Les produits matrice vecteur en tant qu'applications linéaires

donc dans cette vidéo et bien on va avoir un truc assez sympa puisque on va voir et bien à quoi ça ressemble une transformation linéaire géométriquement et donc pour ça et bien je vais commencer par prendre et bien trois vecteurs de r2 dont 1 0 qui est définie par les coordonnées -2 -2 donc qu'est ce que c'est que x 0 ici sur ma figure c'est ce vecteur ici voilà donc ça c'est x 0 ensuite je vais prendre un deuxième point je vais prendre x1 qui est définie par le point de coordonnées - 2 2 donc c'est ce point ici moins de 2 donc x1 et je vais prendre un troisième vecteur x2 qui est définie par les coordonnées de -2 donc ça va être ce vecteur ici x2 est ce que je vais faire à partir de là c'est que et bien je vais essayer de trouver l'ensemble des vecteurs qui définit les segments reliant chacun de ces points c'est à dire que je veux trouver l'ensemble des vecteurs par exemple qui me définit ce segment là ici en orange donc qu'est ce que c'est que ce segment là en orange donc moi je l'appelle l0 donc f0 ça va être quoi donc ce que je veux faire ici c'est pouvoir définir tous les points qui sont le long de ce segment là donc je peux se peut dire je peux commencer par x 0 puisque x 0 donc et sur ce point là et je peux dire bien à x 0 et bien on va ajouter cette distance est donc cette distance-là en entier qu'est ce que c'est ça c'est le vecteur x1 - le vecteur x 0 donc ça c'est cette distance là en entier et moi je veux pouvoir aller sur chacun des points ici donc en fait je vais paramétrer cette distance-là partait donc je vais ajouter à x 0 plus des 2 x 1 - x 0 et je vais restreindre t/t je vais restreindre sa a une valeur compris entre 0 et 1 je vais t'expliquer tout de suite pourquoi donc quand tu es est égal à zéro et bien cette quantité l'aï 6 nuls et ça veut dire que j'ai juste je suis sur le point la x 0 kanté est égal à 1 et bien ça veut dire qu'ici les x 0 ça nul et il me reste x1 donc en fait pour toutes les valeurs de thé comprise entre 0 et 1 ce que je vais faire ici c'est bien en fait allé sur chacun des points qui se trouvent sur ce segment ici en orange voilà donc c'est de cette manière là que je peux définir et bien en fait un bout de segments ou un bout de droite et maintenant on va faire ça et bien pourrait bien tout tous les vins mais tous les autres segments qui a ici donc par exemple si je m'occupe de ce segment ici entre x x 0 et x2 donc ça c'est l1 et donc l 1 qu'est ce que ça va être et bien de la même manière je peux dire je commence je pars ii x2 je pars de x2 et je pars à maîtrise mon segment partait en faisant ici et bien x 0 - x2 et en disant que t es limité aux valeurs entre 0 et ensuite je peux faire exactement la même chose pour le troisième ici et dernier segment celui qui a entre x1 et x2 qui relie ces deux points là donc ça c'est elle el2 obs voient la l2 est donc l 2 qu'est ce que ça va être si tu as bien compris ici et bien je pars de x1 d'accord je pars de x1 et je fais plus tu es et bien de quoi 2 x 2 - x1 et sté sera compris entre 0 et voilà donc ici et bien j'ai défini en fait les trois segments de ce qui semble ici être un triangle dans ce que je peux dire c'est que j'ai une forme donc j'ai une forme ici mon mon triangle ici mon triangle il est défini par et bien l'ensemble de ses trois segments l0 l1 et l2 donc la question que je me pose ici c'est eh bien comment je fais quelle va être la tête de ce triangle à si je transforme par une transformation linéaire et ça on va regarder ça tout de suite ensemble alors je vais faire un petit peu de place parce que là je peux en avoir beaucoup donc je vais juste garder la première équation ici et on reviendra sur le reste sur le reste après donc on va garder juste f0 alors voilà donc mettons que je définis une transformation linéaire est tu sais que les transformations linéaire et bien elles peuvent se définir par une matrice donc je vais définir monter ici tu es 2 x donc ça c'est une transformation par la matrice 1 - 1 2 0 x x et donc la question que je pose ici c'est qu'est ce que c'est que la transformer 2 f zero donc qu'est ce que c'est que tu es de l euro eh bien ça va être donc égale à l'ensemble dé transformer 2 x 0 plus tu es 2 x 1 - x 0 quand t es bien et restreint entre 0 et voilà hélas ce que tu vois c'est qu'on peut simplifier un petit peu cette écriture là en utilisant le fait que tu aies est une transformation linéaire donc cité une tribune transformation linéaire ça veut dire que la somme la transformation linéaire de deux vecteurs est égale à la somme des transformations des vecteurs l'a donc en fait je peut simplifier cette expression la part tes 2 x 0 d'un côté plus la transformer et bien de ce second terme et tu sais que tu étais ici est une constante donc je peux le sortir de la transformation linéaire c'est la deuxième propriété de la transformation linéaire et je peux aussi également ici simplifier cette soustraction ici puisque la soustraction c'est comme si c'était donc une somme donc à la fin et bien je me retrouve avec t facteur de thé cette fois ci la transformation x1 - la transformation de x 0 et kanté est toujours supérieure à 0 est inférieur un donc voilà je me retrouve avec 7 7 transformations ici ok très bien bon peut-être que tu es un petit peu de mal tout de suite à voir qu'est ce que ça nous donne ici donc manière peut-être plus simple de faire pour un début c'est de voir qu'est ce que c'est que la transformer 2 x 0 et qu'est ce que c'est que la transformer 2 x e 1 donc c'est ce qu'on va faire ensemble on va transformer x 0 alors qu'est ce que c'est que tu es 2 x 0 donc il me suffit juste de multiplier la matrice par le vecteur x 0 donc x 0 c - 2 - 2 donc si je multiplie cette matrice par le docteur et que zéro je vais avoir quoi et je vais avoir un poids moins deux donc moins de plus moins 1 fois moins deux donc donc ici je vais avoir deux donc moins de plus de est égal à zéro ensuite je vais avoir moins 2 fois 2 - 4 et - 4 + 0 points -2 et bien ça me reste il me reste donc moins 4 ici donc ça c'était 2 x 0 je vais tout de suite placé ça sur mon graphique donc 0 - 4 donc 0 - 4 ça nous amène ici et donc ça ce vecteur ici c'est la transformer du vecteur x 0 maintenant si je regarde la transformer du vecteur x1 la transformer 2 x 1 eh bien c'est la même chose c'est à dire c'est ma matrix 1 - 1 2 0 x le vecteur - 2 2 et ça ça me donne donc quoi ça me donne donc moins deux fois 1 - 2 - 2 donc moins deux plus - info à 2 - 2 donc ici - 4 et ensuite qu'est ce qui me reste ici c'est toujours moins quatre savent pardon ça fait moins 2 fois 2 donc moins 4 + 0 x 2 ça nous fait toujours moins 4 donc ça nous fait la transformer du vecteur x 1c le vecteur - 4 - 4 c'est à dire que c'est ce vecteur ici voilà ici donc ça s'est transformé de x donc voilà il transforme et de mes deux vecteurs maintenant si je reviens à la transformer de l0 donc ici qu'est ce que c'est que ce bazar ici donc la transformer 2 x 0 bien je sais que c'est ici donc c'est ce point là hélas ce que je fais c'est que je ajoute t donc qui est compris entre 0 et 1 2 t de x1 - t2 x0 qu'est ce que c'est que tu es 2 x 1 - t2 x 0 sur mon graphique ici alors est-ce que tu as une idée eh bien c'est ce ce vecteur ici c'est ce vecteur ici et donc je pars à maîtrise vecteur la part l'inconstante t est en fait qu'est ce que c'est que tout ce bazar live à tout ce bazar là ça va représenter tous les points possibles de ce segment ici que j'ai mis en range sa sé té de f0 donc qu'est-ce qu'on voit par rapport au premier graphique ici ce qu'on voit c'est que la transformer déjà d'une droite eh bien ça va être une autre droite donc la transformer linéaire d'une droite bien ça reste la transformer linéaire d'une autre droite et ce que je vois c'est que et bien vu que ma droite ici est entre les points x 0 et x1 la transformer va être entre les transformer des points x 0 et la transformer du point x1 ici donc au lieu de passer par toute cette étape très très compliqué en fait ce qu'on aurait pu faire c'est exactement ce qu'on a fait à la fin c'est à dire prendre les transformer des points x1 et x2 0 et de dire que la transformer de la droite et bien c'est toujours la droite qu'il y a entre les points de s'est transformée donc maintenant eh bien tu peux très bien 28 et qu'est ce que ça va être par exemple la transformer de l1 eh bien il nous fit suffit juste déjà de trouver qu'est ce que c'est que la transformer 2 x 2 on va le faire ensemble donc la transformer 2 x 2 et bien c'est toujours ma matrix 1 - 1 2 0 par le vecteur x2 donc 2 - 2 et donc ça qu'est ce que ça va faire et bien donc je calcule ça fait 1 x 2 2 2 plus moins 1 fois moins deux donc ça nous fait quatre ans suit ici je vais avoir deux fois 2 4 + 0 faut au moins 2 donc 4 donc ça va être le vecteur 4,4 donc c'est ce vecteur ici voir ce vecteur ici ça c'est la transformer 2 x 2 donc du coup qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que et bien la transformer de l1 ça va être et bien ce segment ici qui est entre la transformer 2 x 0 et la transformer 2 x 2 ça c'était de l1 et donc qu'est-ce que ça va être que tu es de l2 eh bien tu es de l2 de la même manière ça va être et bien ce vecteur ici par dans ce segment ici ça ça va être tes de l2 c'est à dire le segment qui reste toujours entre les transformer ici de x1 et x2 puisque la l2 et rentrer x1 et x2 donc voilà un truc intéressant ici c'est qu'on voit que tu es bien la transformation linéaire d'un triangle donner ici va nous donner un autre triangle qui va être déformés ici dans une certaine direction et donc ça eh bien c'est juste pour te montrer que en fait les transformations linéaire c'est des transformations qui est bien des formes l'espace dans un dans une certaine dans une certaine dimension ici donc là on a vu ce que ça donnait sur l'exemple d'un triangle et dans les vidéos suivantes on va voir ce que ça donne pour l'espace tout entier