If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Aller plus loin sur l'addition de matrices et la multiplication par un scalaire

Aller plus loin sur l'addition de matrices et la multiplication par un scalaire. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on avait vu qu'on pouvait définir l'addition de deux matrices à partir de deux transformations lieder et on avait défini deux transformations linéaire s2r haine dans rm et une autre transformation linéaire t ça c'est un petit m qui va aussi de rn dans r m et donc on avait défini l'addition de ces deux transformations donc de la manière suivante c'est à dire qu'on avait regardé qu'est ce que c'était que s plus tu es 2x et s plus t2i ce qu'on avait vu c'était que c'était stx plus eh bien tu es 2 x en d'autres termes ce qu'on avait vu c'est que eh bien cette transformation la ici s plus t c'est donc aussi une transformation linéaire puisque c'est la somme de transformation linéaire ici et on a 7 7 7 transformations l'a donc s plus tu es c'était aussi donc une transformation linéaire de rn dans r m et pourquoi et bien parce que petit hic si si le vecteur x c'est un vecteur de r n est ici et bien s 2 x et t2 x ce sont des vecteurs de rm puisque j'étais fini mais transformation linéaire de cette manière là et quand on ajoute deux vecteurs de rm et bien on a un autre vecteur de rm donc s plus t&d fini de rn dans r m et donc on sait aussi que toute transformation linéaire peut être représentée par une matrice c'est à dire que s 2 x c'est égal à à 2x ou et bien à est la matrice de la transformation lean rs2 la même manière on peut d filière thé à partir de sa matrice c'est à dire que tu es 2 x c'est égal à b 2 x alors a et b ici sont toutes des toutes les deux des matrices m x n donc m lignée ème colonne pourrait bien les dimensions de l'ensemble de définition et de l'ensemble d'arriver ici et donc on avait défini que l'addition de deux matrices donc si je change de couleur parce que ça c'était important de l'addition de deux matrices donc a + b sachant que ces deux matrices là ici on l'a même mêmes dimensions d'accord même dimension elles sont toutes les deux des matrices m x n est bien on avait vu que l'addition de deux matrices ça pouvait s'écrire comme si on additionnait et bien les colonnes une à une c'est à dire qu'on additionne la première colonne de avec la première colonne de b la deuxième colonne de avec la deuxième colonne de b et c donc 6 à 1 ici représente la première colonnes de as et bien je lui ajoute le vecteur puisque la clé colonnes ici sont donc des six omlt des vecteurs le vecteur b1 qui est donc la première comme 2b ensuite donc ça c'est ma première colonne ici de a + b et la deuxième colonne ici de la matrice a plus baissé donc à 2 + b 2 et ensuite et cetera et cetera jusque la dernière colonne qui va être donc à n + b n est donc c'était comme ça qu'on avait défini l'addition de deux matrices et on attend à parvenu en fait à cette définition là parce qu'en fait si et bien ici je retourne à mes transformation lignières ici si je vais cris j'écris donc s 2x plus tu es de xcom j'ai eu ici c'était exactement la même chose que d'écrire a + b 2 x ici donc c'était grâce en fait à cette écriture là qu'on est arrivé à 7 à cette étape-là bon tout ça donc c'était assez abstrait et on peut regarder qu'est ce que ça donne avec des vrais matrice ici donc regardons ce que ça donne si j'ajoute donc je vais écrire ça ici si j'ajoute deux matrices si j'ajoute la matrice 1 3 - 2 4 avec la matrice 2 - 3 7 et 1 1 - 1 alors comment est ce que je fais ça et bien ce que j'ai dit tout à l'heure c'est que il me suffisait d'ajouter la première colonne de la première matrice avec la première colonne de la deuxième batterie c'est à dire que j'ajoute ce vecteur là à ce vecteur là donc ça qu'est ce que ça va me faire eh bien ça va me faire un + 2 3 - 2 - 3 - 5 ensuite je peux faire la même chose pour la deuxième colonne donc j'ajoute 3,4 le vecteur 3,4 au vecteur 7 - 1 donc 3 + 7 qu'est ce ça me fait ça me fait 10 4 - 1 ça me fait 3 et donc voilà ma matrice résultante la matrice de l'addition de cette donc ça c'est là la première chose qu'on avait vus c'était la définition exactement qu'on avait vu en fait on peut remarquer que eh bien ce qu'on a fait ici c'est qu'on a juste ajouté chacun des coefficients 1 1 c'est à dire que on a gardé donc si je prends un coefficient dans une position donnée donc c'est à dire ce1 ici dans cette position première ligne première colonne jeu la joute à haut coefficient de la première ligne les premières colonnes de la deuxième batterie c'est je vais ça pour tous les coffee donc en d'autres termes on peut réécrire l'addition de deux matrices donc de la façon suivante j'ai juste ici effacé un petit peu tout ça pour qu'on y voit plus clair et réécrire ma deuxième ma deuxième définition donc voilà voilà alors donc si je définis à comme étant la matrice à 1 1 et cetera et cetera am1 donc ça c'est le co le premier coefficient de la première ligne et de la première colonne donc premiers chiffres oublie pas assez la ligne deuxième succès la colonne donc i am ligne en tout donc c'est pour ça que j'arrive ici à m et ici donc en deuxième je vais avoir à 1 2 donc première ligne 2e colonnes et cetera et cetera jusqu'à ah1n1 une colonne est ici en diagonale je réussis à la voir à la fin à m n donc ça c'est comme ça que j'ai fini ma maîtrise à emma matrice b ça va être très bien la même chose ici puisque en fait elles ont les mêmes dimensions seulement je vais utiliser des coefficients petit b donc je vais avoir b11 jusqu'à bm un b12 et cetera et cetera b1 haine et en diagonale dmn voilà donc j'ai défini ces deux matrices là et donc l'addition des deux matrices que je t'ai dis c'est que eh bien il suffisait d'ajouter les coefficients un an donc à puce becker ce que c'est en fait et ben a + b c'est le premier coefficient 2 a plus baissé à 1 1 + b 1 1 le deuxième coefficient ici sur la première colonne c'est à 2 1 + b 2-1 et caetera et caetera et sur la dernière ligne ici eh bien ce sera à m un plus b m donc ça c'est ma première colonne si je vais jusqu'à la dernière colonne ici qu'est ce que je vais avoir et bien je vais avoir à 1 n + b 1 elle est ici le dernier coefficient de la dernière cola ça va être donc à mm plus bmn voilà donc ça c'est une deuxième manière de noter l'addition de deux matrices et une manière un tout petit peu plus complexe parce qu'il faut pas s'embrouiller dans les coefficients ici mais c'est exactement la même chose que j'avais ici en rose et qu'on avait vu la dernière fois donc maintenant qu'on a vu l'addition de deux matrices et bien ce qu'on va regarder c'est la multiplication par un scalaire donc je vais effacer tout ça pour pour faire de la place pour qu'on puisse parler de ça tout simplement alors voilà donc la multiplication par un scanner ce qu'on avait vu la dernière fois c'est que la matrice ses thés ou c est un scalaire et thé et donc la transformation que j'avais défini avant si cette transformation lean est donc ce qu'on avait vu la dernière fois c'était que la transformation linéaire c'était qui est un scalaire x la transformation lean r d de x ça c'était la même chose que si je multipliais c'est par la transformation lean et rtx voilà et donc ça c'était exactement la même chose est ce qu'on avait vu c'est qu'on avait défini la multiplication d'une matrice par un scalaire donc mettons que j'ai une matrice aja multi fille pascale rc on avait défini que c'était comme multiplier chacune des colonnes de as part c'est donc j'avais la première colonie 6 pc à 1 la deuxième colonne ce serait c'est à 2 et cetera et cetera jusqu'à c'est à n ici voir là donc ça c'est ce qu'on avait vu là la dernière fois et donc pourquoi on avait vu ça et bien parce qu'on avait vu que donc citer pouvait s'écrire donc ce que j'avais mis tout à l'heure c'est que tu es 2 x c'était la même chose que b 2 x donc si tu es peut s'écrire à partir de la matrice b puisque c'est une transformation linéaire et bien on avait vu que ces deux t2 x donc ces deux t2 hic c'est la même chose que c'est deux baies de x ici et que ça eh bien c'était la même chose que cb 2x donc ça c'est ce qu'on avait vu la dernière fois c'était de la manière dont on était arrivé à cette définition là maintenant on va voir un exemple parce qu'encore une fois ça c'était assez abstrait mettons que j'ai la matrice à 1 - 1 2 3 sets à 0 donc ça c'est 1,3 mal fait voilà et cette matrice la gela multiplie par 5 donc qu'est ce que ça va faire eh bien je vais multiplier par cinq la première colonne ici donc je vais avoir donc ce premier vecteur la donges avoir ici 5 va voir disent ici je vais avoir cinq fois cette trente cinq jeux à voir ici cinq fois moins 1 ça va me faire moins 5 je vais avoir 5 x 3 15 et 5 x 0 0 donc voilà la matrice les résultantes ici est ce qu'on peut voir là c'est que en fait on peut encore une fois écrire c2a donc la multiplication d'une matrice par un scalaire différemment ici puisque je peux aussi revoir que c'est comme si je multipliais le scalaires sur chacun des coefficients de la matrice donc en gros c'est de là qu'est ce que c'est aussi c'est quoi une autre écriture pour ces 2 1 et bien c c 2 à 1 1 c'est 2 à 2,1 et cetera et cetera c'est 2 à m 1la ici c2a n 1 est ici en diagonale c'est 2 à m n voilà donc multiplier une matrice par un scalaire c'est comme multiplier chacun des coefficients par le ska l'air voilà donc j'espère que c'est un petit peu plus clair pour toi c'est juste une manière un peu différente d'écrire des choses mais ça change donc rien foncièrement et si c'est pas clair hésite pas à re regarder la vidéo