Déterminant quand une ligne est multipliée par un scalaire

donc dans cette vidéo à regarder ce que ça donne de multiplié un déterminant par un scalaire donc je vais calculé le déterminant d'une matrice de 2 donc le déterminant d'une masse de 2 comme ici on a vu que c'était à d - cb et maintenant ce que je vais faire c'est que je prendre cette même matrice cette même maîtrise donc un b c et d cette fois ci j'ai calculé le déterminant de cette matrice où une seule des lignes a été multiplié par un scalaire ici donc qu'est-ce que ça va me donner eh bien ça va me donner à fond à cadets donc qu'à à des moins kcb donc je peux factoriser cas donc je vais voir qu'à facteur de ad - cb et donc ça qu est ce que c est bien c k x le déterminant et bien de la matrice a b c donc qu'est-ce qu'on voit ici eh bien on voit que multiplier le déterminant d'une maîtrise par un scalaire ça revient à calculer le déterminant de cette même matrice où une seule des lignes a été multiplié par 1 scala et donc c'est important de considérer qu'une seule des lignes a été multiplié par un scalaire puisque si on multiplie et bien toutes les lignes par le ska l'air c'est à dire si on multiplie en fait la matrice par un scalaire on va pas du tout avoir ce résultat je vais t'expliquer ça tout de suite donc qu'est-ce que ça fait 6 et bien je multiplie je multiplie si je définis par exemple caa comme étant donc cette matrice l'a donc qu'à à kb casser car tu es donc j'ai multiplié cette fois ci toutes les lignes deux matrices par cas et donc maintenant qu'est-ce que ça fait si je calcule le déterminant de cette nouvelle matrice ici qu'est ce que ça va faire eh bien ça à faire qu'un à foix cadets donc kkr et à d - kc x kb dont kkr et c'est p donc là je peux factoriser par kkr et kaka est facteur de ad - cb et ça qu'est ce que c'est bien ces quelques arrêts déterminants de a donc là ce qu'on voit c'est que cette fois ci c'est pas juste la multiplication par cas mais c'est la multiplication par kkr est ici donc on verra un petit peu ce cas là un tout petit peu plus tard dans la vidéo on va s'intéresser au quai général mais là juste pour te dire que multiplier juste par un scalaire simple un déterminant ça revient à calculer ce même déterminant ça revient à calculer le déterminant de cette même matrice où une seule des lignes a été multiplié par cas et non pas lente la totalité de la matrice on va regarder maintenant ce que ça donne sur une matrice 3 3 donc je vais calcul est donc une matrice 3 3 donc on va définir a comme étant a b c d e f g h i voilà et on va calculer le déterminant 1 2 a donc ça c'est des choses qu'on a déjà vu donc mettons que je choisisse est bien la deuxième ligne ici pour calculer les déterminants de a donc si tu te rappelles bien ici et bien il va falloir que je commence par un signe négatif pour le coefficient d parce que ici j'ai commencé avec à pour un signe positif donc si tu te rappelles bien ici j'alterne les signes des coefficients j'alterne aussi en colonne donc ça fait moins plus - et si ça nous ferait pour la troisième ligne si je la prenais comme coefficient plus - plus et comme je suis ici et bien ça veut dire que je vais commencer ici pas moins des donc moins des facteurs du déterminant est bien de bch y ensuite plus eu facteurs du déterminant de à c j' y ensuite - f facteurs du déterminant de a b g h voilà donc ça c'est le déterminant du moins avec la formule qu'on a pu voir maintenant si nancy je multiplie et bien cette ligne-là par donc je vais définir je vais définira prime je dirais que je leur dessine je leur écris pas totalement je multiplie juste directement ici en verre donc maintenant si je calcule le déterminant de ma batterie sa prime qu'est ce que je vais avoir bien je vais avoir exactement la même chose qu'en haut si ce n'est que je vais multiplier tout les coefficients ici par cas donc je vais avoir moins car d2d ch y plus qu'à 2 ac j' y ait moins kf2 à bgh voilà tout simplement est donc ici je vais pouvoir factoriser par cas de la même manière que tout à l'heure et donc je vais avoir cas facteur de quoi bein du déterminant de a ici donc je l'obtiens exactement la même chose que ce que j'avais eue ici dans le cas de deux maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va s'intéresser au cas général pour te démontrer que multiplier un déterminant par un scalaire ça revient à calculer le déterminant de cette même matrice où une seule des lignes a été remplacé par un scalaire alors on va prendre le cas a été remplacée a été multiplié par un scalaire alors on va prendre le cas d'une matrice une fois n donc je vais définira n 3 n voilà donc cette matrice là et bien premier coefficient c'est à 1,1 à 1,2 et cetera et cetera jusqu à 1 n ensuite je vais prendre une ligne ici au hasard donc n'importe laquelle des donc pour qu'elle soit général se fera im ligne donc à y un as i ii et cetera et cetera jusqu'à y n est jusqu à la fin à n 1 à rennes 2-1 à rennes n va à la matrix et mme x m maintenant qu'elle est le déterminant de cette matrice alors déterminant de à qu'est ce que ça va être je vais prendre je vais prendre cette ligne là je vais prendre la ligne ea pour des prendre les coefficients en fait que je vais utiliser dans mon déterminant mais ici et bien je ne connais pas la parité du i donc on va faire un cas très très générales ou pour déterminer et bien le coefficient on va juste faire moins un à la puissance est plus un et ça ça va nous donner le signe du coefficient à i 1 d'accord donc ce coefficient rien on va multiplier par le déterminant de l'asu matrice à i 1 d'accord c'est ce qu'on avait déterminé dans la formule générale du déterminant ensuite je fais la même chose pour le 2ème coefficient donc plus - 1 2i +2 cette fois ci à i 2 dette de à i 2 voilà et cetera et cetera jusqu'au dernier coefficient ici - 1 2i plus saine aindien01580 donc voilà la formule générale du déterminant est ce que je peux faire ici c'est que je peux un petit peu simplifié cette forme est là en utilisant le signe sommes donc ça en fait c'est la même chose que quoi c'est la même chose que la somme des moins un i plus j'y aï j déterminant de as i j où j j va aller de 1 à n voilà donc ça c'est la formule plus générale donc maintenant on va faire la même chose que tout à l'heure c'est à dire je vais multiplier cette ligne ici cette ligne hi park a donc si je multiplie par cas dont je vais me donner une matrice à prime donc jamais tipi parc a donc tous les coefficients se retrouvent ici x cas qu'est-ce que ça me change dans la formule du déterminant ici est bien ici si je calcule le déterminant de la prime eh bien je vais avoir ici un cas un cas est un cas ici donc sur la formule de la somme si je me retrouvais avec une multiplication par cas je vais pouvoir sortir ce cas à l'extérieur donc qu'à somme de -1 e-plus j donc j allant de 1 à n dead 2 à y j vous voir sortir ce cas et ça donc ça va amener ça c'est exactement le déterminant de à qu'on a trouvé tout à l'heure ce qui était envers la situant lève le rouge donc qu'à fois le déterminant de donc ici en fait je viens de te prouver que et bien lorsqu on multiplie un déterminant par un scalaire c'est la même chose que de calculer le déterminant de cette même matrice où une seule des lignes a été multiplié par un scalaire et maintenant qu'est ce qui se passe si je multiplie et bien toute la matrice par un scalaire comme ce qu'on a fait dans le cas 2,2 tout à l'heure et bien si je multiplie tout la matrice par des scanners et bien je vais me retrouver avec alors je faire j'aime me retrouver avec k puissance n x le déterminant de as tu te rappelles que tout à l'heure on avait obtenu qu'à au carré déterminant de ram et vu que ici il y à un ennemi et bien on se retrouve avec cas à la puissance n et si je multipliais que deux lignes par cas et bien je me retrouvais kkr et trois lignes k o cube etc etc jusqu'à calais