Déterminant 4x4 plus simple

donc j'ai cette matrice ici deux dimensions 4 et on va voir si on peut calculer sont déterminés et avant d'appliquer directement la définition lui déterminant et d'aller dans un calcul compliqué et bien ce qu'on peut regarder là c'est que et bien j'ai pas de ligne ou de colonnes il ya des 0 en fait j'en ai pas une seule donc ça veut dire vraiment que le calcul va être long et va être potentiellement complexe alors ce qu'on va essayer de faire c'est de simplifier le calcul en utilisant ce qu'on a vu sur les propriétés des déterminants dans les vidéos précédentes et on a vu deux choses qui sont intéressantes on a vu que lorsqu'on remplace donc remplacement de la ligne d'une ligne remplacement de la ligne y par exemple de la ligne par la ligne i - c'est la ligne e j ai bien ce qu'on a vu c'est que ça ne change pas le déterminant d'accord ça ne change pas dette de nous c'est à dire qu'on peut faire des opérations de ligne sans que ça change déterminé donc ça c'est intéressant et la deuxième chose intéressante qu'on a vu c'est que quand on a une matrice triangulaire triangulaire supérieur que je note comme ça et bien le déterminant de z matrice là le déterminant de cette matrice là le déterminant de m mais dont elle s'appelle m et bien c'est égal à quoi c'est égal au produit des coefficients qui sont sur la diagonale donc lui allant par exemple de 1 à n donc ça c'est mc la manière en fait la plus simple de calcul est déterminant c'est juste on multiplie les coefficients sur la digue donc on va essayer de faire ici c'est qu'on va essayer en fait de transformer cette matrice là en une matrice triangulaire supérieur et tu vas voir que c'est beaucoup plus simple de faire comme ça dans un cas comme celui ci donc on va prendre le déterminant de a ici donc je vais écrire à 1 2 1 1 2 4 2 2 7 5 2 et - 4 - 6 3 est ce que je vais faire c'est que je vais appliquer des opérations de ligne pour transformer cette matrice en matrice triangulaire supérieur et donc ça ne dérange pas de faire des opérations de ligne puisque là comme lady ça ne change pas le détermine d'accord donc ici ce que je vais faire c'est que je vais essayer de faire la cde de mettre à zéro tous ces coefficients sur la première colonne et donc je vais me servir de ma première ligne ici donc je vais garder ma première ligne 1 2 1 est ce que je vais faire c'est que pour moi deuxième ligne ici et bien ma deuxième ligne pour éliminer ce coefficient là c'est à dire le mettre à zéro je vais faire ma deuxième ligne - ma première année donc je vais faire un - ça me fait 0-2 - de sa me fais 04 - de ça me fait 2 2 - 1 ça me fait pour la troisième ligne ici est bien ce que je vais faire c'est que je vais prendre ma ligne 3 et je vais lui enlever deux fois ma ligne donc ici je vais avoir 2 - 2 x 1 ça me fait zéro ensuite cette moins 2 fois 2 ça me fait 3 5 - 2 x 2 ça me fait 1 2 - 2 x 1 ça me fait zéro je fais la même chose pour la ligne 4 la ligne 4 il me suffit d'ajouter la ligne pour avoir un zéro ici pour le premier coefficient donc ensuite je fais 4 + 2 et paix ça me fait six ans huit - six plus de -4 3 + 1 4 voilà donc j'ai déjà pas mal de zéro ici maintenant ce que je voudrais faire ce que je voudrais faire ici ca déjà ce que je peut remarquer c'est une chose qui m'intéresse pas trop c'est d'avoir un zéro ici donc ce qui serait bien de faire ce serait d'échanger les lignes là est-ce que je peux le faire ben oui je peux je peux le faire il ya des conditions sur le déterminant mais mettons que je le fasse donc si je le fais ça fait quoi ça me fait un 2 1 ensuite donc j'échange méline 0 3 1 0 0 0 2 1 et 0 6 - 4 et 4 donc là ce que j'ai fait c'est que j'ai juste échangé chacune de mes lignes ici alors qu'est ce que ça change pour le déterminant eh bien on a vu que dans une vidéo précédente lorsqu'on échange de ligne pour le déterminant eh bien ça change juste le signe du détermine donc ici ça va être moins le déterminant d'avant voilà c'est tout ce que ça change donc maintenant je peux continuer à triangularisation matrice ici non ce que j'aimerais faire pour la prochaine étape c'est bien alors c'est ici de mettre ce coefficient là à 0 et pour ça et bien je vais utiliser je vais utiliser ma deuxième ligne ici maintenant deuxième but donc je vais garder les trois premières puisque celle ci est à 0 donc ça sert à rien de bouger quoi que ce soit ici donc un 2 2 1 0 3 1 0 0 0 2 1 est donc maintenant pour ma quatrième une qu'est ce que je vais faire et bien je veux simplement faire l'opération de prendre ma quatrième ligne et de lui enlever deux fois ma deuxième ligne donc ici ça reste 0 ensuite six mois trois fois 2 ça fait 0 - 4 - 2 x 1 ça nous fait -6 ensuite 4 - 2 x 0 ça ne fait quatre donc voilà maintenant qu'est ce que je dois faire bien ce que je dois faire c'est que je voudrais supprimer ce coefficient ici par le maître à 0 donc ce que je vais faire c'est que je vais utiliser cette fois ma troisième ligne donc je vais garder mes trois premières lignes les mêmes 1 2 1 0 3 1 0 0 0 2 1 et maintenant ce que je vais faire c'est que je vais prendre ma quatrième ligne et je vais lui enlever je vais lui enlever va plutôt je vais lui ajouter trois fois ma troisième ligne donc plus trois fois ma troisième et donc ici ça ne change rien du tout puisque ce sont des héros en eau donc là je vais avoir -6 + 3 x 2 donc j'annule bien bon coefficient c'est ce que je voulais et ici j'ai 4 + 3 x 1 et donc je vais avoir 7 donc là je me retrouve bien avec une matrice donc triangulaire supérieur il ya une chose que j'ai oublié dans mes calculs précédent c'est de rapporter le signe ou moins faut pas l'oublier celui-là est donc je peux calculer facilement maintenant le déterminant de ma matrix a donc dette de à qu'est ce que ça va être bien puisque maintenant j'ai une matrice triangulaire supérieur que j'ai obtenus à partir d' opération de ligne qui ne changent pas le déterminant est bien ici je vais avoir moins 1 x 3 x 2 x 7 juste je multiplie juste les coefficients de la diagonale de matrix triangulaire supérieur et ici ça va faire quoi ça va me faire et bien trois fois de 6,6 fois 7,42 donc moins 42 donc le déterminant de à est égal à -40 et là tu peux voir qu'on a vraiment gagné du temps à triangularisation matriche plutôt qu'à essayer de la résoudre de manière directe avec la définition du déterminant