Déterminer si une application est surjective

donc j'ai une transformation linéaire tu es donc t2 est reine dans r m donc c'est à dire que je peux écrire tes 2x ou x est un vecteur de r n est égale à la matrix a multiplié par x donc c'est la définition ici d'une transformation lean et est donc cette matrice là doit être m x n donc avoir une colonne pour pouvoir être multipliée par un vecteur de dimensions elle donc comme pour les fonctions et bien je peux faire je peux dessiner mais ensemble de départ et met ensemble d'arriver donc ici je vais avoir l'air n est ici voilà r&m est donc essentiellement ce que ça veut dire ici c'est que je peux prendre ici un vecteur dans rn donc x1 x2 données et ce jeu peut lui associer un autre vecteur dans rm qui va être défini par à 2x donc voilà pour la transformation maintenant on va poser la même question qu'on a posé avec les fonctions c'est à dire est ce que tu es et inverser douter inversible d un ver cycle et on a vu que pour que tes soit inversible on va on avait vu ça avec les fonctions mais ça se généralise donc ici aux transformations t doit être sûr j'ai ctive et thé doit être injectée donc ça c'est la même chose de dire que tu es sûr j'ai ctive été injecté un geiq div et dans cette vidéo là eh bien on va s'intéresser à ce que ça veut dire avoir tu es sûr j'ai ctive principalement est la vidéo d'après on s'intéressera à thé injected donc qu'est ce que ça veut dire avoir tu es sûr j'ai ctive ça veut dire que je peux prendre n'importe quel point d'un rmi si celui là par exemple eh bien je vais lui pouvoir lui lui associer un autre point ici dans aer n c'est à dire que je vais pouvoir trouver un x tel que et bien enfin x 1 x 0 par exemple ici tel que est bien ici ce soit égale donc à x 2 0 est égal à mon vecteur b que j'avais choisi ici d'un air est donc ce que ça veut dire prêt formellement c'est que pour tous vecteurs b appartenant à air m il existe il existe au moins au moins il existe au moins une solution une solution x appartenant à air n tels que est bien tel que à x est égal à donc ça c'est de manière plus formelle ce que j'ai dessiné ici en jeu maintenant qu'est-ce que ça qu'est ce que ça veut dire en fait être avoir tu es tu es sûr j'ai ctif comment est ce que je peux savoir si tu es et subjectif et bien ce que je sais c'est que la matrix a donc je prendre une autre couleur la matrice à ckoi et bien ce sont les colonnes à 1,2 et cetera et cetera à haisnes d'accord donc ça ce sont bien des vecteurs ici des vecteurs colonnes voilà c'est comme ça que je définis matrix et c'est quoi mon vecteur x et bien bon vecteur xc l'ensemble des coefficients x1 x2 et cetera et cetera x n donc n coefficient c'est un vecteur de dimensions elle donc qu est ce que ça va être que et bien à 2 x a multiplié par x pardon eh bien c'est la combinaison linéaire x1 à un plus x 2 à 2 plus et cetera et cetera xn à n donc ça c'est la combinaison linéaire des des vecteurs colonnes en fait de ma matrix a donc on va dire que tu es est sûre j'ai ctive t et subjective si et seulement si donc ça c'est le signe pour si et seulement si et bien l'espace qui engendré par les colonnes de la matrice a donc l'espace engendré donc vectes 2 à 1 à 2 à n donc ils sont les vecteurs colonnes de la matrice à associer à la transformation lean rt et bien l'espace engendrés par l'espace des colonnes ce sera égal à r m donc on va comprendre pourquoi dans quelques instants donc qu'est-ce que ça veut dire que tu es sûr j'ai ctive t'es sûr rectifions pour n'importe quels vecteurs dans l'espace d'arrivée rm je peux trouver et bien un x tel que à 2 x et hey à labé ou b ce n'importe quels vecteurs de l'espace rm donc c'est à dire que ax est égal à b à une solution voilà à une solution est donc dans quelles conditions et bien cette équation là à une solution eh bien tu as pu déjà essayé de résoudre ce genre d'équations là et pour ça et bien ce qu'on avait utilisé c'est la forme échelonné de a donc on arrivait à la forme échelonné en partant de la matrice à et du vecteur b comme ceux ci est ce qu'on essayait de trouver c'est quelque chose qui ressemble qui ressemble à ça c'est à dire avec avec des coefficients sur la première ligne par exemple voilà et ensuite des zéro partout ailleurs ici ensuite des coefficients sur la deuxième ligne par exemple la voilà etc etc à des héros des héros ici un coefficient non nul 3 etc etc et ici si on se retrouvait que avec des zéros donc ici j'ai toujours mon vecteur baisse donc si on se retrouvait qu'avec des zéros ce qu'on avait dit c'était que et bien cette cette équation là n'avait donc pas de solution est donc si si je me retrouve avec une forme échelonné de matrix avec des zéros sur sur une ligne parce que je peux dire c'est que et bien la transformation en linéaire associés à cette matrice là n'est donc pas sûr j'ai ctif met donc ça c'est intéressant parce que ça nous amène à une aussi une définition qui est peut-être plus facile à appliquer qui concerne laurent d'une matrice alors je vais te montrer en quoi ça nous amène donc qu'est ce que ça veut dire que et bien l'espace engendré des colonnes et égale arm ça veut dire que laurent le rang de la matrice à c'est égal à la dimension des colonnes des colonnes de as parce que si tu te rappelles met donc j'ai une matrice à et que je trouve sa forme échelonné r donc j'ai une matrice à que j'ai défini de la même manière qu ici c'est à dire avec des vecteurs colonnes a1 a2 et c est ca n space et c'est pas avec terrain c'est bien une matrice c'est juste du plus beaucoup de place ici et bien mais donc je trouve sa forme échelonnée donc j'ai trouvé sa forme échelonné avec avec donc une première colonne ici voilà un et que des zéros ensuite ensuite la deuxième colonne mais je vais pas trouver de pivot je vais avoir par exemple de et que des zéros ensuite ici ensuite je n'ai pas pareil pas de je trouve pas de pivot jusqu'à la dernière où j'ai un nouveau pivot je vais avoir que des 0 et 1 ici donc en fait qu'est ce que je vois ici c'est que et bien les nombres de deux vecteurs qui contiennent ici donc des pivots ce qu'on appelle des coefficients pivot donc c'est celui là et celui là et bien c'est égal au rang de ma matrice d'accord et donc en fait c'est ces vecteurs là sont les vecteurs de base de de l' espace vectoriel qui engendré par les vecteurs colonnes de la matrice donc ça fait bien senti ici que le rende à la dimension des colonnes de as et donc ça ça devrait être égal à m donc si je récapitule ici eh bien tu es peut être sur les cte yves et bien si et seulement si donc l'espace engendrés par les colonnes de la matrice associés va être égal à rm et que donc c'était secte équivalent aussi à dire que le rang de la matrix va être égal à m donc on va faire un exemple pour que tu y vois un petit peu plus clair alors je vais effacer tout ça et on va faire notre exemple je vais faire c'est ce que géant jaune aussi hop voilà alors notre exemple exemple mettons que j'ai une transformation est ce qui va de r2 dans r3 r2 dans r3 tel que et bien s 2 x ce soit la matrice 1 2 3 4 5 6 voilà x le vecteur x donc ça c'est ma matrix a de tout à l'heure et la question que je veux poser ici c'est que de savoir si s est subjective donc s subjective et donc pour faire ça et bien je dois trouver la forme échelonné en fait de s pour savoir et bien si le rendement batterie bien des galas m donc j'aime amatrices 1 2 3 4 5 6 et je vais trouver sa forme est chaude donc pour trouver sa forme échelonné je marque déjà la première ligne ici est ce que je vais faire c'est essayer d'annuler donc ce coefficient là par un multiple de cette première ligne donc la manière dont on voit le plus simplement ici c'est que si je fais trois fois la première colonne - la deuxième colonne et bien je vais me retrouver avec un zéro ici donc c'est ce que je vais faire ici donc c'est à dire que je vais faire trois fois 1 - 3 ça me fait 0 et ensuite trois fois 2 ça me fait 6 6 - 4 ça me fait de voilà ce qu'on a fait sur la maintenant pour la troisième ligne ici je vais faire exactement la même chose je vais essayer d'annuler ici ce coefficient 5 et pour ce faire et bien je vais multiplier par cinq fois par cinq la première ligne et je vais enlever et bien la troisième ligne donc 5 x 1.5 ça me fait bien 0 donc j'ai bien annuler mon coefficient ensuite je fais donc 5 x 2 10 - 6 4 donc voilà deuxième phase ici donc ce que je vais faire ici c'est que je vais pouvoir divisé par deux ici ma deuxième ligne ici juste pour avoir un coefficient 1 donc voilà c'est la même chose que ça donc maintenant ce qu'on va essayer de faire est bien c'est de remplacer tous ces coefficients ici par des parts des 0 donc je garde ma deuxième ligne ici que je vais utiliser un pivot est ici ce que je vais faire c'est donc la première ligne - deux fois la deuxième ligne est donc la première ligne - deux fois là donc ça fait un moins deux fois 0 ça reste un 2 - 2 x 1 ça nous fait zéro donc voilà ça m'a nul ce coefficient ici maintenant pour annuler les quatre ici ce que je vais faire c'est que je vais faire et bien la troisième ligne - et bien quatre fois la première ligne donc 0 - 4 x 0 ça nous fait zéro et quatre fois moins quatre fois 1 ça me fait zéro ici donc là et bien je me retrouve avec deux lignes pivot ici donc il ya des coefficients n'ont nulle et aussi deux colonnes deux colonnes de cologne pivot ici donc le rang laurent de deux matrices donc le haut rang de 1 2 3 4 5 6 et bien le rendre cette matrice là ça va être deux puisqu'ici bien g22 ligne ou deux colonnes pivot et donc de et bien forcément oui c'est différent 2 3 et pourquoi est ce que je dis ça parce que eh bien 3 c'est la dimension de mon espace d'arriver ici donc en fait c'est à dire que le l'espace engendrés par les colonnes deux matrices ici est différent de r3 donc est ce n'est pas n'est pas sûr j'ai ctive surgé ctive voilà et dans la vidéo suivante ce qu'on va faire c'est regarder dans quelles conditions t es injected