de v2 au carré c'est le produit scalaires donc c'est ça x lui même donc je vais l'écrire donc moins v2 produits scalaires v1 / v un produit scalaires v1 x v un produit scalaires et bien de la même chose v2 produits scalaires v1 / v un produit scalaires v1 par v voilà alors maintenant est ce que je peut simplifier un petit peu ça eh bien oui je peux simplifiée puisque effectivement ce que j'ai dit ici c'est que ce que là je surligne en jaune ici ce sont des scalaires donc je peux les sortir en fait du produit scalaires donc qu'est ce que je veux avoir ici eh bien je vais avoir achkhar et qui va être égal à 1 je vais repasser tous dans la même couleur v2 par v2 - et bien v2 produits scalaires v1 au carré sur v un produit scalaires v1 pareil au carré x v un produit scalaires v est donc ici et bien je peux un petit peu simplifié puisque v1 produits scaër v1 baisse et un nombre c'est pareil hélas au dénominateur j'ai aussi un nom donc je peux simplifiée par ce produit scalaires et enlever le carré ici donc là j'ai une expression pour la hauteur au carré de mon parallélogramme donc maintenant en fait je pourrais très bien avoir une expression de la hauteur si je décide de prendre la racine carette tout ça mais je peux aussi décider de regarder qu'est ce que ça donne l'air au carré parce que comme ça j'aurais pas besoin d'avoir deux racines carrées bon je vais effacer un petit peu ici pour y voir un petit peu plus clair ça aussi je veux juste garder ce que j'ai en rouge en bas parce que j'en ai besoin voilà alors on va regarder donc l'air au carré donc air au carré du parallélogramme qu est ce que c est bien celle à base carrée et la hauteur au cal donc la base au carré qu'est ce que c'est et bien c'est tout simplement ici base au carré c'est la norme de v1 au carré est la norme devient au carré on a dit que c'était donc le produit scalaires de v1 par lui même donc voilà pour la base au carré maintenant la hauteur au carré c'est l'expression que j'ai là juste la recopier donc ça s'est produit 1 x v 2 pro du skal hervé deux mois v1 produits scalaires v2 le tout au carré / v un produit scalaires v voilà donc je vais pouvoir simplifier un petit peu aussi cette expression là puisque là je vois que j'ai vient produits scalaires v11 au dénominateur et que je multiplie par v un produit fiscal hervé un donc ici je vais avoir quoi je vais avoir v1 produits scalaires v1 x v deux produits scalaires v2 - - et bien là ici les le produit scalaires de v1 par lui-même se simplifient - v un produit scalaires v2 le tout au carré donc voilà l'expression pour l'air ici et pour simplifier encore davantage ce que je vais faire ici c'est tout simplement calculer les produits scalaires correspondant en utilisant les valeurs de la cbd qui sont les valeurs des coefficients de mai vecteur v1 et v2 donc ici ce que je vais faire ses calculs et le produit scalaires de v1 par lui-même alors qu'est ce que c'est que le produit scalaires de v1 par lui-même c'est tout simplement ici à carrer plus c'est carré donc voilà le produit scalaires de v1 par lui-même de v2 par lui-même ça va être becquart ait plus d'écarts et et qu'est ce que ça va être le produit scalaires de v1 par v2 et bien ça va tout simplement être à b + c et d je n'oublie pas le carré ici qui me restent d'avant donc voilà ce que je vais faire par la suite c'est que je vais développer cette expression là donc je vais développer ça donc ça va me faire à carrer becquart et plus à carrer d'écart et plus c'est carré becquart et plus c'est carré des carrés alors ensuite moins à carrer d'écart et ensuite - 2 a b c d et moins c'est carré des carrés voilà où bon va simplifier un petit peu ici parce qu'il ya des choses à simplifier je vois que ak rebecca rey - akka rebecca ray et j'ai aussi moins c'est carré des cars est ici plus c'est carré des carrés et voilà donc en fait il me reste ici il me reste il me reste trois termes ici et tu vas voir que ces trois termes et bien ce factories très très bien ensemble alors ça fait quoi ça me me reste donc à carrer d'écart et plus c'est carré becquart et -2 a b c d voilà donc ça et bien qu est ce que ça me donne bon j'ai vraiment plus de place je vais simple je vais juste effacé un petit peu à côté pour pouvoir continuer tranquillement voilà on n'a plus besoin de tout ça voilà donc ça est ce que ça ne te rappelle pas une identité remarquable donc je te rappelle que eh bien quand j'ai quelque chose comme ça x - y au carré quand je développe qu'est ce que ça fait ça me fait x au carré - 2 xy plus y au carré et donc là et bien ce que je vois c'est que c'est exactement ce que j'ai là ici en vieux et donc j'explicite un petit peu plus je vais c'est la même chose que ad au carré plus c b au carré est la moins deux à des facteurs de il me reste quoi c b donc ce que je vois ici donc ça s'est passé pas une étape obligatoire mais c'est juste pour que tu vois bien que ça se rapproche exactement de l'identité remarquable c'est que en fait cette expression là en violet ça va être égal à quoi ça va être égal ad - cb le tout au carré est bon là on approche de la fin et on voit quelque chose de très intéressant par rapport à la matrix a donc si je m'intéresse à la matrix ah qu'est ce que c'est le déterminant de la matrice art donc dette de à qu'est ce que c'est et bien c'est tout simplement ad - cb ad - cb voilà et donc ça eh bien c'est exactement ce que j'ai à l'intérieur de ma parenthèse ici donc en fait cette expression là que je vois en violet c'est égal à quoi eh bien c'est égal aux déterminants de à le tout au carré donc ça c'est un résultat très très intéressant parce que ça veut dire que en fait l'ère du parallélogramme qui est formée par les colonnes d'une matrice d'une matrice ici et bien c'est égal enfin l'air au carré est égal aux déterminants de cette matrice hawkeye en d'autres termes l'ère du parallélogramme est égal à quoi est égal à la valeur absolue du déterminant de donc ça c'est très intéressant parce que ça nous donne en fait une nouvelle interprétation du déterminant c'est à dire que le déterminant c'est quoi eh bien ça va être tout simplement l'air engendrer l ère du parallèle à g engendrés par les colonnes de de la matrice donc voilà j'espère que tu trouve aussi ce résultat assez surprenant et est assez intéressant