im(T) : Image d'une application

donc dans la vidéo précédente ce qu'on a vu c'est que on a eu l'intuition de ce que c'était que l'image d'un sous espace par une transformation linéaire et on a eu cette intuition la géométriquement donc ça c'était assez sympa ici ce qu'on va faire c'est qu'on va essayer de généraliser sa un espace am dimension donc juste avant de généraliser ça je voulais juste rappeler un petit peu ce qu'on ait donc on avait pris dans la vidéo précédente une transformation qui va de r2 dans r2 et on avait donc un triangle qu'on avait dessiné qu'on avait dessiné ensemble et ce qu'on avait vu c'est que l'image de ce triangle partait ça nous donnait un autre triangle qui étaient vains d'efforts mais d'une autre manière quelque chose comme ça voilà et donc cette image ici donc c'était l'image est bien de mon souhait ce passe ici le triangle représenter partait donc c'est à dire que si j'appelle ici mon souhait espace le petit triangle ici ça eh bien c'était l'image de mon triangle par t donc voilà maintenant ce qu'on va essayer de voir c'est qu'est ce que c'est que l'image d'un sous espace vectoriel dans le cas général est ce qu'on va faire c'est qu'on va on va appeler v1 sous espace donc un sou espace vectoriel de rn donc ça c'est le cas général et si tu te rappelles et bien des vidéos précédentes et bien un sou espace vectoriel s'est défini par deux conditions de propriétés importantes la première propriété c'est de dire que si j'ai un vecteur à est un vecteur b qui appartiennent à mon espace vectoriel et bien ça ça veut dire que la somme de ces deux vecteurs appartient aussi à l' espace vectoriel et la deuxième propriété c'était de dire que eh bien si j'ai et bien donc un vecteur à qui appartient à v et bien n'importe quel scalaires x ce vecteur à va aussi appartenir à v c'est pour ça qu'on dit qu'un sous espace vectoriel est stable par combinaison linéaire ici donc mettons que cette fois ci au lieu d'avoir une transformation de r2 temps et r2 et bien j'ai une transformation qui va 2 est reine dans et bien r m donc tu es tu es de v qu'est ce que ça va être très bien tu es devait ça va être l'image de v par ma transformation lean et rtl c'est exactement la formulation qu'on a fait avec ce petit exemple là c'est juste que j'ai retranscrit ça dans un cadre beaucoup plus général en parlant est bien ici de r n est une question qu'on peut se poser c'est si tu es de v est ce que c'est un espace vectoriel est-ce que et un sou espace vectoriel donc ça c'est une question qu'on peut se poser donc comment est ce qu'on fait pour savoir si ça c'est un souhait espace vectoriel et bien on doit savoir si et bien ces deux propriétés ici sont vérifiées donc c'est à dire que si gt2 a été de b qui donc appartiennent à t2 vs que et bien la somme de ces deux de ses deux deux t2a et de tde b appartient aussi à v eh bien on peut tout de suite utiliser cette propriété là cette première propriété là pour déduire ça puisque ici je sais que vous êtes un sou espace vectoriel donc si a et b appartiennent avais je sais que a + b appartient avait donc ici qu'est ce que ça me fait bien ça fait que tu aies de a + b appartient aussi à v par définition donc ça ça c'est cadeau donc c'est tant mieux donc voilà maintenant pour la deuxième propriété ici donc je sais que bien t2a appartient à des devez juste par définition puisque t2a est une nuit l'image du vecteur à part- et je sais d'après la définition de l'espace vectorielle que ces deux appartient avait donc ça veut dire aussi que eh bien tu es de c2a va aussi appartenir à vie par définition donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que tu es devait et l'image devaient par t&t devait est aussi un sou espace vectoriel est aussi un sou espace vectoriel voilà donc voilà ça c'est une définition assez utile c'est que tu sais que c'est bien la transformer d'un vecteur par une transformation donc linéaire pardon la transformer d'un sous espace vectoriel par une transformation linéaire est aussi un sou espace vectoriel et maintenant on fait ce qu'on veut savoir ici c'est qu'est ce que c'est non pas la transformer et bien dans ce musée se passe ici mais qu'est ce que ça va être la transformer 2 to et rennes donc c'est ça pour va regarder ensemble donc je vais effacer juste ça pour le moment et donc là seront va regarder c'est qu'est ce que c'est que et bien qu est ce que ça va être que la transformer non pas de v mais cette fois ci la transformer 2 et rennes qu'est ce que c'est que ça on peut être que c'est bien de faire un petit graphique ici donc mettons que j'ai mon espace rn ici voilà donc ça c est reine et de l'autre côté ici et bien je vais avoir je ne sais pas - mrm est en fait tous donc qu'est ce que ça veut dire ça ça veut dire que ici on veut on veut prendre tous les points 2 de tous les vecteurs de rn les transformer de tous les vecteurs de rn donc c'est à dire que c'est tes 2 x potus x appartenant à rld je prends tous ces vecteurs là je les transforme partez et qu'est ce que je vais avoir eh bien je vais avoir et bien une portion de cet espace ici dans here est d'accord donc ça qu'est ce que c'est bien ça c'est t2rs donc ça c'est l'image l'image de rn par donc ça ces images images de rn par des haies en fait on simplifie un petit peu cette cette notation ici enfin cette notation 7 cette définition est dit en disant que ça et bien en fait c'est l'image de thé puisque ici en fait ça concerne tous tout l'espace vectorielle 2 et rennes donc ça en fait ça c'est l'image l'image de thé l'image de ma transformation maintenant on va voir une notation intéressante si on reprend et bien l'écriture matricielle des transformations linéaire donc juste effacer ce dont j'ai pu besoin ici voilà donc ce qu'on avait vu c'est que et bien une transformation linéaire peut s'écrire à l'aide d'une matrice donc site et une transformation les nerfs je peux l'écrire comme étant et bien le produit d'une matrice à et d'un vecteur x voir et donc qu'est ce que c'est que et bien donc mettons que tu es ici est défini de r and an rm est ici bien je me prouve je veux savoir qu'est ce que c'est que l'image de rn par t c'est à dire en fait ce que je veux savoir c'est qu'est ce que c'est que l'image de thé et bien l'image de thé ici qu'est ce que c'est bien je peux reprendre exactement la même notation en forme d'ensembles ici donc c'est l'ensemble des x pour tous les x appart à rl d'accord donc ça qu'est ce que c'est bien ah ah c'est donc une matrice qui a pour colonne a1 a2 a3 et cetera et cetera à n voilà et donc ça je la multiplie par un vecteur qui a donc une dimension du x1 x2 et cetera et cetera x n donc le produit de cette matrice et des vecteurs ça va être la combinaison l'inr à un x1 plus à 2 x 2 plus et cetera et cetera à nxp n est donc ce que cette notation là nous dit c'est que cet ensemble là c'est tout ces combinaisons linéaire possible pour tous et bien pour tous x tous les petits tics si si différents c'est à dire que en fait leur l'image de thé ici qu'est ce que ça va être très bien ça va être l'ensemble des combinaisons linéaire des colonnes de as moi je vais l'écrire donc ici ça c'est la même chose que de dire que c'est ensemble des combinaisons linéaire des colonnes 2 ça veut dire que c'est le souhait espace qui est formée par les colonnes en d'autres termes si on reprend la notation que tu as dû voir avancer vectes 2 est bien à 1 à 2 à 3 etc etc pardon ici en fait j'aurais dû dire que c'était c'était des vecteurs ici bien sûr voilà je les oublie toujours voilà donc tout ça sont des vecteurs à 3 à m voilà donc le sou espace formé par les colonnes de as c'est en fait l'image de thé et tu vas voir que ça ça va nous être très utile par la suite