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Rotation dans R3 autour de l'axe des x

Construction d'une rotation dans R3. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans la dernière vidéo on avait vu comment on écrivait les rotations de r2 dans r2 est là dans cette vidéo et bien on va étendre cette définition la ar 3 c'est à dire que cette fois ci est bien on va regarder roth de teta de r3 dans r3 donc une rotation en trois dimensions et donc forcément la rotation elle est un peu plus complexe en trois dimensions nous on va simplifier un peu en regardant ici une rotation autour de l'axé x donc ici ça ce sera une rotation autour de lax x c'est juste pour simplifier un petit peu dans ce qu'on a fait hier dans un premier temps c'est qu'on va dessiner un repère et regardez qu'est ce que ça veut dire avoir une rotation dax e x donc en fait ce que j'ai ici si ces aides ici c'est y ait ici c'est x donc ça veut dire que et bien si j'ai un vecteur qui est dans le plan y z donc voilà on vecteurs et que j'ai une rotation d'angle teta autour de l'axé hic c'est bien ça va me transformer mon vecteur ici en vert en ce vecteur là en orange toujours dans le plan y z et qui est à l'angle teta antihoraire parce que c'était comme ça qu'on avait défini la rotation dans la vidéo précédente là c'est toujours la rotation antihoraire donc d'angle d'état ici et mettons qu'on a un autre vecteur qui prennent ce point là ici donc qu'ils soient qui est de coordonner ici y ait ici de coordonnées x dans ce que tu vois en fait ici c'est que il a pour coordonner z et bien ce point là on va dire voilà et donc la rotation de ce vecteur là par l'angle teta et bien ça va être cette autre vecteur ici voilà qui va aussi avoir la même coordonnées x d'accord mais qui va avoir des coordonnées avec les aides différentes et ici on à l'angle d'état donc les rotations c'est dans ce sens là d'accord dans le sens antihoraire par rapport à x ici est donc ce que je voulais te montrer la main avec ses petits vecteur là c'est que une rotation autour de l'axé x fait qu'on ne change pas de coordonnées x pour le vecteur considérer mais on va revoir ça un petit peu plus tout à l'heure alors ce qu'on avait vu la dernière fois c'est que et bien les rotations c'était des transformations linéaire donc roth de thêta ii x6 et en dimension 3 d'accord dit mme 3 donc appartient j'aurais pu l'écrire comme ça appartient r3 directement ça c'est égal à à 2x ou à est une matrice 3 x 3 et donc la question qu'on se pose ici c'est comment on fait pour trouver à qu'est ce que c'est que et bien pour trouver à on va appliquer la transformation donc la rotation au colloque de la matrice identité du domaine de définition ici de ma transformation linéaire alors qu'est ce que c'est que l'identité dans r3 bien l'identité dans r3c 1 000 1 000 1 donc d un sur la diagonale des zéro partout ailleurs et ici eh bien chacun des vecteurs colonies si ce sont des vecteurs de la base de r3 donc eu un e 2,3 et la matrice à qu'est ce que c'est bien la matrice à sa première colonne c'est la rotation d'anglet état du vecteur un 0 0 ensuite sa deuxième colonne c'est la rotation d'anglet état du vecteur 010 et sa troisième la rotation d'anglet et a2 et bien 0,01 voilà donc il me suffit juste de calculer les rotations de ces trois vecteurs là pour trouver et bien ma matrice de transformation linéaire donc qu'est ce que c'est la rotation de 1,00 donc c'est à dire du vecteur unités ici ici je sais pas si on voit bien non le voilà donc qu'est ce que c'est que la rotation de ce vecteur à la ce que tu vois ici c'est qu'en fait si et bien je fais une rotation dans le thêta autour de la ixe et xe de saab et ce vecteur elle va juste pas bougé puisqu'il est sur l'axé x donc en fait il va pas bouger c'est à dire que rotation de teta de 1,00 ca fait et bien un 0 0 voilà maintenant rotation teta 2 010 qu'est ce que c'est donc je me destinais un petit repères ici alors voilà mon repère ici je vais avoir l'accès est difficile axes d y est donc 010 qu'est ce que c'est c'est ce vecteur ici voilà et l'axé des x et donc ici verne et donc si je fais une rotation d'angle le thêta eh bien je vais avoir ce vecteur ici voilà avec cet angle là qui vaut d'état est là et bien comment je fais pour trouver les coordonnées de ce vecteur là eh bien je vais faire exactement la même chose que dans la vidéo précédente pour trouver les coordonnées z et igac c'est à dire que ici je vais voir que ce triangle que je dessine ici en verre est un triangle rectangle et que donc la coordonnées y ça va être ce bout-là et l'accord donné z ça va être ce sept longueurs ici donc qu'est ce que c'est que y ici et bien y ce que je vois c'est que ici celle adjacent à l'état donc ici et bien si celle adjacent je vais juste appliqué donc le cosinus qui me dit que caussinus d'état c'est égal à et bien ma coordonnées y donc adjacent sur l'hypoténuse l'hypoténuse qui vaut un ici puisque c'est le vecteur unités donc la coordonnée rex et costes et à costes et a maintenant pour l'accord donné deux aides et bien là coordonnées de z sept longueurs là c'est la même que sept longueurs à c'est-à-dire la longueur qui opposé à l'angle donc il me suffit juste d'appliquer le sinus et sinus d'état qu est ce que c est bien sinus et assez z sur l'hypoténuse qui vaut à encore une fois donc z est égal à sinus d'état maintenant qu'est ce que c'est que la coordonnées x est bien là coordonnées y ce que j'avais dit tout à l'heure c'était qu'elle ne changeait pas par rapport aux vecteurs donc quand on fait une rotation autour de l'axé x en fait on ne change pas la coordonnée de x c'est à dire qu'ici ça reste 0 maintenant si je fais une rotation d'anglet état du vecteur 001 donc pour ça eh bien je vais refaire mon petit dessin donc je vais juste effacer celui là pour avoir un peu plus de place voilà donc je vais redessiner un repère le voilà on va faire ça comme ça et donc ça c'est mon axe zeiss et mon axe y ici et maintenant ce que je vais dessiner c'est le vecteur voilà qui vaut 0 01 et sa transformé par la rotation donc par la rotation est bien ce vecteur va se retrouver ici voilà et ça c'est l'angle d'état donc comment je fais pour trouver les coordonnées z et y de ce vecteur là et bien là coordonnées z ça va être cette longueur là ici que je redessinant rouge et la coordonnées y ça va être cette longue ici donc je vais commencer par là coordonnées y donc qu'est ce que c'est que la coordonnées y ici bien cela coordonnées grec c'est ici c'est l'opposé à l'angle teta donc ça veut dire que ces sites état mais comme eh bien je fais une rotation antihoraire ici je me retrouve du côté néo natif d y ça va être moins sinus d'état et maintenant qu'est ce que c'est que la coordonnée z est bien là coordonnées zi6 celle adjacente c'est la longueur à adjacente à l'angle teta donc ça va être ici et bien ça va être costaud et à costa et l'accord donné xxi bien ce qu'on avait dit tout à l'heure c'était qu'elle ne changeait pas par rapport aux vecteurs donc voilà ma matrice de rotation en trois dimensions autour de la cx donc je vais écrire ici donc rotation d'angle thêta ii x c'est donc égale a acquis et cette matrice fois un vecteur x en trois dimensions est ce que tu peux voir ici c'est qu'en fait cette matrice de rotation là en fait elle ressemble à la matrice de rotation dans et r2 est en fait c'est assez normal puisque est bien quand on fait une rotation autour de la ixe et xe et bien on est dans le plan z y donc on est dans un plan donc c'est normal que ça ressemble à une matrice de rotation dans r2 encore une fois ça c'est un cas spécial de rotation c'est à dire que toutes les rotations trois dimensions ne s'écrivent pas de la même manière tu peut dériver par toi même la matrice d'une rotation autour de l'accès y est l' axe des aides tu vas voir que ça ressemble assez fortement à ça et pourrait bien effectuer d'autres rotations en trois dimensions ce qu'on pourra faire par la suite ses combinés et bien une matrice de rotation autour de l'axé x une matrice de rotation autour de l'ex y ait une matrice de rotation autour de l'axé z et on verra qu'on pourra avoir des rotations plus + customiser mais on aura donc l'occasion d'en reparler un peu plus tard