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Le déterminant comme facteur d'échelle

Étude de ce que devient un sous ensemble du domaine de définition d'une fonction lorsqu'on lui applique cette fonction. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc voilà des coordonnées dans r2 et mettons que j'ai et bien quatre points dans air 2 qui sont spécifiés par des vecteurs donc j'ai ce point je les dessine et de différentes couleurs donc j'ai ce point ici 0 0 fin vecteur 00 j'ai un autre point ici qui est spécifié par le vecteur k10 k10 donc je vais dessiner la ce vecteur voilà donc c'est ce vecteur ici j'ai un autre point ici qui est définie par et bien k1 k2 donc ici bien sec 1 1 et ici ce serait qu'à deux voilà donc je vais aussi dessiné le vecteur voilà et j'ai un dernier point ici qui est spécifié par zéro cas de voix là et je vais redessiné aussi mon vecteurs donc en fait la g 4 points qu'ils représentent et bien un rectangle donc ici bien j'ai un un rectangle voilà et je vais définir l'ensemble des points suivants que je vais appeler rec donc je vais appeler cet ensemble l'areq erec qu'est ce que ça va être et bien direct ce sera plus simple à prononcer ce sera le rectangle le rectangle forme et formés et bien qui est qui le rectangle et formés en connectant en connectant les quatre points donnés voilà donc ces quatre points là donc c'est quatre points ici donc ce rectangle et donc la première question là que j'ai posée c'est qu'elle ait l'air de ce rectangle donc ça c'est assez simple l'air l'air du rectangle qu'est ce que c'est et bien c'est tout simplement le grand côté il par le petit côté est donc le grand côté qu'est ce que s'est passé qu'à 1 et le petit côté ici et bien ces cas de don claire de ce rectangle c'est qu'à 1 x 4 donc pour le moment rien de transcendant rien de nouveau tout va bien maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va transformer ce lecteur par une transformation dès qu'on va définir de la manière suivante donc tu es va aller de r2 dans r2 et t2 x va être défini par la matrice a b c d x x en d'autres termes on va dire que cette matrice s'appellera donc voir alix et on va voir ce qui se passe lorsqu'on applique ces transformations sur l'ensemble rect d'accord donc il suffit d'appliquer en fait tu pourras pour avoir l'image du rectangle par cette transformation il suffit d'appliquer cette transformation à chacun des points ici que j'ai défini et après de connecter les images de ces points par la transformation pour avoir l'ensemble images de rec tu sais ce qu'on avait vu dans des vidéos précédent donc ce que je vais faire c'est bien tout simplement transformer chacun des des points définis par des vecteurs définit ici donc d200 qu'est ce que ça va être très bien t200 ça va tout simplement 0 0 ensuite t2k 1 0 qu'est ce que ça va être très bien t2k 1 0 ça va être à x k1 et bah c'est tout pour cette coordonnées là et c'est x k1 ici en dessous maintenant si j'applique la transformation au point k1 k2 qu'est ce que ça va me donner ça va me donner eh bien ça va me donner à caa1 ak un plus bk 2 et là ça va me donner ces cas un plus des cars 2 maintenant dernière dernier point ici donc je transforme cette fois ci le point enfin le vecteur 0 k 2 et ça ça va me donner quoi ça va me donner bk 2 et des cas 2 voilà maintenant ce que je vais faire c'est que je vais représenter et bien l'image l'image du rectangle transformé par cette transformation tu es ici donc et bien le point ici ça ça reste t200 donc ça c'est t200 ensuite en jaune eh bien je vais avoir donc à k1ck 1 donc on peut dire que ça peut être un vecteur voilà comme ça voilà où ici ça coordonnées ici ça ça va être à caïn est là ici ça va être donc c'est qu'à 1 donc voilà ensuite j'ai commencé par je vais faire le celui le point en rose ici ce sera plus simple donc mettons que ce soit quelque chose comme ceci eh bien là je vais avoir l'accord donné ici ce sera b k2 est ici ce sera des cas donc maintenant il me reste plus qu'un seul point mais pour un viol est ici ce sera donc de coordonner haquin plus bk 2 donc quelque chose par ici et ensuite pour l'autre coordonner ces cas un plus des cadeaux donc quelque chose plutôt ici voilà donc ça va être en gros ce point à peu près ouais à peu près ce point ici voilà donc ça va être ce vecteur voilà donc ça eh bien ce vecteur là c'est au monde ma transformation de k1 k2 donc et bien l'image de mon rectangle l'image de mon rectangle ça va être quoi ça va être ce parallélogramme que je vais dessiner ici voir donc ça c'est l'image de mon rectangle maintenant une question qu'on peut se poser c'est quoi l'air l'air de du parallélogramme ici qu'est ce que c'est que l'air est bien on peut imaginer que ce parallélogramme là il est généré à partir de deux vecteurs ce vecteur là en rose et ses vecteurs là ici en jaune d'accord c'est les deux côtés du parallèle met donc on va pouvoir construire une matrice qui qui a pour colonne et bien les coordonnées de ces deux vecteurs g construire la matrice m qui est telle que ses coordonnées soit à caïn et c'est qu'à 1 donc c'est l'accord donné ici de ce vecteur jaune j'aurais dû d'ailleurs émettre en jaune mais enfin c'est pas grave et la deuxième colonne ça va être des coordonnées de ce vecteur là ici en rose donc ça va être des cars 2 des cas 2 donc ça j'aurais dû médecin en rose donc ça c'est mon vecteur rose et ça ici c'est bien mon vecteur ici en jaune voilà et dans la vidéo précédente on a vu quelque chose de très intéressant sur ça on a vu que et bien l'air du parallélogramme est égal à la valeur absolue du déterminant de la matrice qui a pour colonne et bien les vecteurs qui ont engendré ce parallèle en d'autres termes l'air l'air ici dumont parallélogramme l'air c'est égal à quoi c'est égal à la valeur absolue de dette de mm voilà ça c'est ce qu'on a vu dans la vidéo précédente et donc plus explicitement salaire du dollar et donc plus explicitement le déterminant de m qu'est ce que ça va être eh bien le déterminant de m c'est tout simplement ici et bien à 15 fois des cas 2 donc k1 k2 ad - eh bien ici c'est qu'à 1 x bk deux donc c'est pendant qu'à 1 on va faire pareil k1 k2 cb valeur absolue donc je vais effacer un petit peu ailleurs pour qu'on ait de la place pour continuer je vais effacer ça pue vraiment besoin de tout ça voilà alors je vais continuer ici pour l'air dont clair ça va être égal à quoi eh bien ça va être égal ici je peux factoriser par k1 k2 donc à un cas de facteurs de ad - c b voilà et donc qu'est ce que c'est que ici ad - cb ad - cb ce que tu devrais voir là c'est que en fait ça c'est le déterminant de la matrice a ici la matrice de ma transformation donc en fait ça c'est égal à dette de et donc c'est un c'est intéressant parce que je me retrouve avec l'air qui est égal à k1 k2 x le déterminant de et donc k1 k2 qu'est ce que c'est bien k1 k2 c'était tout simplement l'air de ma figure d'origine ici l'air de mon rectangle hockey l'air de la région que j'ai transformé par la transformation t et donc ce qu'on voit ici c'est que le déterminant de la transformation agit comme un facteur en fait un facteur mais qui agit comme un facteur multiplicatif en fait de l'air de départ donc ça c'est l'ère de départ multiplié bien pas un scalaire qui est ce qu a l'air et bien c'est le déterminant de la matrice de transformation donc ça c'est assez intéressant donc la nouvelle ère par la transformation va être égal aux déterminants de la matrice de transformation par l'air de la région avant la transformation et ça on va voir que ça peut se généraliser très très facilement alors attends je vais effacer tout ça pour te montrer ce que ça donne sur quelque chose d'un petit peu plus abstrait alors mettons que eh bien j'ai j'ai une gêne une région de mon espace de mon domaine donc dans r2 donc j'ai cette région là donc ça c'est une c'est une ère qui est égal à et donc ça c'est mon domaine c'est je suis dans r21 ici donc ça c'est mon c'est mon domaine de défini et puis donc j'ai ce contour là le contour de ma région ici que je vais appeler eux est ce que je vais faire c'est que je vais prendre et bien une transformation t qui va de r2 dans r2 et qui est définie de manière suivante et 2x est égal à b 2 x et quand je vais transformer et bien c'est ce que j'aime ici en rose violet par cette transformation t eh bien je ça va me donner ses terres la mettons voilà ça va me donner ici ça donc ça c'est et 2e et voilà donc ici ma nouvelle ère voilà ma nouvelle ère et donc d'après ce que j'ai vu sur l'exemple d'avant ma nouvelle ère elle va être égal à quoi eh bien ces terres là elle va être égal à a donc l'ancienne aire x le déterminant de b voilà donc ça c'est juste ça résume exactement ce qu'on a vu dans cette vidéo si ce n'est que la gelée généralisée à une forme quelconque alors que pour le moment ce que j'avais vu c'était sur des rectangles enfin en tout cas des parallélogramme tu vas me dire il ya peut-être il ya peut-être un sacré une sacrée différence entre des parallélogramme et des coupes comme ça bon après tout ce que tu peux imaginer c'est que et bien à l'intérieur de cette région là je peux dessiner très bien des petits rectangles un nombre infini en fait de rectangle pour juste pour combler tout l'espace tout l'espace de cette région là puis je peux transformer tous ces rectangles la partie et ça va me donner bien peut-être des parallélogramme de forme quelconque dépendante de ce que j'ai ce que j'ai pris comme rectangle et qui vont aussi me remplir toutes toute cette surface donc tu vois en fait qu'on peut quand même imaginer que ce soit effectivement vrai pour des formes aussi abstraite que c'est là que je viens de faire