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Déterminant d'une matrice n x n

Définition du déterminant pour des matrices nxn. Exemple d'un déterminant d'une matrice 4x4. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est généraliser la définition du déterminant à une matrice end fois elle donc eh bien je vais d'abord définir ce que c'est qu'il m'adresse à une fois n donc voilà un 1 1 à 1 2 et cetera et cetera jusqu'à 1 m ici on aura à 2,1 et cetera et cetera jusqu'à n 1 est ici on aura donc à mm donc voici ma maîtrise n fois elle est on va définir une autre matrice on va définir la matrice la matrice à y j tels que hadji soit une matrice de dimension n - 1 x est moins 1 obtenu obtenu au dos nu en ignorant donc en ignorant bout entre entre guillemets un bien sûr en ignorant la ligne ea la ligne y est la colonne j et la colonne j 2 alors qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que b par exemple à 1 1 la matrice à 1 1 et va être obtenus en ignorant cette première colonne ici et cette première ligne là donc en fait c'est cette matrice qui va être ici là ce sera à 1 et pourquoi on fait ça et bien parce que on va on va on va définir le déterminant de à à partir de cette définition donc le déterminant de à qu'est ce que ça va être eh bien ça va être le premier coefficient x le déterminant de la matrice à 1 1 donc cette matrice là ça va être celle ci d'accord c'est que j'hésite à l'heure donc en ignorant première une première ligne - le deuxième coefficient à 1 2 qui va être qui va ignorer en fait ici la deuxième colonne et la première ligne donc multiplié par le déterminant de à 1 2 voilà plus bon jeu le refaire encore une fois à 1 3 x le déterminant de à 1,3 et caetera et caetera et c'est jusqu'au dernier coefficient plus à 1 n donc là j'ai mis plus mais ça dépend effectivement ci n est un nombre pair ou être un nombre impair si c'est un nombre impair alors ce sera effectivement un plus sinon si c'est un nombre n est un nombre pair ce sera un mois on était bien tu es bien d'accord là on alterne en fait les signes x le déterminant 2 à 1 donc voilà la définition plus générale du déterminant pour une matrice n3m voilà tu vas me dire où ils venaient accord c'est bien gentil mais ici en fait on a défini le déterminant en fonction et bien en fait du déterminant oui mais ce que tu dois remarquer c'est que le déterminant ici par exemple 2 à 1 1 1 à 1 est une matrice de dimensions plus petites que la matrice de dimension bien sûr tu vas me dire on ne sait pas comment résoudre et bien une matrice d'une feinte le déterminant d'une matrice de dimensions et de moulins voix n - oui mais en fait on sait que pour on voit pouvoir exprimer ce nouveau déterminant donc le déterminant du madrilène -1 par le dernier par rennes - un par le déterminant de la matrice elle moins de parennes -2 et le déterminant de la matrice est loin de paraître moins de relever définir en fonction du déterminant de la matrice n moins trois fois et de -3 etc etc jusqu'à un cas où on sait résoudre par exemple le cas de dimensions de dimensions de on a vu que c'était c'était facile évident et en fait ce qu'on a vu dans la vidéo précédente c'est que c'est bien cette formule là c'est effectivement la formule plus générale qu'on a pu appliquer sur le cac 3 x 3 donc de la vidéo de la vidéo d'avant et donc ce type de forme là qui utilise en fait donc ici on a défini le déterminant de à qui est une matrice n x n par le déterminant d'une matrice n moins 1 fois et de mon instinct ça s'appelle une formule récursive dont voient appliquer ça maintenant à une matrice 4 x 4 pour voir un peu plus clair pour y voir un petit peu plus qu'à voir ce que ça donne alors donc voilà la matrice cat dont je te propose de résoudre le déterminant donc c'est 1 2 3 4 1 0 2 0 0 1 2 3 2 3 0 voilà donc on va calculer le déterminant de cette bête là donc on prend le premier coefficient ici donc ça va être un x le déterminant et bien de la matrice trois fois trois suivantes celle-ci ici voilà donc ça va être 02 01 2 3 3 0 0 voilà ensuite on va prendre le deuxième coefficient ici - 2 x le déterminant de la matrice ici 1 0 ou 2 0 2 2 2 0 0 3 0 ensuite on va prendre le troisième coefficient ici donc 3 + 3 x le déterminant de la matrice 1 000 1 3 2 3 0 il ne reste plus qu'un seul coefficient ici donc ça va être moins quatre voilà moins 4 x le déterminant de 1 020 1 2 et ensuite de 3 0 voilà donc on va encore devoir et bien simplifié c'était déterminant ici pour pouvoir les calculé en fonction de déterminants de matrix 2 2 on va faire ça ensemble ça est un peu loin il faut s'accrocher donc ici eh bien on aura un facteur de et bien 0 x le déterminant de 3,00 ensuite - 2 x le déterminant de 1,3 3-0 - pardon + 0 x le déterminant de 1 2 3 0 donc voilà pour la partie jaune ici maintenant on s'attaque aux roses donc ça va nous faire moins deux facteurs de 1 x le déterminant de 3,00 ensuite moins deux parlent déterminant 0320 ensuite + 0 x 02 02 pardon très attention ne pas s'embrouiller ici voilà ensuite ils nous on a fait la moitié on va faire le troisième coefficient donc ici plus trois facteurs de un facteur de 1 3 3 0 - 0 facteur de 0,3 de zéro plus zéro facteur 2 alors 0123 voilà il ne reste plus qu'un coefficient ici donc on va avoir moins quatre facteurs de un facteur de du déterminant de 1 2 3 0 - 0 facteur de 0,2 2,0 plus de facteurs de 0,1 2,3 et nous avons presque fini on veut finir de résoudre je vais juste effacé ici le dessus et qu'on est la définition en rouge on en aura plus besoin alors donc qu'est ce que nous avons ici en jaune donc on va calculer les déterminants des matrices de deux qu'on a ici donc ici si ce terme là va s'éliminer puisqu'on a multiplié par 0 donc ce terme là aussi lequel celui là va s'éliminer aussi puisque on multiplie par 0 celui là aussi celui là aussi celui là aussi donc ça nous on fait déjà beaucoup moins à calculer donc maintenant qu'est ce qui nous reste alors ici on voit qu'on peut calculer se déterminant ici donc on a un x 0 donc 0 - 3 x 3 donc 1,9 donc se déterminant ici c'est moins neuf donc ici on va avoir un foie - deux fois moins 9 donc ça c'est ce qui me reste de mon terme en jaune ici maintenant en rose ici qu'est ce qu'on va avoir et si le déterminant ça va être deux fois 0 0 - 0 x 3 - 0 donc ce dès ce terme là ça nul aussi puisqu'il va être 0 quel est ce déterminant ici on a zéro x 0 0 - 2 x 3 - 6 donc ici on va avoir moins deux fois moins deux fois moins 6 voilà ensuite en violet en violet on à se déterminer en ici qui fait un x 0 0 - 3 x 3 - 9 donc on aura ici plus + 3 x 9 ensuite qu'est ce qui nous reste il nous reste c'est déterminant la en bleu donc ici on va avoir moins quatre fois alors moins quatre fois ici on aura un fois 0-0 - trois fois 6 - 3 x 2 ça fait nous fait -6 donc on aura moins quatre fois moins six fois moins six donc moins quatre encore une fois puisqu'on a encore se détend se déterminant la a calculé qu'un qui est facteur de -4 donc ici - 4 x 2 et c'est quoi le déterminer si c'est zéro x 3 0 - 2 x 1 - 2 fois moins voilà maintenant il nous suffit de faire un petit peu d'arithmétique et on y est presque donc ici on a moins deux fois moins neuf ça nous fait du xviii très bien ici en rose on a 2 2 x 6 12 donc j'annule j'annule les - 12 12 fois moins 2 - 24 - 24 ans 8 ans violée on a dû trois fois neuf donc trois fois neuf 27 27 27 il me semble qu'il y avait 1 - quelque part oui ici c'est un moins il faut pas oublier le moins neuf ici d'accord c'était c'était bien moins donc c'est moins 27 ici - 27 faire très très attention il ya beaucoup beaucoup de rythme éthique c'est très facile de faire des fautes ensuite on a ici moins quatre fois moins six ce qui nous fait du plus 24 et ici on va avoir du 4 x 2 ça nous fait 8 8 x 2 ça nous fait 16 et vu qu'il y aller - qui s'annulent on a plus 16 voilà donc on y est vraiment presque ici ouf on va à l'arrivée donc 18 - 24 qu'est ce que ça fait ça fait moins six ans 8 ici on a du moins 27 +24 +16 donc ici on a 40 40 - 27 ça nous fait du +13 voilà donc moins six +13 est finalement moins 6 pouces très ça nous fait cette housse est bien le déterminant de cette matrice 4 x 4 et bien c'est cette si on ne s'est pas trompé donc je te conseille de le refaire de leur faire aussi tranquillement chez toi alors qu'est ce que ça veut dire d'avoir un déterminant égal à 7 bien c'est surtout important ainsi que 7 et soit différente zéro parce que ça veut dire que cette matrice là et d'un ver cible