rang(A)=rang(transposée de A)

donc dans une des vidéos précédentes on avait vu que et bien le rang d'une matrice à était égal au rang de sa transposer et ça on avait vu ça en fait pour un exemple en particulier et ce que je t'avais dit à ce moment là c'était que c'était vrai pour le cas général et donc dans cette vidéo et bien on va regarder pourquoi est ce que c'est vrai aussi dans le cas général alors qu'est ce que c'est que le rang d'une matrice transposer et bien le rang d'une matrice transposer c'est le nombre de dimensions du sous espace qui engendré par les colonnes de la matrice transposer donc c'est à dire c'est légal a dit mme de l'image de la transposer 2a et en d'autres termes ça c'est égal à quoi eh bien c'est égal on voit le et ça c'est égal à quoi et bien ça c'est égal au nombre de vecteurs au nombre de vecteurs de la base de la base de l'image l'image de la matrice transposer voilà et donc qu'est ce que c'est que l'image de la matrice transposer et bien c'est l'espace engendrés par les lignes 2 a donc ça en fait c'est la même chose que si je mets 10 mhz de vectes des lignes ligne 2 ah voilà c'est la même chose que ça va écrire un petit peu les matrices peut-être qu'on y verra un petit peu plus clair ici alors donc la matrice à ça va être une matrice am ligne et n colonnes et on va l'écrire on va l'écrire de la manière suivante donc je vais avoir ma première ligne l1 si je vais avoir ma deuxième ligne aile de etc etc elle aime voilà les lignes les vecteurs ligne de ea maintenant si je regarde la transposer 2a et bien la transposer dû à ça va être une maîtrise n fois m et donc ça ça va être égal à j'ai tout simplement et bien je j'ai inverse les lignes et les colonnes donc cette fois ci les lignes vont se retrouver en cologne donc ça va être la première colonne et l'un l'a transposé de l1 la deuxième colonne la transposer de l2 et cetera et cetera jusqu'à ici donc la transposer de l m voilà donc voilà ici donc matrice à et la transposer de donc qu'est ce que c'est que et bien l'image de la transposer de à et bien c'est tout simplement l' espace vectoriel qui est engendrée par les colonnes de la transposer de a donc vectes de l1 transporte aux poses l2 transposer cetera et cetera lm transposer voilà et donc ça c'est équivalent à l' espace vectoriel qui est donc engendré par les lignes 2 a donc les lignes 2 donc c'est quoi les lignes de passer ici l1 l2 elle aime et sait et c'est donc ici ce qu'on va faire c'est essayer de trouver et bien la base de l'image l'image ici de la transposer 2 1 et donc ça qu'est ce que c'est et bien ça va être l'ensemble minimum de vecteurs linéairement indépendant qui nous permettent de construire l'ensemble des colonnes de la transposer de rats c'est à dire l'ensemble des lignes de notre match et ça et donc pour ça et bien il suffit de mettre ça en fait sous sa forme échelonné puisque je peux aussi travailler donc sur les lignes 2 a ici donc qu'est ce que c'est que ça va être quoi la forme échelonné ici deux à et bien ça va être une maîtrise où il va y avoir et bien des lignes des colonnes pivot des entrées pivot ici donc par exemple ici je vais avoir une entrée qui vaut c'est à dire un coefficient nul ici et des zéro partout ailleurs mettons qu'ici j'ai une deuxième colonne pivot ici je peux mettre 1 2 je vais mettre 1 1 ce sera encore plus simple est que des zéro partout ailleurs ici donc ça c'est une deuxième colonne colonnes pivot ici et ici mettons que je n'ai pas de colonne pige lors je me retrouvais que avec des zéros et on va avoir une dernière ici par exemple voilà donc une autre une autre comme un pivot et des 0 après partout ailleurs donc ça eh bien ce serait une possible forme échelonnés pour a que j'ai j'ai l'aï ci définit arbitrairement dans ce cas là est donc comment est-ce que j'ai atteint cette forme échelonnés et bien j'ai fait des opérations sur les lignes et et on a on est arrivé à quelque chose comme ça donc ça qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que tous les vecteurs ligne de ea peuvent être représentées en fait ici par une combinaison linéaire des vecteurs ligne de la forme échelonnés et par définition ces vecteurs là sont linéairement indépendant donc pourquoi est ce que j'ai fait tout ça et bien on voulait trouver la base de l' espace vectoriel engendré ici par les miniers de a et donc en fait les lignes pivot que j'ai ici donc les lignes où il y a un coefficient pivot où il ya un pivot et bien ce sera une base pour l'espace engendrés par les lignes de à puisque et bien je peux exprimer n'importe quels vecteurs ligne de ea ici par une combinaison linéaire de deux ses lignes là donc ça ça va être une base pour l'espace donc ligne ok je vais le marquer donc nombre de lignes pivot donc où il y a un coefficient pivot donc au nombre de lignes pivot et bien base ça va former la base pour pour vectes des lignes de à des lignes 2 à voilà où de l'image de la transposer de à puisqu'on a vu plusieurs fois que c'était exactement la même chose voilà donc la dimension des lignes ici c'est quoi et bien c'est le nombre de lignes pivot donc qu'est ce que j'ai ici eh bien j'ai le rang de la transposer 2 1 qui va être égal au nombre de pivot nombre de pivot dans dans la forme donc la forme échelonnée donc je le marque juste comme ça forme échelonné de à maintenant donc on a le rang ici de la transposer de a maintenant on peut se poser la question c'est quoi ici le rend le rende à alors le rende à et bien c'est égal à la dimension de l'image de ah d'accord donc c'est le nombre de vecteurs de la base de l'image de a et donc on peut reprendre la matrice 1 donc on va on va juste effacés on va juste effacé un petit peu quelque chose ici on va effacer ce que j'ai mis en eau voilà voilà donc on peut reprendre la matrice à et écrire la écrire sous forme de vecteurs colonnes donc je vais avoir ma matrice à qui est toujours dans une matrice m x n mais au lieu d'une fois cette fois d'écrire et les lignes comme ici j'écris l'école donc je crie c1 c2 et cccn puisqu'il y a donc cette fois n colonnes donc qu'est ce que c'est que l'image de à et bien on a dit que c'est le souhait espace vectoriel engendrés par les colonnes de as donc c1 c2 jusque c'est elle donc si j'écris la forme échelonné des arts et bien je vous retrouver ici avec la même chose donc je leur écris juste ici - donc aussi on a une deuxième colonne pivot ici on a dit qu'on avait rien et on en avait une troisième et après on n'avait que des 0 voilà à peu près et donc qu'est-ce que ça va être que le rend le rende à ici est bien ici ça va tout simplement être le nombre de colonnes pivot puisque grâce à ces colonnes pivot je vais pouvoir et bien faire des combinaisons linéaire de ces colonnes pivot pour obtenir les vecteurs colonnes demain matrix a donc laurent darras est égal au nombre de colonnes pivot d'accord puisqu'elles vont constituer donc la base ici de l'image de l'image de l'image de a et donc le nombre de colonnes pivot c'est donc égal au nombre de pivot nombre de pivot donc de coefficient pivot dans la forme dans la forme échelonné de à et donc là on a quelque chose d'intéressant puisqu'on vient de montrer que le rende à est égal au nombre de pivot dans la forme échelonné de la et laurent de la transposer de à c'est égal au nombre de pivot dans la formule 1 est donc ici eh bien on a bien ce qu'on voulait montrer à la base c'est à dire que laurent deux matrices à est égal au rang de la transposer 2