Formule de l'inverse d'une matrice 2x2

donc j'ai une matrice deux par deux sous sa forme très très général donc a donc juste le plus général possible donc je marque juste des lettres à la place des coefficients donc abcd est ce que je vais faire c'est utiliser la méthode qu'on a juste vu pour trouver linverse 2a et dérivés une manière très générale une formule pour trouver linverse d'une matrice de 2 donc pour trouver linverse d'une matrice ce qu'on a vu c'est qu'il fallait trouver sa forme échelonnés et appliquer exactement les mêmes opérations qu'on applique à la maîtrise pour trouver sa forme échelonnée à la matrice identité dont ce qu'on avait fait c'est qu'on avait marqué donc la matrice sur la gauche ici et qu'on avait marqué ici la la la matrice identité donc ici la matrice identité deux par deux est ce qu'on va faire là dans ce cas très très générale c'est juste trouver la forme échelonné de 1 et donc pour trouver la forme échelonné de à ce que je dois faire ici c'est que je dois rendre ce coefficient là à zéro donc c'est doit être rasée donc quelle opération est faut-il que j'applique sûr sûr sûr ma deuxième ligne ici donc ce qu'on va faire c'est qu'on va déjà gardé on va garder et bien la première ligne comme on fait d'habitude voilà et on va appliquer une opération sur ses deuxièmes et donc quelles transformations linéaire donc si j'applique une transformation linéaire à un vecteur x1 x2 ce que j'ai fait ici c'est que donc j'ai gardé il le coefficient x1 et qu'est ce que je vais faire sur la ligne 2 ici et bien pour éliminer le sait ici il me suffit juste de x c'est la première ligne est d'enlever d'enlever à x la deuxième en d'autres termes il sait ce que je veux faire c'est que je veux x c'est la première ligne bon voire à dire la deuxième ligne donc je vais multiplier à x2 donc je multipliais la deuxième ligne par a - c'est fois la première ni cx1 et donc ça ça va m'éliminer ici c'est puisque je vais avoir donc assez - ca et ça me fait zéro pour ce coefficient là qu'est ce que ça va me faire et bien savoir faire à d à d - cb c'est b voilà et donc maintenant si je fais la même chose sur la deuxième ligne de ma matrice identité je vais donc avoir ici donc à foix et x2 donc à foix 00 - ses ouailles sera donc moins c'est ici et ici je vais avoir donc à x2 donc à moins c'est x 0 donc juste voilà pour ma première opération maintenant ce que je veux faire la deuxième étape c'est que ici et bien je vais vouloir éliminer ce coefficient là c'est à dire le mettre à zéro donc comment je vais faire je vais garder ma deuxième ligne donc 0 ad - oups c b et j'ai gardé - c'est à de ce côté là et je vais peut-être me garder un peu plus de place que je sens que ça va prendre pas mal de places voilà - c à et donc qu elle l opération pour éliminer ce coefficient b ici famille minée ce coefficient b ici il suffit juste que je multiplie cette première ligne par ad - cb et que je lui enlève la deuxième ligne x b donc ça c'est la même chose que la transformation de donc donc je remarque qui va transformer le vecteur x1 x2 en donc on garde x2 est donc ce que j'ai dit ici c'est qu'on allait multiplier la première ligne par ad - cb donc x 1 x ad - cb et - b x2 donc moins mais la deuxième ligne donc si on fait ça qu'est ce qu'on a et bien de ce côté là ici on va avoir ad - cb fois à - b x 0 donc à des ad - cb fois ah voilà et pour ce coefficient là on va donc avoir ici 0 d'accord t'es bien d'accord puisque on a multiplié ici b parader - cb et on enlève - ad - cb x b d'accord c'est pour ça qu'on avait fait cette opération a donc là c'est bien 0 par contre là mais coefficients sont plus très très alignés et on comprend plus très très bien donc je vais juste ad - cb le replacer correctement voilà alors ad - cb ad - cb voilà c'est plus clair et donc on va faire la même chose ici pour le côté de la matrice identité donc ici ce qu'on fait c'est qu'on va faire ad - cb x 1 donc à d - cb - b x x 2 donc moimbé fois moins c'est donc plus bc plus b c est donc là tu vois que ces bébés c'est donc ça nul ici ensuite pour ce coefficient là et bien on va faire donc zéro ad - cb x 0 donc ça ça s'annule - b x x 2 donc moins bea - bea voilà donc ici j'ai ma deuxième opération de fait donc là j'ai presque fini ce que je vais juste versé ici s'est normalisée normaliser ce côté là de la matrice pour avoir des copies sion 1 à la place de ces coefficients ici donc comment je vais faire pour normaliser ça je vais faire une troisième transformation linéaire sur le vecteur x1 x2 donc le vecteur colonnes donc ici ce que je veux faire c'est que je veux que le premier coefficient ici pour le normaliser et bien je veux simplement dit le / tout saadé - cb x a donc à d - cb x a bien sûr x premier coefficient est pour ce coefficient là pour le mettre aussi également à 1 et bien je vais / ad - cb donc un sur ad - cv x x 2 donc de ce côté là je vais donc me retrouver avec 1 1 puisque je vais divisé ici par par ce dénominateur ici ici 0 mais ça me change rien puisque ça reste 0 0 et 1 de la même manière puisque ici et bien je vais / ca donc maintenant regardons ce que ça donne ici donc ici je vais avoir et bien le reste ici à des ad que je vais / ad - c b x a donc ici les à s'annulent ok très bien ensuite je vais avoir ici - b a donc moins bea / et bien pareil ad - cb de a donc léa s'annulent aussi voilà ensuite pour la deuxième ligne ici eh bien j'avais moins sait moins c / ad - cb / à dcb est ici et bien j à / ad - cb et donc voilà ici je me retrouve avec donc la matrice identité d'un côté et de l'autre côté ici donc je me retrouve avec la matrice inverse donc ici ça c'est en fait c'est l'inversé 2 a donc voyons un petit peu comment on peut simplifier cette écriture là donc à lorsque j'ai obtenu ici c'est quoi c'est bien alors j'ai des sur ad - cb l'ag moimbé sur ad - cb ici j'ai moins c'est sûr ad - cb ce sera un peu novatrice est ici gea sur ad - cb ça semble un peu compliqué comme ça mais là si tu peux voir quelque chose quand même d'assez intéressant c'est que ici j'ai à chaque fois le même dénominateur pour tous mais coefficient dont ce qui veut dire que je peux le sortir de la matrice donc c'est à dire je peux sortir un sur ad - cb et sa x ici des moimbé à est ici moins c est donc ça eh bien c'est ma matrix 1 verse et en fait cette quantité là qu'on appelle à des - cb donc cette quantité là ça va être c'est important de le savoir cette quantité là c'est ce qu'on appelle le déterminant de a donc on ne note dette de à et dette de à sur une matrice de 2 donc si à es22 et bien c'est bien ad - cb on le note aussi comme ceci avec des barres des barres horizontales comme ça à ne pas confondre avec les crochets bien sûr de la matrice et on peut aussi noter donc de cette manière là c'est à dire un des ces voilà donc ça c'est la définition du détermine donc je peux encore une fois simplifier un peu l'écriture de matrix inverse donc pour ça je veux juste faire un petit peu de place ici puis on va faire aussi quelques exemples pour y voir plus clair et appliqué donc se déterminant et tu vas voir qu'en fait c'est très facile à mémoriser cette petite formule alors donc une nouvelle une nouvelle manière ici et bien décrire décrire linverse de a donc à inverse qu est ce que c est bien c 1 sur le déterminant de a multiplié par la matrice des - b - c'est donc comment est-ce que tu peux te rappeler bien des coefficients ici donc déjà pour se rappeler de comment calculer le déterminant c'est assez simple on multiplie des bords la première diagonale ici et on lui enlève ensuite la deuxième diagonale ici donc on fait à d - cb donc c'est un mémo technique assez faire simple maintenant comment est ce qu'on peut retenir et bien c'est coefficient ici mais en fait il ya une manière assez simple de voir c'est que et bien sûr la première diagonale j'échange tout simplement les coefficients d'accord dd2 vient à ea devient dés et pour la 2ème diagonale ici et bien c'est simplement le jeu fut simplement moins les coefficients donc c'est devient moins c'est épais de vriendt - b donc voilà il ya il n'y a pas grand grand chose en fait à retenir ici donc maintenant on va essayer d'appliquer directement une chose très est donc une chose très très important que tu peux voir ici c'est que l' inverse d'une matrice de 2 va exister dans une condition donné c'est si le déterminant le déterminant donc à inversible à inversible si et seulement si et bien dette de à est différent de zéro parce que sinon effectivement et bien cette division là n'existe pas donc en d'autres termes si c'est la même chose que de dire que ad - cb est différent 2 0 et donc ça c'est très important puisqu'on peut voir directement si une matrice de 2 est inversible ou pas donc maintenant on va faire un petit exemple enfin deux petites exemple ensemble juste pour pour appliquer tout ça donc exemple donc mettons que j'ai une matrice b qu'ils soient définis comme ceci donc b est égal à 1 2 3 et 4 voilà donc quel va être le déterminant de paix et bien déterminant de b c'est donc un x 4 - 3 x 2 donc ça ne fait 4 - 6 ça nous fait moins deux qu'est ce que ça veut dire et bien vu que déterminant et des galas moins deux qui est donc différent 2 0 ça veut dire que b est inversible donc b inversible donc maintenant on va essayer de trouver linverse 2b donc b inverse qu est ce que ça va être eh bien on a dit que c'était un sur le déterminant donc 1 / - 2 et x la matrice donc je regarde les coefficients ici donc ce que j'ai dit c'est que j'échange l éco efficients sur la première diagonale si donc un de liens 4 et 4 devient un et ici je prends négatif de ces cautions donc - 3 - 2 voilà inverse de bkc simplement tu vois pendant il m'a suffi d'une seule minute donc ça va on va refaire un autre petit exemple on semble donc un exemple j'ai pu beaucoup de place exemple 2 donc si on prend la matrice c est égal à 1 2 3 6 quelques ils ont aussi sont déterminants donc le déterminant de ces qu'est ce que c'est et bien c'est un x 6 - trois fois donc 6 - 6 et ça ça me fait zéro donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que c'est n'est pas inversée c'est n'est pas inversée donc j'ai même pas besoin d'essayer de me fatiguer à calculer son inverse je sais directement que c'est n'est pas un ver sip