Déterminant lorsqu'on ajoute une ligne

donc dans cette vidéo on va regarder d'autres propriétés du déterminant à commencer par regarder des matrices deux par deux donc je définir une matrice x à b x1 x2 j'aurais pu définir un cd mais tu vas voir pourquoi je fais comme ça par la suite je vais définir une matrice y qui est identique à la matrice x sur sa première ligne mais qui est différent coefficient sur sa deuxième ligne et je vais définir une troisième matrice z qui a la même première ligne que x et y mais dont la deuxième ligne et l'addition des lignes de x et y ait donc x1 plus y 1 et x2 plus y eu deux voilà mes matrix et là ce que je vais regarder c'est la relation entre les déterminants de ces matrices alors qu'est ce que c'est que le déterminant de x ici et bien le déterminant de xc à x2 - b x ok pas de complication ici le déterminant de y qu'est ce que c'est c'est à y 2 - b y 2 est le déterminant de z ça va être ça va être alors à x 2 plus y de moimbé y eu x ouais x 1 - - b x un plus y j'en profite pour voir que j'ai fait une petite faute ici ou alors maintenant si on développe ici l'expression du déterminant de z qu'est ce qu'on va avoir on va voir à x 2 plus à y de moimbé x1 - b y 1 est ce que tu peux voir quasiment tout de suite c'est que ici je retrouve les termes de mon déterminant de x et ici je trouve les termes de mon déterminant y donc en fait le déterminant de z va être égal à quoi il va être égal aux déterminants 2x plus le déterminant de y donc qu'est-ce qu'on conclut ici donc si on a des matrices qui sont dans les matrices xy qui sont identiques à l'exception d'une seule ligne donc comme ici et bien le déterminant de la batterie z qui est défini comme étant identiques aux matrices xy sauf sur cette ligne là où cette ligne là va être en fait la somme des lignes qui sont différentes de x et y est bien le déterminant de z va être égal à la somme du déterminant de xe et du des terminaux de y donc là on a juste vu le cas d'une matrice de ligne deux colonnes et on va regarder là ce que ça donne sur une matrice avec dimension plus élevé des dimensions 3 avant de passer par une matrice de dimension haine pour démontrer en fait cette propriété la du détermine donc je vais effacer tout ça pour réécrire et faire du propre pour matrix 3,3 alors une matrice 3 3 donc je vais définir x comme étant la matrice suivante avec les coefficients a b c ici je vais avoir x1 x2 x3 et si je vais avoir des oeufs voilà donc quel va être le déterminant de x donc déterminant de x ça va être quoi eh bien je vais sélectionner je vais sélectionner cette ligne là avec les coefficients x1 x2 x3 donc là si tu te rappelles eh bien je vais commencer par un coefficient négatif ici police un puits positif sur x2 est négatif sur x3 pour que ce soit alterné avec la première ligne ici donc ça va me faire - x un facteur de donc le déterminant qui reste bien ici donc j'enlève la ligne et la colonne de x1 donc il me reste bce fbcf plus donc j'ai alterné signe x 2 à cdf ensuite - x3 et ce qui me restait à b d donc voilà pour ma matrice x maintenant je vais définir une matrice y qui va être identique à la matrice x sur la première et la troisième ligne mais qui va différer sur la deuxième ligne donc je vais voir les coefficients y un y 2 et direct donc quel va être le déterminant de y et bien si je prend exactement ici la même ligne de coefficient ça va être assez identique en fait à la aux déterminants de x si ce n'est que ici à la place des coefficients x1 x2 x3 je vais avoir les coefficients y un y deux grecs 3 donc il me suffit juste de remplacer les xxi parler y y dans la formule du déterminant de y donc plus y 2 à cdf - y 3 à b d e voilà alors maintenant eh bien je vais définir la matrice z donc la matrice z elle va être identique à xy sûr et bien la première et la troisième colonne ici voilà et la deuxième ligne pardon sur la première et la troisième ligne ici et là deuxième ligne va être la somme en fait de la deuxième ligne 2 x et la deuxième ligne de y donc je vais avoir x1 plus y 1 x 2 plus y 2 x 3 plus y 3 donc ça ça me fais ma batterie 7 est donc maintenant quel va être le déterminant de z donc ça va être identique en fait aux autres déterminants sauf que les coefficients vont changer ici ça va être moins x1 plus y un facteur déterminant de bce f + x 2 plus y de facteurs de à cdf est finalement moins x3 plus y trois facteurs de a b d donc là qu'est ce que tu peux voir ici eh bien tu peux voir que en fait comme pour le cas de 2,2 déterminant d'auzay doit être égale aux déterminants 2x plus le déterminant de y pourquoi et bien parce que si on regarde ce terme ici eh bien on voit bien que c'est la somme de ce terme là plus ce terme là si on regarde ce terme le deuxième terme on voit que c'est la somme de ce terme-là plus ce terme là et finalement si on regarde ce dernier terme ici en rouge eh bien on voit que c'est la somme de ces deux derniers termes ans il se 3 et y 3 ici donc en conclusion ici le déterminant va être égal aux déterminants 2x plus le déterminant de y donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va généraliser cette propriété du déterminant à un cas d'une jour des matrices n x n est bien juste pour avoir la propriété la plus générale possible et donc démontrer démontrer effectivement cette propriété là alors je vais définir une maîtrise n est pas n donc je vais définir la matrice x l x n de la manière suivante donc je vais avoir des coefficients à 1,1 à 1,2 jusqu'à ici à 1 n ensuite sur la im ligne sur la hem lit je vais avoir les coefficients x1 x2 et cetera et cetera x n est ensuite je verrai à voir tous mes coefficient ivy exactement comme d'habitude avec les mêmes indices jusqu'à la fin à n1a n 2 et cetera et cetera jusqu'à années1 cema matrice x maintenant je vais définir ma matrice irak donc ma matrice y ait une fois n elle va ètre identique amatrice x surtout les coefficients à l'exception de la ligne i donc je vais déjà remplir les autres coefficient donc l'âge avoir à 1,1 à 1,2 cetera et cetera ah1n1 jusqu'à à la fin à n-1 an2 cetera et cetera à mm et sur la hem ligne sur la i emmely je vais avoir à la place de x1 x2 jusqu'à ixège avoir y un y 2 et cetera et cetera jusqu'à y n maintenant tu te doutes de la manière dont je vais construire ma matrice z une fois n est bien elle va être identique aux matrices x et y surtout les coefficients à l'exception en fait de la ligne de la ligne donc ici jusqu'à à 1 n la dernière ligne à n 1 à n 2 et cetera et cetera jusqu'à à elle n est donc ce qu'on a dit c'est que sur la i èm ligne je vais avoir x1 plus y 1 x 2 plus y de et cetera et cetera jusqu'à xn plus y n donc voilà mes trois matrices maintenant quelles vont-être le déterminant de ces matrices l'a donc quel va être le déterminant de ma matrice x ici et bien si tu as vu dans la vidéo précédente j'ai utilisé une formule très compacte du déterminant donc on va réutiliser ici qui est une formule avec une somme donc on va assommer des colonnes de la colonne 1 jusqu'à la colonne m donc ce gie et celle indice des colonnes sur donc ici on va utiliser les coefficients xxi pour 20 x j en fait puisque j ai la colonne pour pour calculer le déterminant donc vu qu'on ne sait pas le signe on va utiliser moins un à la puissance y plus j qui va nous donner en fait le signe pour ce coefficient al ayyam lingala jm colonnes c'est à dire s'il est négatif ou s'il est positif donc des xj déterminant de quoi eh bien si je prends x1 qu'est ce qui va me rester ici bunge enlève toute la ligne dxy et il me reste en fait que des isles donc on va avoir ici déterminant deux armes y voilà le déterminant de x maintenant le déterminant de y donc déterminant de yacks et bien ça va être exactement la même chose ici si ce n'est que à la place d'utiliser les coefficients et bien il joue je vais utiliser les coefficients y j ai tué d'accord que je vais multiplier par les déterminants aussi de a et j puisque ici bien quand j'utilise n'importe quel y j je vais donc ignorer la ligne d y y et m'intéressait que à la vigne des aot l'idiot d aegis et des colonnes de hi hi comme pour la matrix x donc ça revient exactement au même maintenant pour le déterminant deux aides alors le déterminant 2ème assez exactement la même chose ici sauf que et bien les coefficients tu t'en doutes vont changer je vais avoir ici xj plus y j x déterminant de à yj et voilà donc tu t'attends résultats aux résultats là et tu commences tu vois bien en fait que ici déterminant de z va être égal à la somme du déterminant de x plus de déterminants de y ici puisque en fait je ne fait qu'additionner ces deux sommes là pour me retrouver avec ce terme de sommes plus générale donc ici je me retrouve avec dette de x + tête de y donc est bien ici et bien j'ai j'ai démontré que pour un cas de matrix and prennent donc le cas le plus général possible et bien ce que le déterminant de z est égale à la somme des déterminants de x y ou x y et z sont des matrices qui sont identiques surtout les coefficients sauf sur une ligne sauf sur une ligne où les matrices x et y ont différents coefficient est la matrice z va avoir la somme de ces deux coefficient ici on va il ya une chose qui est très important pour toi à retenir ici c'est que ici la déterminante des dettes et gala déterminant dx plus déterminant y met donc ça n'implique pas comme tu peux le voir ici que la matrice est soit égal à la matrice x plus la matrice y d'accord donc je vais juste l'écrire un peu plus explicitement mais je vais faire attention six aides et des galas x plus y alors c'est pas du tout équivalent à dette de z est égal à dette de et inversement n'est ce pas et dette de x + dette de irex d'accord parce que ce qu'on a vu ici c'est que ça dépend des en fait qu'une seule on a changé qu'une seule ligne entre toutes ces matrices ici pas on n'a pas additionner l'ensemble de tous les coefficients d'accord donc c'est très différent c'est très très différent ici donc en fait ce que ça montre c'est que les opérations sur des terminaux ne sont pas linéaires par rapport aux opérations sur les matrices d'accord c'est seulement sur caen lorsque les opérations s'applique sur une seule et donc ça c'est très important à retenir