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Visualiser l'image et le noyau de la transposée d'une application linéaire

Lien entre le noyau de l'application transposée, le sous-espace engendré par les lignes ou les colonnes, et le noyau. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est visualiser tous les espèces vectorielle qu'on a défini dans la vidéo précédente et donc pour ceux ci est bien on va définir une application linéaire t qui va prendre en entrée x et qui va redonner à 2x la matrice à étant défini et bien de la manière dont je les définit dans la vidéo précédente donc la matrice qu'on voit ici en rose donc tu es est une application de r3 dans r2 est donc ce qu'on va faire c'est dessiné en fait ces différences ou espace vectoriel dans r2 et dans r3 donc on va avoir r31 domaine de définition est fière de mon domaine d'arriver ici donc je vais dessiner tout d'abord r2 parce qu'on va s'occuper d'eux r2 voilà et donc quelles sont les sous espace les sous-espèces vectorielle qui sont qui sont dans air de l'âme eh bien j'ai l'image de à qui est clairement inclus ici dans r2 et je vais avoir aussi et bien le noyau de la de la transposer de à qui va être inclus dans r2 donc on va dessiner c'est dessous espace vectoriel donc on va tout d'abord décidé dé signer ici le vecteur de -4 donc deux moins 4 ça nous fait ce vecteur ici est bien là et le souhait spassky engendrés par ce vecteur de -4 c'est cette ligne qui passe par le vecteur de -4 effectivement donc ça eh bien c'est l'image de maintenant si je veux que si je veux dessiner le noyau de la transformer 2 à mes appareils je vais dessiner le vecteur de 1 qui va être ce vecteur ici et ce vecteur là est bien le sous-espèce engendrés par ce vecteur là ça va être la ligne que je suis en train de dessiner ici donc ça c'est le noyau de la transposer 2 1 et l'as visuellement comme ça ce qu'on voit c'est que eh bien c'est de ces deux droites ici ont l'air d'être bien orthographe est donc une manière de vérifier ça c'est tout simplement et bien d'effectuer le projet jusqu'à l'air entre n'importe quels vecteurs de du qui fait partie et bien du noyau de la transposer 2a et n'importe quels vecteurs qui fait partie de l'image de donc on va définir ses lecteurs donc on va définir v1 qui est une constante c'est un x le vecteur de -4 donc clairement ce vecteur là il appartient à l'image à l'image de à d'accord puisque c'est n'importe quel multiples scalaires du vecteur de -4 et on va faire la même chose pour v2 qui va être aussi donc un vecteur de du noyau de la transposer de donc ça va être ces deux donc une constante x le vecteur de 1 et donc ce vecteur là il va appartenir donc au noyau de la transposer de donc maintenant eh bien j'ai plus qu'à faire v1 produits scalaires v2 donc vers un produit scalaires v2 ça fait c'est un vecteur de -4 produits scalaires ces deux 2 1 voilà donc ça c'est égal akwaba c'est égal au produit des constantes x le produit scalaires des deux vecteurs 2 1 voilà et donc ça ça nous donne quoi ça nous donne c'est un ces deux facteurs de 2 x 2 4 et plus moins quatre fois moins quatre ça nous fait bien 0 donc là ce qu'on vient de démontrer rapidement c'est que et bien le ici l'image de à et bien orthogonale au noyau de la transposer de à ça veut dire que je prends n'importe quels vecteurs ici qui appartient à l'image de a et bien son complément orthogonale va être dans le noyau de la transposer de a et on va pas le voir dans cette vidéo là mais c'est pas spécifique à ce cas ici avec cette matrice à la mais c'est ce qu'on va trouver en fait pour n'importe où n'importe quel matrice donc ça c'est un cas général mais on verra ça donc dans la prochaine vidéo bon donc voilà pourrait bien l'image de à et le noyau de la transposer de maintenant ce qu'on va voir c'est bien c'est qu'est ce qui se passe dans r3 est donc dans r3 il me reste quoi eh ben il me reste est bien ici l'image de la transposer 2a et le noyau de a qui sont tous les deux dans r30 alors qu'est ce que c'est que le noyau de à eh bien le noyau de ça on voit que c'est l'espace qui a engendré par deux vecteurs de dimension 3 donc à quoi ça ressemble et bien un espace engendrés par deux vecteurs de dimension 3 ça ressemble tout simplement un plan dans r3 on s'est un peu compliqué c'est un peu compliqué à dessiner donc je vais tout simplement ici et bien dessinés dessiner un plan donc ça c'est un plan dans r3 et puis je vais avoir et bien ces vecteurs à la mettons j'en ai un comme ça et j'en ai un autre comme ceci voilà donc ces deux vecteurs la définissent ce plan là non mais attends donc ça c'est bien c'est le je vais le mettre dans la même couleur juste pour être un peu consistants donc là c'est bien et bien ici le noyau le noyau de a maintenant si je regarde l'image ici l'image de la transposer de à qu'est ce que c'est et bien c'est l'espace qui est engendrée par un vecteur à trois dimensions donc ça va être une ligne dans r3 mais ce qui est intéressant à regarder ici c'est quelle est la relation de ce vecteur là par rapport aux vecteurs et bien ici du noyau de et donc ça peut ne pas être visible directement mais tu peux peut-être regarder attentivement pendant deux minutes et voir qu'en fait et bien ce vecteur là il va être orthogonale à chacun des deux vecteurs du noyau de à c'est à dire que si je fais ici vite fait donc je vais prendre juste une autre couleur si je fais ici 8 chf et le produit scalaires de mon vecteur le vecteur qui dirige l'espace l espace vectoriel ici donc 2 - 1 3 avec et bien un demi 1 0 qu'est ce que je vais avoir est bien ici j'ai 2 2 fois un demi donc ça me fait un ici - plus - 1 x 1 donc moins 1 et plus moins trois fois 0 ça me fait zéro donc ici je vais bien avoir zéro donc ce vecteur ici et organes à celui là est ce qu'il est orthogonale au deuxième vecteur majeur fait exactement la même chose produits scalaires avec le deuxième vecteur ici voilà donc trois demis 0 1 est donc ici je vais avoir quoi eh bien je vais avoir deux fois trois demis ça va me faire 3 - 1 x 0 au d'accord - trois fois moins 3 et donc ça eh bien c'est ça s'annule ici donc ce sera égal à zéro donc ce vecteur là et bien orthogonale aux deux vecteurs ici du noyau 2 a donc là en fait ce que ça ça ça montre c'est que n'importe quels vecteurs en fait du noyau de havas être orthogonale aux vecteurs on peut s'en persuader en fait de la même manière en faisant la même chose que tout à l'heure ici donc je peux très bien définir et bien et bien un vecteur qui fait partie du noyau de a donc si j'ai si j'ai par exemple et bien v1 qui appartient au noyau de avait un ça va être ça va s'écrire comment ça va s'écrire et bien un coefficient à foix le vecteur 1/2 1 0 plus un coefficient bêta un scalaire b voir le vecteur 3/2 0 1 et donc je vais avoir v2 qui va être égales par exemple c'est deux de moins en moins 3 et ce vecteur là eh bien il va appartenir à l'image l'image de la transposer 2 1 et donc si je fais le produit scalaires v1 v2 qu'est ce que je vais avoir et bien donc je fais je prends mon premier vecteur je vais tout réécrire un demi 1 0 + b 3/2 01 produits scalaires de ces 2 - 1 3 et donc ici je sais que le produit scalaires et distributif donc je vais pouvoir avoir le produit scalaires dont je te remonter je vais pouvoir avoir le produit scalaires de ça avec ça plus le produit scalaires de ceux ci avec ceci est donc ici on a déjà calculé en fait on n'est même pas obligé d'aller jusqu'au bout tu peux le faire par toi même mais ici on a déjà calculé que le produit scalaires de ce vecteur là avec ce vecteur là était égale à zéro et donc les constantes ne change rien puisque je multiplie n'importe quel constante par 0 ça me restera il me restera 0 et on a vu aussi que si je fais le produit scalaires de ces deux entités la en rose c'est égal aux 6 à 0 donc ce produit scalaires là va être vers un égal à zéro donc en fait non ici mon image de la transposer de à ça va être quoi bein ça va être un vecteur qui va être orthogonale orthogonale au plan voilà c'est un vecteur orthogonale au plan le plan étant est bien ici le noyau le noyau de a donc ça ça nous donne en fait des résultats très intéressants dans cette vidéo là parce qu'on voit en fait que et bien le noyau de aet orthogonale à l'image de la transposer de a et on voit que l'image de à et orthogonale à et bien le noyau de la transposer de a bien sûr ici on a montré ça pour un cas spécifique on l'a même dessiné ces différences et différentes espace vectoriel et dans la vidéo suivante on va montrer ça et bien pour le cas le cas général