Introduction aux projections

donc on va commencer par dessiner un repaire de r2 voilà et on va dessiner une ligne qui passe par l'origine de ce repère et cette ligne là on va l'appeler elle et on sait qu'une ligne dans et rennes eh bien elle peut définie par un vecteur x n'importe quel salaire de r donc je vais dessiner un vecteur ici qui est le long de l donc voilà ça c'est mon vecteur v et la définition est bien de l ça va être l'ensemble des cv tels que c'est appartient à air et donc ça c'est ma définition pour elle est en fait ce que je veux faire dans cette vidéo c'est définir qu'est ce que c'est que la projection d'un vecteur sur elle et la projection c'est une fonction qu on va noter proche de l 2 x c'est-à-dire que étant donné un vecteur quelconque x donc par exemple ce vecteur là donc ça c'est x eh bien je veux savoir qu'est ce que c'est que sa projection sur elle une manière de voir ça c'est d'imaginer que eh bien j'ai dû du soleil qui arrive sur x de cette manière là et la projection de x sur elle ça va être l'ombre du vecteur x / sur la droite ici elle donc ça va être cette longueur ici donc ce vecteur ici voilà donc ça c'est une manière de voir ça et l'autre manière de définir la projection de x sur elle c'est de se dire que je dois dessiner une droite qui est perpendiculaire ici à elle donc je veux la mettre ici en rouge donc une droite qui est perpendiculaire à l est qui va passer par là la position ici du vecteur donc voilà ça c'est une autre manière et bien de définir qu'est ce que peut être la projection de x / est bon mais tout ça c'est très gentil je t'ai expliqué avec les mains qu'est ce que ça pouvait être mais ce qu'on aimerait bien faire c'est définir un peu plus formellement qu'est ce que c'est que proches elle 2x et il ya une relation qu'on peut voir ici entre ces vecteurs rouge vert et bleu c'est que si j'additionne le vecteur bleus plus le vecteur rouge et bien je me retrouve avec le vecteur vert ici en d'autres termes x donc x c'est égal à quoi et bien x7 égale approche proche de l 2x plus plus eh bien mon vecteurs que j'ai ici en rouge donc plus le vecteur rouge on n'a pas de nom pour le moment parce qu'en fait c'est très bien parce qu'on veut juste définir qu'est ce que c'est que le vecteur rouge puisque c'est le seul pour lequel on n'a pas d'expression et bien bon vecteur où ça va être tout simplement xx xx - proche de l 2 x voilà donc comme ça j'ai défini mon vecteur rouge donc qu'est ce que c'est que la définition de est bien proche de l 2 x eh bien je sais que ça va être un vecteur un vecteur qui appartient à haisnes puisque ce vecteur là va être sur elle par définition tels que tel que eh bien mon vecteur ici en rouge donc c'est à dire x moins proche l 2 x et bien ce vecteur là doit être perpendiculaire à elle et ça eh bien c'est ma définition de la projection voilà maintenant une question qu'on peut avoir c'est comment et bien est-ce que je peux calculer quelle est la valeur de cette projection la comment je calcule le vecteur en bleu ici et bien un indice c'est que je vais pouvoir utiliser et là l'expression de ce vecteur là en rouge ici donc ma projection ma projection proche de l 2 x par définition c'est un vecteur de l donc je peux l'écrire cv ou c va être un scalaire n'en un scalaire défini et là ce que je vais essayer de trouver tout de suite c'est qu'est ce que c'est que l'expression de c'est alors qu'est ce que je connais là dedans que je pourrais utiliser et bien il ya une chose que je sais c'est que eh bien mon vecteur rouge ici est perpendiculaire à ma droite elle c'est à dire qu'il perpendiculaire aussi à mon vecteur ici en bleu et donc ça veut dire que le produit scalaires du vecteur rouge et du vecteur bleus est égal à zéro donc on va écrire ça x moins proche l 2 x produits scalaires avec est bien ici on peut dire même le vecteur vais ici tout simplement n'a pas besoin de prendre le vecteur bleus eh bien ça ça va être égal à zéro donc maintenant eh bien on va essayer de développer un petit peu cette expression là donc on va distribuer le produit scalaires ici donc je vais me retrouver avec x produits scalaires vais moins proche l 2 x produits scalaires v est égal à zéro projet le hic c'est bien ça je peux remplacer par cv donc je vais avoir x v - c'est v produisent quels hervé est égal à zéro donc je vais avoir x je m'en remettre un petit peu plus au x v est égal à ses produits scolaires de v par vais donc maman et bien je peux y isoler ces jeux peu isolé c'est ici c'est à dire que je peux avoir est égal à bien ça va être égal au produit scalaires 2x par v / le produit scalaires devait par vais donc ici j'ai une expression pour c'est donc je te rappelle qu ici c est un scalaire parce que là on fait donc des produits scalaires est donc le résultat d'un produit scalaires est un scalaire donc si je reviens à mon expression de la projection qu'est ce que j'ai et bien cv c'est égal à x produits scalaires vais sur v produits scalaires vais donc c'est l'expression de ces que je viens de trouver et bien x v et donc voilà l'expression de la projection de x sur elle donc là ça paraît une écriture un petit peu compliqué donc ce qu'on va faire tout de suite c'est bien évidemment on va on va prendre un exemple et voir que eh bien ça marche bien tout ça donc je vais effacer ce dont on a vraiment pu besoin voilà est ce qu'on va faire tout de suite c'est qu'on va redéfinir quelques vecteur dans r2 on va définir vais donc on va définir v est égal à 2 1 donc ça veut dire que elle va être égale à celle de 2,1 pour tout laisser appartenant à air voilà et donc on va dessiner tout de suite qu est-ce que se donne sur un repaire de r donc voila mon repère donc je vais dessiner je vais dessiner vais donc wc 2 1 donc voila mon vecteur ici v voilà v et donc si vous l'avez bien voilà ici elle ça c'est elle est maintenant je vais définir un vecteur x tel que ce soit 2,3 donc on va dessiner 2 3 1 2 3 donc voila mon vecteur ici x donc ça c'est mon vecteur x est ce qu'on veut calculer ici c'est la valeur c'est-à-dire l'on veut cordes et on veut calculer les coordonnées du vecteur de la projection de x / et est pour ça qu on va simplement appliqué ici ce qu'on vient de trouver donc qu'est-ce que ça va être que proches sur elle de 2,3 eh bien ça donc ce qu'on a trouvé c'est que c'était le produit salaire de x par vais donc x qu'est ce que c'est x c'est le vecteur 2 3 v c'est le vecteur de 1 je divise sa part le produit scalaires de v par rêver voilà et je multiplie sa ensuite par v c'est à dire 2 donc ça qu'est ce que ça donne eh bien il suffit de calculer les produits scalaires ici au nominatif et au dénominateur pour calculer un produit scalaires je te rappelle le produit scalaires c'est la somme des coefficient multiplier 2 à 2 c'est à dire que ici je fais deux fois 2 4 plus trois fois donc ici g7 fait pareil au dénominateur donc deux fois 2 est égal à 4 + 1 x 1 égale donc ici à 5 donc je me retrouve avec et bien cette cinquième x le vecteur 2 1 donc qu'est ce que ça donne si je rentre ça à l'intérieur du vecteur et bien je vais avoir 14 5e et je vais avoir ici cette cinquième donc 14 5e c'est à peu près égale à quoi c'est égal en fait à 2,8 et cette cinquième c'est égal à 1 4 donc je vais placer ce vecteur là maintenant sur sur mon dessin dont à peu près ici donc de 8 alors ça ça va être trois de 8 c'est à peu près ici un cat voilà donc ce vecteur ici que je dessine en bleu ça va être ma projection est ce qu'on peut voir ici c'est que et bien la projection si je dessine la perpendiculaire à ma droite elle et qui passe par le vecteur position x eh bien je vais retrouver exactement exactement ma projection ici donc ça te montre que ça marche bien donc maintenant tu sait calculer les projections et dans la vidéo suivante on va voir et bien comment est ce qu'on trouve la matrice est bien de la transformation linéaire puisque la projection est en fait bien une transformation linéaire donc on va voir ça dans la vidéo suivante