If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Exemple d'antécédent et de noyau

Exemple avec l'antécédent d'un ensemble par une application. Définition du noyau d'une application. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

donc dans cette vidéo ce qu'on va voir c'est comment on trouve l'image inverse d'un sous-ensemble de l'espace d'arrivée d'une transformation lean et est donc pour ça et on va partir d'une transformation linéaire simple tu es qui est défini de r2 dans r2 et qui est définie par et bien la matrice suivante c'est à dire 1 3 ce2 6 multiplier donc pas un vecteur de r2 et donc ça et bien donc cette transformation donc va de l'espace r2 dans r2 donc voilà l'ensemble d'arriver ici et donc associe chaque chaque victor de r2 barras vecteur de r2 et maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va définir un sous-ensemble de l'espace d'arriver donc un sous-ensemble de r2 qui va être est ce composé de deux vecteurs le vecteur nul 0-0 et le vecteur 1 2 donc j'essaie deux vecteurs la kiss on est bien dans mon espace d'arriver donc voilà 0 0 et voilà 1 2 est ce que je veux savoir c'est donc qu'elle est l'ensemble des vecteurs dans le domaine de définition donc ici qu'elle est l'ensemble des vecteurs ici qui sont associées aux vecteurs de s en gros ce que je veux trouver ici c'est ce qu'on a appelé dans une vidéo précédente l'image inverse de thé ici l'image inverse de s partez et donc ça c'est égal à et bien c'est l'ensemble des x dans r2 tels que et bien tu es 2 x et hey hey al pardon appartient à s donc ça bien c'est la même chose que de dire eh bien que c'est l'ensemble des x qui appartiennent à r2 tels que à 2x est égal à 0 0 ou à 2x est égal à 1 2 qui sont les donc les deux vecteurs qui composent ont sous-ensembles ici est-ce donc comment on fait pour trouver l'ensemble des x il nous suffit juste de résoudre ces deux équations c'est-à-dire ax et des galas 0-0 et ax est égal à 1,2 donc on va le faire ensemble ici donc à x est égal à 0 0 donc je reprends ma batterie ça c'est égal donc c'est la même chose que de résoudre cette cette équation ici donc x1 x2 est égal à 0 0 voilà et mon autre équation c'est donc de résoudre la matrice x un vecteur x x1 x2 qui est égal à 1 donc voilà il me faut résoudre ces ces deux équations ici et donc pour résoudre ça on va on va juste faire un pivot de gosses comme on a l'habitude de faire pour résoudre ces matrices là et les transformer nous les réduire en fait à leur forme échelonnés pour avoir les coefficients x1 et x2 donc on va le faire là tout de suite ensemble donc ici c'est la même chose donc que donc je le mets sous une forme échelonnés pour qu'on y voit plus clair ici donc je suis en train de résoudre ça de ce côté là pour cette première équation je les faire les deux en parallèle ici voilà de ce côté là pour cette deuxième équation est donc donc ce que je vois ici c'est que eh bien ma deuxième ligne c'est ces deux fois ma première ligne ici donc je peux l'éliminer totalement donc en fait si je fais ma deuxième ligne moins deux fois ma première ligne je l'éliminent totalement ici donc j'ai j'ai ici je hais 0 0 et donc de l'autre côté bien jouer 00 mais ici ça m'arrange bien puisque j'ai donc j'ai donc un an premier coefficient ici donc c'est un pivot parfait c'est très facile à faire pareil de l'autre côté ce que je vois ici c'est balle c'est la même chose donc c'est cette ligne là c'est donc je peux donc l'éliminer éliminer ce coefficient la part en enlevant deux fois la première ligne est donc cette fois ci il va me rester ici donc alors je vais avoir un 3-1 en eau et donc j'en enlève deux fois la première ligne donc je fais 2 bat moins deux fois zain donc il me reste encore une fois se déroule ici est donc ici ce sera aussi 0 donc là j'ai presque fini donc là je te rappelle juste que eh bien cette première colonne là elle est donc associé à x1 donc ici pareil un x1 et que la deuxième colonne ici donc je prends une autre couleur que j'ai pas encore utilisé voilà et bien ça c'est associé donc à x x 2 est ce que je vois ici c'est que et bien dans ce cas là le coefficient x 2 x 2 en fait ça peut être n'importe quoi et on dit donc c'est une variable libre c'est une variable libre donc ça veut dire que je peux fixé sa valeur par exemple je peux dire que x 2 est égal à téter appartenant à air et donc avec cette valeur là je vais pouvoir résoudre pour x1 est donc la première équation ici me donne que x 1 + 3 x2 est égal à zéro donc ça en fait ça me donne que x1 plus 3t est égal à zéro et que donc x1 est égal à - 3 t pour la 2ème équation ici en violet au début j'ai x1 + 3 x2 est égal à 1 donc ça vient de cette première ici et donc je remplace x2 partez j'ai donc x1 plus 3t est égal à 1 et donc je résous pourri serein ça me fait xo-1 est égal à 1 - 3 t donc voila mais de résultats ici donc on va bien on va faire un petit peu de place pour éclaircir un peu tout ça et voir ce qu'on en fait donc de quoi j'ai pu besoin mais j'ai plus besoin de tout ça en fait on va dire que j'ai pu besoin de ça je vais enlever ça en eau voilà voilà donc je vais écrire mes résultats ici donc pour ce résultat-là ici envers ce que ça veut dire c'est que x1 x2 est égal à ct gala contre quoi eh ben j'ai vu que x1 est égal à -3 tx2 et et galatée donc je peux factoriser partait donc x1 donc il me reste moins trois ans au et un en bas donc voilà pour mon premier résultat est pour mon deuxième résultat donc ici en violet et bien j'ai x1 x2 donc x1 x2 c'est égal à thé et x est égal à 1 - 3 tu es donc je peux factoriser aussi partait ici et avoir moins 3 pour x1 est un pur x2 mais il me reste un coefficient ici meresse le 1 pour ericsson donc ce que je peux faire c'est que bien je peux rajouter juste un pour 10 1 et 0 pour x2 donc voilà c2c de ces deux ensembles ici sont les ensemble des solutions de en fait ça représente ici linverse linverse de l'image de s par teddy différemment l'image inverse de s partait de bon ce sont tous les points qui sont définies par ces de ces deux résultats et donc on peut essayer de représenter sa ensemble voir ce que ça donne donc je vais je vais essayer tout de suite de se représenter ça donc il va falloir encore que j'enlève un petit peu tout ce que j'ai là sur l'écran on va dire qu'on en a plus besoin pour le moment donc ça je et enlever pour qu'on puisse faire un repère et essayez donc de représenter ces vecteurs et ici donc voilà on va faire un repère super et maintenant on va placer nos points alors on va commencer par placer - le vecteur - troyes - un homme part dans -3 1 donc le vecteur - 3 1 c'est ce vecteur ici voilà c'est ce vecteur là donc ça c'est moins 3 1 mais ici c'est pas que le vecteur - 3 1 c'est tous les vecteurs qui sont en fait très bien qu'ils sont alignés avec -3 1 qui sont multiples 2 - 3 à 1 bis que tu es peut avoir n'importe quelle valeur donc en fait ça représente et bien cette droite ici cette droite qui est dirigé par le vecteur -3 donc maintenant si on regarde et bien l'autre l'autre ensemble de solutions ici donc c'est à peu près la même chose puisque tu vois que en fait le coefficient est si directeur de la droite va être le même puisqu'on retrouve ce -3 1 t ici ici mais il va être shift et vers la droite de 1 donc décaler vers la droite 2 1 c'est à dire que ça va être cette droite qui va passer par le point ici 1 0 donc je vais la trace et tout de suite on pieds parallèles à ma première droite à peu près ouais ça va pas être super parallèle ça qui est parallèle à ma première droite à peu près voilà donc c'est cette droite là en violet et donc pourquoi est ce qu'on a fait tout ça au final on a fait tout ça parce que et bien on voulait savoir quelles sont les vecteurs du domaine de définition donc gelé pu ici mais quels sont les vecteurs du domaine de définition de thé qui sont associées aux vecteurs de hesse qui sont 0 0 et 1 2 0 0 c'est ce point là et 1 2 c'est celui là hélas convient de montrer c'est que eh bien tout mais vecteur ici fin mine tous les points qui sont sûres cette ligne verte là dans mon ensemble de définition vont être associés à 0 0 donc tout ce qui est en verre ici m associe à 0 0 et tout ce qui en violet ici dans mon ensemble de définition va être associé à ce point-là 1 2 donc tous les points de l'ensemble de définition il ya quelque chose d'intéressant que tu peux voir ici c'est que c'est bien pour cette cette ligne verte tout les points tous les points de cette ligne vers sont associés au point ici 0 0 et en fait ça c'est un nom assez précis ça s'appelle le noyau c'est-à-dire que c'est tous les points tous les points x donc xx x appartenant à arn dans le cas général tels que thé 2x est égal à zéro dans rl et ça en fait cet ensemble cet ensemble là ça s'appelle le noyau le noyau donc ça c'est une définition importante qu'on va réutiliser par la suite