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Image et noyau de la transposée d'une application

. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc j'ai une matrice a ici qui a deux lignes et trois colonnes donc on a vu on va d'abord faire quelques révisions et on va déterminer le noyau de à et l'image de a donc qu'est ce que c'est que le noyau de a ici eh bien ce sont tous les vecteurs de r3 qui satisfont l'équation suivante ax est égal à zéro ou 0 ici c'est le 0 2 r2 donc en d'autres termes si j'écris cette égalité ici donc je vais avoir ma matrice à que je réécris voilà x un vecteur quelconque x donc de coordonner x1 x2 est égal à quoi multiplier par un vecteur quelconque x2 r3 donc x1 x2 x3 est égal à 0 0 donc le vecteur un nul dans r2 et l'a donc ce qu'on doit faire c'est résoudre un système d'équations et pour ce faire on peut simplement et bien réduire la faim la matrice dans sa forme échelonnée car le noyau de havas être même que le noyau de la forme est échelonné ici puisque ici on fait l'égalité égal à zéro donc ça c'est quelque chose qu'on avait vu dans les vidéos précédentes donc je vais mettre à sous sa forme échelonné ici donc 2 - 1 - 3 - 4 2 6 donc je vais garder les héros ici de mon équation est donc la première chose ici que je vais faire c'est simplement simplifier un petit peu les lignes les lignes que j'ai ici donc je vais dit viser la première ligne par deux donc je me retrouve avec un moins un demi - 3/2 donc 0 / 2 s'adresse 0 ça c'est la ligne e 1 / 2 et pour la ligne 2 pour leur simplifier un petit peu et bien je vais je vais là divisé par quatre donc je vais avoir ici - 1 ici je vais avoir un demi et ici je vais avoir 3 2 me et 6 arrêts 16h donc là ce que j'ai fait c'est diviser l 2 par 4 donc maintenant je vais m je vais utiliser un pivot qui va être donc la première ligne ici donc je vais avoir un moins un demi ça ne va pas changer -3 2 me et 0 et je vais essayer de faire donc 0 / 7 / premier coefficient donc là il suffit tout simplement de faire et bien elles deux plus l1 donc je vais avoir un zéro ici mais je vois aussi 1 061 0,6 et 1,0 ici donc qu'est-ce qu'il nous reste ici est bien ici donc si je reviens à cette équation à cette équation à cette équation là j'ai dit que bien avoir le le noyau de la matrice à et le noyau de la matte la forme et flore et de la matrice à c'est la même chose donc si je reviens et bien à ça et bien je vais donc multiplier cette matrice là que je viens donc je vais multiplier cette matrice ici que je viens d'obtenir par mon vecteur x dont je vais avoir un moins un demi - 3/2 000 x le vecteur x donc x1 x2 x3 et ça je sais que ça va être égal à 0 0 et ça ça me donne quoi eh bien ça me donne l'équation suivante x1 - 1/2 2 x 2 - 3 demi de x3 est égal à zéro et cette ligne là bas ça ça m'intéresse pas du tout cette ligne ici puisque c'est une ligne de zéro absolu donc ça ne m'intéresse pas donc ça qu'est-ce que samedi bien samedi que tous les vecteurs qui satisfont et bien cette équation sont dans le noyau de là autrement dit ce sont tous les vecteurs x1 x2 x3 qui satisfont et bien là du coup je peux exprimer x1 en fonction de x2 x3 dont il serein c'est ce qu'on appelle mon pivot ici donc c'est x 2 x donc le vecteur 1/2 donc un pur il ce 2 0 et que ce soit + x 3 x le vecteur 3/2 3/2 0 et tu vois bien pourquoi ici parce que ici et bien x1 est égal à 1,2 me de x 2 plus 3/2 ii x3 donc c'est exactement ce que je retrouve ce que je retrouve ici donc je vais faire un petit peu de place voilà donc tout ça j'ai eu besoin de tout ça voilà donc qu'est ce que c'est que et bien le noyau de à eh bien le noyau de à ça va être l'espace vectorielle qui est donc engendré par les vecteurs 1/2 1 0 et trois demis 0 voilà voilà le noyau 2 a donc maintenant si je m'intéresse et bien si je m'intéresse à l'image de a donc l'image de hacker ce que ces images de à ckoi et bien c'est l'espace engendrés par les colonnes de as donc 2 - 4 - 1 2 et - 3 6 là les choses qu'on peut voir ici c'est que et bien facilement les il ya une combinaison linéaire possible puisque ici si j'appelle ce vecteur la v1 je l'avais 2 sur la v3 ce que je vois ici c'est que et bien deux v1 même -2 v1 est égale avait deux plus v3 donc ça qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire tout simplement que ici 7,7 ces vecteurs là ne sont pas linéairement indépendant je peux tous les exprimé juste en fonction avec fonction devient ici donc ça c'est la même chose en fait que leur espace vectoriel engendré et bien par v et donc quelle est la dimension ici de l'image de à bien la dimension de l'image de à je sais que c'est leur en dehors c'est le rang 2 à est donc ici et bien le rende à ça va être égal a donc maintenant ce qu'on va faire c'est regarder la même chose mais pour la transposer de a donc qu'est ce que c'est que la transposer de à et bien c'est une matrice à trois lignes et deux colonnes ça va être la matrice ici suivante de moins quatre mois 20 2 - 3 6 donc ça c'est la transposer de et donc mettons que je veuille calculer et bien le noyau le noyau de la transposer de a donc le noyau de la transposer de à ckoi et bien c'est tous les vecteurs de dimension 2 qui vérifie l'équation suivante ax est égal aux héros de cette fois ci dans r3 donc on peut faire exactement la même chose que tout à l'heure c'est à dire et bien trouver la forme échelonné de la transposer de a donc pour trouver la forme échelonné de la transposer 2a et bien j'ai cette matrice là ce que je vais faire c'est que je vais simplifiée ici chacune des lignes donc je vais ici diviser par deux la première ligne donc là ce que j'ai fait c'est l1 / 2 ensuite pour la deuxième ligne eh bien je vais aussi je vais gala garder telle qu'elle est donc ça je garde l2 et pour ici ma troisième ligne je vais là divisée par 3 donc si je vais avoir moins 1 et 6 / 3 ça me fait de comptage est divisée la ligne 3 partout donc maintenant je vais garder et bien la première ligne ici 1 - 2 et je vais annuler les coefficients ici de la première colonne et donc pour ce faire il suffit juste que je prenne la ligne 2 et que je lui ajoute la ligne 1 donc je vais avoir un 0 6 1 - 1 ici je vais avoir un autre 0 pour la ligne 3 je vais faire la même chose j'ajoute à la ligne 3 lines 1 et ça va me donner aussi des des 0 ici donc ça c'est la forme échelonné de mal à transposer de à et donc ce qui me reste ici et bien ce qui me reste si je reprends mon équation ici ax est égal à zéro donc je prends ma forme échelonné je vais avoir un moins-20 000 x le vecteur de dimensions de x1 x2 est égal à 0 0 et donc ça ça va me donner est bien la seule équation ici qui m'intéresse c'est la première ça va me donner x 1 - 2 x 2 est égal à zéro donc si je me fais un peu de place ici je vais enlever ses formes ses formes échelonnée voilà j'enlevais aussi ça je vais garder ça parce que je vais en avoir besoin là tout de suite alors qu'est ce que c'est donc que le noyau de la transposer 2a et bien c'est l'espace qui est engendrée par le vecteur 2 tu vois bien pourquoi ici puisque x1 est égal à 2 x 2 voies tout simplement donc voilà le noyau de la transposer d'heure maintenant si je veux calculer et bien l'image de la transposer de a donc l'image de la transposer de à sa caisse que c'est bien c'est l'espace qui est engendrée par ici les colonnes de as donc ça va être l'espace engendrés par 2 - 1 - 3 et -4 2 6 c'est cet espace ici alors je vais refaire de la place je pense que ça va être dur d'arriver jusqu'à la fin de cette vidéo sur ce même tableau alors voilà ceci alors maintenant est ce que ces vecteurs sont linéairement indépendant bas on sait tout de suite que non puisque ici on a une combinaison linéaire linéaire des deux vecteurs donc en fait ici j'ai là c'est la même chose que l'espace engendrés par le premier vecteur en ce qui concerne l'image est bien de la transposer de avait quelque chose d'intéressant et si à retenir c'est que l'image de la transposer de à eh bien je sais que donc ces gars-là l'espace des colonnes en l'espace engendrés par les colonnes de la transposer mais c'est aussi et galas et bien l'espace qui est engendrée par et bien les lignes les lignes 2 a donc de la matrice originale puisque ici est bien pour aller de avère la transposer de à tout ce que j'ai fait c'est l'inversé les lignes et les colonnes donc l'image de la transposer de à c'est l'espace vectorielle engendré aussi par les lignes 2 a donc voilà déjà une propriété importante maintenant en ce qui concerne est bien en ce qui concerne le noyau le noyau de la transposer de a donc je vais devoir refaire un petit peu de place encore une fois ici non maintenant si on s'intéresse au noyau de la transposer de a donc ça qu'est ce que c'est bien ce qu'on a fait tout à l'heure c'est prendre la transposer de a multiplié par un vecteur x et retrouver tous les x qui satisfont donc cette équation ici et d'ailleurs je vois que ici il y avait il y avait une faute ici c'était bien sûr à transpose dans l'équation du noyau que j'avais écrite plus haut donc si je fais ça que je prends la transposer ici de chaque côté ça me donne quoi eh bien ça me donne à la transposer de a multiplié par x le tout transposé et 0 transpose et donc ça qu'est ce que ça me donne eh bien ça ça me donne la transposer du vecteur x la transposer de à transposer elle même donc à directement est égal aux trans la transposer du vecteur nul ici donc quelque chose d'intéressant qu'on peut avoir là j'ai vraiment vraiment plus de place on va aller ici c'est que le noyau de la transposer de à c'est la même chose en fait que donc ici on avait écrit si tous les x tel que ax a transposé 2x est égal à zéro et bien ici on va avoir tous les x tel que tel que eh bien on l a transposé 2 x x à qui est égal aux vecteurs nul lecteurs nul donc ça en fait c'est quoi ça nous dit qu'on peut aussi trouver et bien le noyau de la transposer de là à partir de demain matrice à que j'ai ici alors bien sûr le noyau de à et le noyau de la transposer des arts sont très très différent puisque là ce que j'avais obtenu avec le noyau juste 2 à le noyau de à il est ici et c'est quoi et bien ça c'est un plan dans r3 alors que ici le noyau de la transposer de hacker ce que c'était et bien à ce que je les marque est ici je crois qu'il me le reste plus j'ai dû l'effacer mais le noyau de la transposer de ça il me semble que c'était l'espace engendrée par un seul vecteur de dimension 2 est donc une ligne dans air de ton qu'ils étaient très différents est ce qu'on peut regarder aussi c'est au niveau des images donc l'image de à c'était quoi et bien l'image de haas était donc l'espace ici engendrée par un vecteur de deux dimensions donc ces lignes dans r2 alors que l'image de la transposer de à et bien c'est c1 l'espace engendrée par un vecteur de dimension 3 donc c'est une ligne dans r3 donc ces espaces sont en tout très très différent va en reparler dans la vidéo suivante on va essayer de visualiser les noyaux et les images de d'une matrice est de 2 à transposer met donc on en reparlera au niveau de sa est aussi quelque chose d'intéressant qu'on peut voir ici c'est que la jav est déterminé donc le rang 2 a donc ce qu'on avait on avait juste appliqué la définition ici en disant que c'était la dimension de l'image donc ça devenait un ici est ce qu'on a ici si on fait la même chose c'est que laurent de et bien même matrice transposer à eva être égale aussi à 1 la dimension l'espace images ici mais c'est une chose que je vais pas te démontrer dans cette vidéo parce que ça commence à faire beaucoup mais c'est qu'en fait le rend leur en jeu le marquer juste ici vous j'ai encore un micro place que le rende d'une matrice à est égal en fait au rang de sa transposer ça on va on va le voir un peu plus en détail dans une des vidéos suivantes