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Déterminant avec des rangées identiques

Déterminant d'une matrice avec des lignes dupliquées. Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur chrystel.comas
    A 2'58, on fait référence à une vidéo précédente qui dirait que la solution est
    " - " det A) . Je viens de me passer lesdites vidéos, je ne vois cette conclusion nulle part, or on se sert de celle ci pour la démonstration qui suit.
    (1 vote)
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Transcription de la vidéo

donc j'ai une matrice acquis et n parraine que je décris de la façon suivante donc c'est à 1,1 à 1,2 etc etc jusqu'à 1 n ma deuxième ligne ça va être à 2,1 à 2,2 et cetera et cetera jusqu'à à de haine et puis je vais avoir à la i am ligne à 1,1 à y 2 et cetera et cetera jusqu'à à y est née puis si je continue je peux avoir la jm ligne à j 1 à j-2 etc etc jusqu'à à j n est finalement jusqu'à la fin à n 1 à n 2 jusqu'à à nnk là donc ça tu l'as vu déjà plusieurs fois c'est pas ça très nouveau mais pour simplifier un petit peu la notation parce qu'ici que tu as vu que j'ai aussi spécifier la ligne y est la ligne j je vais donc prendre une nouvelle notation et je vais noté en fait elle y est li le vecteur ligne le vecteur ligne à y un as i 2 et cetera et cetera à i and ça ça va me simplifier un petit peu ma notation donc je vais pouvoir écrire ma matrix a ici comme étant est bien ici et l1 donc c'est le vecteur l1 ensuite le vecteur l2 et cetera et cetera le vecteur elle y le vecteur l j est le vecteur l aisne voilà donc ça ça me simplifie un petit peu la notation de cette matrice là est donc maintenant eh bien je vais créer une nouvelle matrice où je vais simplement échanger les lignes y est ligne j donc je vais juste faire un échange de vecteurs ici donc je vais définir cette matrice comme étant la matrice s i j parce que je transforme la ligne qui en la collant la ligne j et inversement donc ça va me donner quelque chose comme ça l1 l2 et puis je vais avoir un moment donné elle gît à la place de l eee et à la place de lgi je vais voir eli l aisne tout ça ce sont des vecteurs je remarque pas les petites flèches juste pour pour alléger un petit peu l'écriture ici est donc dans une autre vidéo ce qu'on a vu c'est que le déterminant est bien de cette nouvelle matrice de s y j ça va être quoi ça va être égal à moins le déterminant de à voilà et donc la question que je me pose ici c'est qu'est ce qui se passe quand tu es bien lll j étais gallery donc le cas elle y est égal à l j c'est à dire que ma matrice à à eau - enfin à ici deux lignes qui sont identiques donc qu'est ce qui se passe ici bas tout simplement si elle y est égal à j ce qui se passe c'est que s y j va être égal à est donc ce qui en découle de ça ça veut dire que le déterminant de s y j va être égal aux déterminants 2 est donc là on arrive à quelque chose d'intéressant parce que ici est bien ce qu on a établi c'est que le déterminant de sii gitega au moins déterminant de haï ici dans ce cas particulier on sait que le déterminant de lessive illégal autres déterminants dehors donc dans ce cas là qu'est ce que ça veut dire ça veut dire ici qu on a aussi donc cette propriété là est aussi vrai dans ce cas là en violet mais dans ce que ça veut dire c'est que déterminant de à est aussi égal à moins déterminant de à et donc là il faut se poser la question quel est le nombre qui est égale au négatif de lui même et bien il y en a qu'un seul d'accord c'est à dire c'est comme si je vais essayer de résoudre et bien cette équation ici et bien qu'un seul hic si si c'est x est égal à zéro donc en fait dans ce cas là quand j'ai un doublon de ligne et bien je peux être sûr que le déterminant de à va être égal à zéro bon je vais effacer un petit peu en haut pour avoir un peu de place voilà est ce qu'on a vu dans les vidéos précédentes c'est que une matrice est inversible donc matrice inversible si et seulement si et bien sa forme échelonné sa forme échelonnée c'est l'identité d'accord c'est l'identité est donc là est ce que ça peut être le cas quand j'ai un doublon de ligne et bien non parce que là si tu t'imagines que elle y est égal à mj si je veux calculer la forme échelonnés et bien demain matrix a donc ça c'était ma matrice à et bien pour supprimer le coefficient dans l j suffira de faire l j - elle y est là du coup je vais avoir donc une ligne 2 0 et donc ma mamma matrice sous sa forme échelonné ne pourra donc pas être l'identité et l'autre chose là qu'on a vu c'est qu'une matrice et non l'inversé bhl donc quand on a un déterminant d'une matrice à qui est égal à zéro eh bien je sais que cette matrice donc à et non inversible 1 et non un ver cible donc ça en fait ça me dit que ici lorsque j'ai un doublon de ligne et bien cette matrice là ne sera pas inversible et en fait ça tu peux essayer de montrer par toi même ce sera la même chose non seulement quand j'ai un doublon de ligne comme ici mais ce sera la même chose quand j'aurai un doublon deux colonnes ou alors quand une des lignes va être combinées hier des autres lignes donc voilà une autre propriété du déterminant tu peux savoir que si tu vois deux lignes qui sont identiques dans une matrice tu pètes sûrs qu'elle est non inversible