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Transcription de la vidéo

donc ici on a une transformation de r2 dans r2 qui est défini de la manière suivante quelques lettres tels que la transformation de x est égale à la matrice définit comme ceux ci un x le vecteur x donc qu'est ce que ça nous donne si je fais est bien le ici l'espace l'ensemble de définition est ici l'ensemble d'arriver donc ils sont tous les deux r2 et bien chaque point de l'ensemble de définition est associé à un point dans l'ensemble d'arrivée partez donc pour comprendre un peu mieux cette fonction on va essayer de voir quels et l'ensemble des points de l'ensemble d'arrivée qui est effectivement utilisé par t en d'autres termes ce qu'on va regarder c'est qu'elles sont les vecteurs b possible pourrait bien ax est égal à b donc on va essayer de déterminer ici quels sont les baies possible d'accord donc le a évidemment ses 7,7 matrice cette matrice là ici et donc pour ça et bien je vais essayer de passer par la forme échelonné donc je vais d'abord écrire cette équation ici donc c'est 1 - 3 - 1 3 donc ça c'est à x x donc coefficient donc vecteur dans air de x1 x2 est égal à bbb donc je vais passer par la forme échelonnés pour trouver bien tous les bébés solution de cette équation tous les billets solution de cette équation donc et bien la forme échelonné je vais poser donc ma matrice d'un côté ici et de l'autre côté mais bi1 donc bien b2 voilà et le but ici donc ça va être et bien d'annuler les coefficients d'annuler ce coefficient ici donc si j'essaye d'annuler ce coefficient 6 et simplement la deuxième ligne est bien plus la première donc si je fais la deuxième ligne plus la première ligne donc la première ligne ici donc ne change pas ce sera toujours 1 - 3 b1 et pour la deuxième ligne donc j'annule je fais moins 1 + 1 il ya le 03 - 3 est égal à zéro et ici je vais donc avoir des seins plus b de première ligne plus 2e les donc ce que je vois ici c'est que j'ai une ligne de zéro ici d'une ligne de 2,0 ici voir et donc la seule pour une solution possible est bien pour cette cette équation là c'est b1 plus b2 est égal à zéro en d'autres termes b2 est égal à moins bien c'est la même chose donc c'est la seule manière d'avoir une solution ici donc essayons de visualiser qu'est ce que c'est que cet ensemble de solutions là donc ici je vais dessiner et bien l'ensemble de l'espace d'arrivée donc je vais avoir ici coefficient b2 en fonction du coefficient d un donc ça cr2 d'accord et donc je vais dessiner et bien b2 est égal à - b1 donc b2 est égal à - b1 ses 7,7 ligne ici voilà c'est assez les deux et m donc ici c'est quoi cette recette ligne cette ligne ici en jaune et bien ça c'est tout tous les vecteurs b qui ont qui ont une solution une solution x a donc deux vecteurs x tel que tel que ax est égal à b voilà donc ça ça correspond à cette ligne jaune ici est donc là ce qu'on a vu tout à l'heure c'est qu'on avait donc l'ensemble de départ l'ensemble de définition ici qui est r2 donc si je prends et bien un x ici n'importe quel x en fait ici et bien partait je vais toujours avoir associé ce cx la a et bien un point de cette ligne là voilà et donc on a vu ça dans la vidéo précédente que ça nous montre que tu es en fait n'est pas sûr j'ai ctive car tous les points du domaine d'arriver ici ne sont pas enfin non pas au moins un point ne sont pas associés à au moins un point du domaine arriver c'est à dire que le si je prends ce point là ici il ne sera pas associé à où il sera associé à aucun point du domaine ici deux définitions donc c'est pour ça qu'on avait dit que quand il y a une ligne 2 0 dans la forme échelonné delà de la matrice on pouvait conclure que tu es la transformation linéaire associé n'était pas sûr j'ai ctif donc maintenant ce qu'on va faire c'est regarder tous les tous les bébés qui ont une solution x tel que ax est égal à b donc c'est x là pardon c'est bella et bien ils doivent satisfaire cette équation la b1 plus des deux est égal à zéro donc j'ai remarqué ici p1 plus b2 est égal à zéro mais ils doivent aussi satisfaire et bien cette équation là ici celle ici c'est à dire que x 1 x 1 - 3 x2 est égal à b donc si je réécris cette équation là qu'est ce que ça me donne ça me donne que x1 est égal à b1 + 3 x 2 en d'autres termes l'ensemble des solutions qui satisfont donc ces équations là ça va être l'ensemble des solutions donc x1 x2 donc l'ensemble des x est égal à et bien x1 on a dit que c'était égal à b 1b un + 3 x 2 voilà donc ça c'est cette cette première équation ici et x2 et bien x2 c'est tout simplement illégal à l'issue donc ici 0 je marque 0 et 6 2 voilà donc ça c'est l'ensemble des x qui sont et bien en solutions de ax est égal à ab pour les b qui qui existent ici donc je vais illustrer sa part un exemple donc je vais d'abord effacer tout ça parce que j'en ai pu vraiment besoin là tout de suite voilà donc on va prendre un exemple exemple mettons que je prenne le point 5 - 5 donc 5 - 5 mettons que ce soit ce point là ici 5 - ça donc c'est un b donné d'accord et donc je cherche l'ensemble des solutions telles que ax est égal à 5 - donc si je remplace temps cette équation là qu'est ce que ça va me donner ça va me donner x1 x2 donc l'ensemble des x est égal à bien bien ces cinq donc 5 0 + x 2 3 voilà donc ça ça me donne l'ensemble des solutions pour le point 5 - 5 en d'autres termes qu'est ce que ça veut dire ici ça veut dire que que pour mon ensemble de définition ici donc ça veut dire quoi cet ensemble de solutions là ça veut dire que c'est le vecteur ici 0,5 donc le vecteur 05 c'est ce vecteur la voie la plus x 2 3 1 donc plus 6 2 3 1 ça me fait ce vecteur l'a31 1 2 3 1 ici voilà donc est bien ici cette ligne là voilà donc cette ligne là ici donc tous les points en fait de cette ligne là de cette danse est dans l'ensemble de définition vont être associés à ce point 5 - 5 donc ici n'importe quel point sur sept sur sept droite ici va être associé à ce point 5 - 5 maintenant on peut se poser la question est bien calé l'ensemble des solutions pour le point ici 00 d'accord qui satisfait bien les conditions ici et bien je peux faire exactement la même chose c'est-à-dire que je cherche ax tels que c'est égal à 0 0 et donc ça eh bien ça va me donner quoi ça va me donner x1 x2 est égal à x 2 3 1 voilà donc x 2 3 1 qu'est ce que ça va faire ça va me donner ici 3 1 3 1 ça va me donner ce vecteur ici donc tous les points de cette de cette ligne là qui sont engendrées par le vecteur 3-1 et bien vont être associés ici au point 0 0 et donc en d'autres termes pourquoi est-ce que c'est intéressant de savoir est bien calé l'ensemble dissolution x tel que ax est égal à zéro zéro parce qu'en fait ça et bien ça correspond à quoi ça ça correspond à ce qu'on appelle donc le noyau de ah ça c'est le noyau de à en d'autres termes c'est ce qu'on a appelé guerre de à pour kernel 2 à elle et elle choses intéressantes qu'on peut voir ici on peut deviner ici même si je te laisse pas montré formellement c'est qu'en fait l'ensemble des solutions de ax est égal à b donc pour un bep en particulier va être égal à la translation en fait du noyau de a donc ça en fait ça cette ligne là en rouge c'est bien le noyau de à et je vois bien que ici je suis une translation du du noyau de à part et bien ce vecteur l'a donc ici ce que j'ai eues ici ça c'est le noyau le noyau de a donc je verrai capituler un petit peu plus proprement ici on va ré face et on va passer tout ça hop besoin tout ça voilà donc je récapitule si ax est égale ap à une solution à une solution l'ensemble des solutions l'ensemble des solutions l'ensemble des solutions eh bien ça va être un x en particulier donc cesser ce hic cela en fait c'est exactement celui là plus et bien un vecteur données n tels que et bien n va appartenir au noyau de à voilà c'est ça ça appartient donc au noyau de là est la raison pour laquelle en fait on est passé par tout ça et on a regardé l'ensemble des solutions d'une équation qu'on appelle non homogène ici c'est parce qu'on a commencé à parler d'un ver sibilité pour une transformation et que pour être inversible une transformation doit aussi avoir au plus une solution x pour to b appartenant arm en d'autres termes la fonction doit être la transformation doit être un objectif voilà et donc ça ça va impliquer que en fait le kernel 2 à le kernel 2 ha pour pour une fonction pour une transformation et bien inversible pour une transformation inversible doit avoir seulement le vecteur nul doit avoir seulement seulement le vecteur nul et ça on va le regarder un peu plus attentivement dans la vidéo suivante