Exemples d'applications linéaires : Rotations dans R2

donc dans cette vidéo mais on va parler des rotations et la première chose qu'on va montrer c'est qu'une rotation est une transformation lean r on va montrer ça un peu avec les mains et ensuite après ce qu'on va regarder c'est la tête de la matrice qui correspond à cette transformation les nerfs en gros c'est quoi la matrice d'une rotation donc on va définir une rotation par roth de teta et on va partir d'une rotation en deux dimensions parce que ce sera plus simple à visualiser donc de r2 dans r2 et europe 2 thêta ii x qu'est ce que c'est bien ça c'est la rotation rotation antihoraire anti horaire d'anglet et à d'angle teta est bien de mon vecteur x 2 x donc c'est à dire que si j'essaye de dessiner de dessiner ça on va décider ça ensemble donc je vais faire un petit repères ici voilà et donc je vais dessiner un vecteur donc je vais avoir mon vecteur par exemple ici voilà comme ceci est donc ça eh bien c'est moins vecteur x est ce que va me faire et bien roth de têtards de d'état veut transformer x par un angle août et a donc ici j'aurai un ongle teta et ça eh bien ce sera parement en mode 2d tas de x voilà ça c'est la manière dont je définis ma rotation est la première chose que je t'ai dis c'est que une rotation est une transformation lean r on va essayer de regarder si c'est vrai avec les mains donc quelle est la définition d'une transformation linéaire et bien pour une transformation linéaire on a vu que si rod deux états est une transformation linéaire alors si je prends roth de teta 2x plus y os x et y sont des vecteurs de r2 alors ça c'est égal à rots de teta 2x plus roth 2 des tas de y donc ça est ce que c'est vrai on va essayer de voir ça ensemble donc je vais dessiner un vecteur y donc par exemple bon vecteur y être comme ceci donc ça c'est y et que donc qu'est-ce que ça va être x plus y est bien x plus y jonchaient changer encore une fois deux couleurs x plus y est bien ça va être ce vecteur donc le cx plus y ça va être à peu près ce vecteur ici voilà donc ça c'est x plus y est donc quelle va être la rotation d'anglet et à 2x plus y est bien simplement la rotation dans le thêta ii x + irait que ça va être bon à peu près ce vecteur ici d'anglet et à anglet et à voilà et ça c'est bien c'est roth de teta 2x plus y voilà maintenant si je prends la donc ici ici j'ai ce terme ici en que j'ai mis en vert au début j'ai roth de teta 2x est ce que j'ai dessiné tout à l'heure et maintenant qu'est ce que c'est que roth de thêta ii y est bien un rot de thêta ii y ça va être tout simplement le vecteur d'anglet et à antihoraire ici obs pas à peu près en fait sur la même direction qui s' ix plus y mais c'est pas fait exprès donc ici c'est roth état de y ait en fait ce que tu peux voir vois ce que tu peux imaginer en fait ici c'est que quand je vais additionner roth de tettey de l'x et roth de tettey de y bien je vais tomber sur route de teta 2x plus sillac ça tu peux le dessiner toi-même et regarder à l'échelle à voir si ça marche vraiment ici avec le dessin c'est c'est un peu compliqué parce que je fais ça de manière approximative mais si tu fais ça avec une feuille quadrillée tu verras que ça marche très très bien donc à la louche on peut dire que cette propriété là et à respecter maintenant là une deuxième propriété qui font qu'une transformation et une transformation linéaire c'est quand je prends roth de teta de ces x ou c est un scalaire et bien ça c'est la même chose que ces grottes de teta 2x et donc ça est ce que c'est vrai pas on va redessiner un petit repère essayer de refaire à la main de regarder à la main ce que ça peut donner donc voilà ce je vais prendre voilà je vais prendre ça c'est x donc ça c'est me better x ici et quand je le multiplie par c est bien quand je le multiplie par ces mettons que je vais avoir ce vecteur là donc ça c'est c'est 2 x et donc si je prends ma rotation d'anglet et a donc si je prends ma rotation d'anglet état de x ça va me faire ce vecteur ici donc ça c'est rod et à 2x d'accord parce que ça c'est l'angle d'état et si je fais la rotation de ses 2 x et bien qu est ce que ça va me donner à la rotation de ses 2 x ou géomètres une autre couleur bien ça va être ce ce vecteur la d'angle d'état donc ça va être exactement ce vecteur ici donc ça c'est rod d'état de ces 2 x parce que c'est aussi ici l'angleterre a exactement la même chose d'accord donc en fait et bien on a déjà montré sa c'est à dire qu'on a montré que la rotation la rotation de ses 2 x tout ce que j'ai ici en violet cetc fois la rotation de x c'est à dire que c'est ce vecteur la rote thêta ii x que géant orange x c'est assez visible sur ce graphique mais encore une fois tu peux regarder ça plus précisément par toi même en faisant les vrais dessins avec les vraies mesures mais en gros ce que je voulais te montrer là c'est que une rotation est bien une transformation linéaire et pourquoi est ce que je voulais montrer ça et bien parce que si c'est une transformation linéaire ça veut dire que je peux l'écrire à l'aide d'une matrice donc je vais effacer mes petits graphiques ici parce qu'on voit plus en avoir besoin donc voilà et donc ce que je te disais c'est que roth de d'état de x c'est la même chose que une matrice a multiplié par x et nous ce qu'on va faire maintenant c'est essayer de définir qu'est ce que c'est que a est en fait on a déjà vu comment est-ce qu'on pouvait trouver à dans le cas d'une transformation en linéaire on a vu qu'il fallait qu'on prenne l'identité du domaine de définition donc ici le démet une des définitions cr2 donc l'identité c'est 1 001 donc d un dans la diagonale des héros ailleurs et donc ça en fait si on regarde les vecteurs colonnes de cette matrice identité ce sont des vecteurs de base de r2 donc on a eu 1 et 2 ici et à qu'est ce que ça va être eh bien à ça va être les colonnes en fait de à vont être les transformations linéaire de ses vecteurs de base donc ici je vais avoir roth d'état 2 e 1 ça c'est ma première colonne est ma deuxième colonne ça va être au rot d'état 2e 2 voilà juste de cette manière alors je mets ça juste pour qu'on voit bien que ce soit que c'est des vecteurs colonies si donc il nous reste plus ici qui a calculé qu est ce que c'est que roth est à 2-1 et roth d'état 2e 2 et pour ça et bien je vais refaire un repère et s'ils ont regardé ensemble ce que ça donne donc voila mon repère et je vais dessiner eu un et donc ça mettons que ce soit eux donc ça c'est le 1 donc eu un qu'est ce que c'est c'est le vecteur 1 1 0 voilà et donc maintenant qu'est ce que c'est par la rotation d'état donc si je fais une rotation des tas de e1 je vais avoir cet angle cet angle là pardon ce vecteur là donc ça c'est un angle teta et ça c'est roth d'état 2e et maintenant on fait ce que je veux c'est je veux les coordonnées de ce point là ici c'est à dire que je veux son x donc je veux connaître ce point là et je veux connaître ce point ici est donc en fait ce que tu peux voir ici c'est que on peut appliquer des règles de trigonométrie parce que si je considère si je considère ce triangle ici là et bien ça c'est un triangle rectangle les rectangles ici je connais un angle c'est l'angle teta d'accord et je connais aussi et bien je connais aussi la valeur ici de l'hypoténuse de langue puisque eux 1 c'est un vecteur de base qui a pour norme 1 donc ici je sais que et bien l'hypoténuse ici vaut 1 donc comment en fait et bien je trouve 7,7 ce côté ici bien ce côté ici c'est le côté opposé à l'angle ici est celui là c'est le côté adjacent donc en fait ici je veux juste retrouver le côté à la valeur du côté adjacent à la valeur du côté opposé donc il me suffit juste de d'appliquer en fait un sinus et un caussinus alors qu'est ce que c'est que le cosinus deux langues le thêta ici et bien le cosinus caussinus de teta ici c'est le côté adjacent adjacent sur l'hypoténuse sur l'hypothénuse donc le côté adjacent qu'est ce que c'est c'est caussinus teta fois l'hypoténuse ai vu qu l'hypoténuse ici c'est un le côté adjacent d'accord le côté adjacent donc ici donc m'en valeur de x ça va être cause de teta donc roth et à 2,1 dont cropped état de 1 donc je vais écrire ici route et à 2 ça va être ici cos d'état d'accord cost et a alors qu'est ce que ça va être le côté opposé un côté opposé j'ai juste d'appliquer le sinus donc sinus de teta qu'est ce que ça va être l'opposé sur l'hypothénuse et comme l'hypoténuse vaut 1 donc l'opposé donc ce côté ici là qui est donc là coordonnées y de ce point là ça va être sinus de d'état sinus de d'état jeu juste faire un tout petit peu de place ici voilà et donc maintenant on va regarder qu'est ce que c'est que la rotation d'angle thêta ii e de dons qu eux deux qu'est ce que c'est et bien eu deux ça va être ce vecteur ici donc ça c'est eux deux et donc au rot de teta 2e 2 route de teta 2e 2 ça va être ce vecteur ici c'est assez roth d'état 2e 2 donc ici on a bien l'angle teta et de la même manière ce que je voudrais ici c'est à voir 7cette coordonnées ici sur y est cette coordonnées ici sur x donc qu'est-ce que ça va être l'appareil je vais considérer le triangle ici que je mets en rouge qui a un angle droit ici et je vais utiliser les caussinus et les sinus pour trouver les angles ici donc l'angle xx x ici donc la première coordonnées de demont vecteur ici qu'est ce que ça va être eh bien ça va être l'opposé ici donc ça va être le moins sinus d'état dans ce cas là - sinus d'état - sinus d'état ensuite je peux regarder à qu'est ce que c'est que le l'accord donné y de ce point là et bien là coordonnées y c'est cette fois ci la dja sens de l'anglais et a donc la jason lang le thêta ça va être costaud et à et c'est bien positif ici cost état et c'est bien positif donc oui oui ce que j'avais oublié de te dire ici c'est pourquoi est-ce qu'on a ce signe là négatif sinus l'état pour la première coordonnées ici de deux rotations de thêta ii 2 et bien parce que donc on asinus d'état et ça tu as compris pourquoi c'est parce qu'on à l'opposé sur les petits news ici on cherche en fait juste le côté opposé on cherche la valeur de ce côté ici là que je que je fonce ici en rouge et ça va être moins sinus d'état parce que ici on fait une rotation anti horaire et qu'on se trouve ici dans l'acte dans la partie négative de l'axé l'x tout simplement est ce qu'on a ici en fait non non c'est la matrice d'une rotation donc caussinus l'état - sinus était assistée tacos il s'était essayé de matrix là elle est très général puisqu'on n'a pas encore défini ici langue le thêta donc ça veut dire qu'on va pouvoir appliquer cette matrice là pour n'importe quel état pour ma rotation et donc on va regarder ce que ça donne avec un exemple un peu plus concret donc que je vais effacer tout ça on va juste garder notre matrice qu'on va effacer ça voilà voilà donc je vais juste récrire ici ce qu'on a donc rotation d'anglet état de x ça va être réglé à l'akwaba c'est égal ce que je t'ai dit tout à l'heure a à x ou à aa est égale à la matrice qu'on a pu trouver en dessous - sinus d'état est ici cos d'état x x ou xv est va avoir des coordonnées x yak voilà maintenant mettons qu'on définisse d'état est égal à 45 degrés alors que devient ma matrix et bien ma matrix va devenir ici donc je remplace justice it et à part 45 degrés et donc si je remplace par 45 degrés bien la valeur que je vais avoir ici ça va être racines de 2 sur 2 coast et à cause 42 cause de 45° sega la racine de deux sur deux 45 de réussite aussi puis sur quatre si tu préfères cité-etat de sin 42 45 degrés ça va être aussi est racines de deux sur deux donc ici - racines de 2 sur 2 racine de 2 sur 2 et x x y voilà et donc qu'est ce que ça veut dire avoir une rotation de 45° ben on va juste dessiné sa à la main pour te montrer ce que ça peut donner donc je vais juste dessiné un petit repère encore une fois voilà et cette fois ci on va dessiner les points là on va dessiner un carré donc mettons que j'ai j'ai un carré on va dessiner un carré ici à peu près à la main ouais c'est à peu près un quart et sa voix là et donc si je transforme les sommets de mon carré par cette matrice là qu'est ce que je vais avoir et bien ça veut dire que je vais transformer ce vecteur ici par 45 degrés donc ce vecteur là va se retrouver ici voilà donc par la rotation je vais transformer ce vecteur ici par 45 degrés donc le point ici va se retrouver ici je vais transformer ce vecteur la part 45 degrémont points se retrouve ici ou là je pense que tu commences à comprendre et pour le dernier est bien le dernier point se retrouver ici est donc maintenant il me suffit plus int j ai donc maintenant il me suffit juste de relier les au point que j'ai ici pour retrouver mon carré c'est à dire la transformation linéaire de de mon carré de départ voilà donc j'ai simplement fait une rotation ici d'angle 45° de montcaret donc tu vois que cette transformation va être assez utilisent d'ailleurs c'est assez sympa de pouvoir faire des rotations maintenant et tu vas voir qu'on va pouvoir aussi combiner les rotations avec des réflexions et c'est donc on verra ça dans des vidéos suivantes et même dans la vidéo suivante en fait on va regarder qu'est ce que ça donne d'avoir une rotation en trois dimensions autour d'un axe