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Comparaison entre produit vectoriel et produit scalaire/Intuition

Transcription de la vidéo

dans les vidéos précédentes on a vu que si on prend deux vecteurs a et b on a que le produit scolaire de à part b est égale à la norme de la fois la norme 2b fois le cosinus de teta l'angle entre les vecteurs a et b et de la même façon on a vu que la norme du produit vectorielle de à barbe et étaient égales à la norme 2 à la fois la norme 2b fois le sinus de langue d'état est alors l'idée de cette vidéo ça va être de d'obtenir quelques quelques intuitions sûre que représente le produit scalaires et le produit vectorielle de façon un peu graphique on va dire avant de commencer sa juste un point que j'ai pas défini c'est qu'en fait grâce à ces expressions on peut calculer d'état en fait si on divise de chaque côté si on suppose que a et b sont des vecteurs qui sont non nul donc leur nom mais pas nul on peut dans cette expression divisé de chaque côté par la norme de la fois la norme de b et du coup on n'obtient que caussinus de mon ongle d'état est égal à vos produits scolaires de à par b / la norme de à fois la norme de v et du coup une fois qu'on a ça on va voir que tu état est égal à arco sinus archos 2 de tout ça 2 à scanner b / la norme de à fois la norme de b donc ça une fois que tu a calculé le produit scolaire de la part belle à diviser par la norme de la fois la note de b sur ta calculatrice tu peux faire l'arc sinus de cette valeur et ça va donner l'anglais état ou parfois sur les calculatrices et noter aussi qu'au ce mois saint klaus - 1 nous voilà donc ça on peut faire la même chose avec cette expression là en remplaçant ici le produit scanner par le pro du vectoriel par la norme du produit vectorielles et en prenant arc sinus on va obtenir la même chose et du coup maintenant on peut passer à ce que j'ai essayé d'obtenir quelques quelques intuitions sur les produits scolaires et le pro du vectoriel donc si on prend un vecteur a comme ceux ci fassent aimons vecteur à est un vecteur b comme ça à ce moment là on peut dire que mon état c'est mon angle ici ça c'est mon angle d'état et du coup si je reviens à mon produit ce qu'allait donc je peux lire et écrire comme b la norme 2b fois la norme de à que sinus deux états et je peux me poser la question que vaut à la norme de la fois le cosinus de l'état donc si je reviens ici à mes deux vecteurs sept longueurs il chie c'est la norme 2 à 7 longueurs richy c'est la norme de b et maintenant le cosinus de d'état je sais donc les mâles à la formule très connus sont cathos a donc sauf qu'à toi me dis que le cosinus c'est le côté adjacent sur l'hypothénuse donc le cosinus c'est égal aux côtés adjacent sur l'hypothénuse et ici si on retourne dans notre dos notre triangle d'autres avec nombre de vecteurs ici on peut prendre ici la perpendiculaire qui tombe sur le vecteur b donc là on a un angle droit et sciences place dans ce triangle on a ici que j'écris ce que je je je mets en verre ici c'est mon côté adjacent ça c'est le côté adjacents et l'hypothénuse c'est quoi l'hypothénuse c'est tout simplement mon vecteur a donc la longueur de l'hypoténuse en fait c'est la norme doit donc ce que j'ai c'est que cos de teta c'est égal à garder cette forme là je dirais que c'est la dja 100 / l'hypoténuse qui est la norme de 1 et du coup si je multiplie de chaque côté par la norme de 1 g que à khost état c'est égal à mon côté adjacent donc ici je peux dire que acosta c'est mon côté adjacent veut dire que je peux réécrire à ce qu'elle rbds et je peux dire que c'est égal à la norme 2 b fois le côté adjacent je vais écrire en violet fois mon côté adjacent et ça ça veut dire qu'en fait à ce qu à l'herbe et c'est égal à la longueur de b fois la longueur de à qui suit la direction de b c'est en fait si on regarde ça on peut voir comme si on avait la lumière qui venait par un euro comme sa perfidie culièrement ab ce côté adjacent ce serait là la taille de l'ombre de a en fait on peut on peut l'appeler de façon plus mathématique on appelle ça la projection doit donc si tu as déjà vu la projection que ça te parlera peut-être si on parle de projection de assure b donc si on suit on réécrit ce qu'on disait ici ce que ça veut dire tout ça c'est que le produit scalaires le produit scalaires ça correspond à quoi ça correspond finalement au produit de la longueur des vecteurs de la longueur jeu mais entre crochets 1 parce que c'est ce qu'on appelle la norme de la longueur des vecteurs et c'est la longueur des vecteurs qui vont dans la même direction en fait donc c'est la longueur des vecteurs qui vont alors cessé avec les mains donc ils vont dans la même direction dans la même direction donc c'est pas très mathématique de dire ça mais ça donne une bonne idée de ce que représente finalement le produit scolaire et on peut prendre maintenant avec des exemples si on prend maintenant deux vecteurs un vecteur b ça c'est mon vecteur b et je prendre un vecteur à colinéaires amont vecteur b à colinéaires amont vecteur b à ce moment là on voit bien que la projection de assure b c'est tout a donc ce qui veut dire que le produit scalaires de à par b dans ce cas précis les deux vecteurs sont collinaires et dans le même sens c'est égal à la norme 2 à fois la norme de b x est en fait le le cosinus de détail site et à vos héros donc son caussinus vaut 1 donc le produit scalaires de à barbe et dans ce cas là c'est égal au produit d'énormes est en fait à ce moment-là on à maximiser le produit scalaires à par b c'est la valeur la plus grande que peut atteindre le produit scanner de à tarbes et si on garde des longueurs de vecteurs constante au goût des normes de vecteurs constante est l'opposé si on prend un vecteur b comme ceux ci un vecteur b comme ceci est un vecteur à qui va être perpendiculaire à mon vecteur b un vecteur à qui est comme ça à ce moment là j'ai le produit scalaires de à part b qui est égal à quoi qui est égale au produit des énormes fois caussinus à ce moment-là de 90 degrés et caussinus de 90 degrés c'est égal à zéro donc ça veut dire que le produit scolaire de à part b dans ce cas là est égal à zéro et du coup ça nous dit que la valeur si on prend la valeur absolue du produit scolaire parce que cette valeur le produit scalaires peut être négatif mais si on prend la valeur absolue le plus petit produits scolaires qu'on peut obtenir il a atteint dans le cas où les deux vecteurs sont orthogonaux ou en à un angle de 90 degrés entre les deux vecteurs donc si on reprend m'a dit qu'on maximiser le produit scalaires dans le cas où les deux vecteurs été collinaires et qu'on le minimiser dans le cas où les deux vecteurs sont orthogonaux est alors maintenant on peut faire le même travail pour le produit vectorielle donc si on dit que notre produit vectorielle on va prendre là la norme du produit vectorielle de à par b c'est égal on l'a dit à la norme 2 à fois la norme de b fois le sinus de l'angle si vous êtes et a donc si on refait notre dessin qu'on avait fait au dessus on a notre vecteur b ici on a notre vecteur a ici il fit seul vecteur à et on a notre anglet état qui est ici ça c'est l'anglais et à l art maintenant on veut savoir à quoi est égal le produit vectorielle de à barbe est ici si on reprend notre notre formule choc à toi et nous dit que le sinus c'est égal aux côtés opposés sur l'hypoténuse sur l'hypothénuse donc si maintenant dans ce triangle là je prends un triangle rectangle donc c'est à dire que je prends la hauteur une fille comme sofitel qui fut en est un angle droit ici mon côté opposé à ce moment là ça va être cette longueur ici ça c'est mon côté opposé par rapport à l'anglais l'état ça veut dire que le sinus demont en lutte et à il est égal à quoi il est égal aux côtés opposés sur l'hypoténuse et l'hypoténuse elle vaut quoi l'hypoténuse ses sept longueurs là donc en fait l'hypothénuse c'est la norme 2 a donc sinus de d'état c'est le côté opposé sur la norme 2 a donc je peux multiplier de chaque côté par le nombre doit donc j'obtiens que haas à s'illustrer tas c'est égal au côté opposé maintenant je peux reprendre la norme de mon produit vectorielle g que la norme du produit vectorielle de à par b c'est égal à 6 je fais passer bée devant ces gars-là b la norme de b fois la norme de à fascinus teta et ici qu'est-ce que je reconnais je reconnais mon côté opposé donc de la même façon que j'avais obtenu ici que le produit scalaires c'était là nombre de billets fois le côté adjacent ici j'obtiens que la norme du produit vectorielle c'est la norme 2b fois le côté opposé cette fois ci et du coup je peux reprendre mes exemples pour a et b donc si je prends encore une fois un vecteur b comme ceux ci ça c'est mon vecteur b est un vecteur à mon vecteur à colinéaires ab comme ceux ci ça c'est mon lectorat ici on voit que le côté opposé ici il est nul et pourquoi parce qu'en fait le le sinus on voit que c'est comme si on avait pris ces deux vecteurs et qu'on avait rapproché à deux baies vérifiez donc teta sera proche de zéro donc en fait le sinus de d'état se rapproche de sinus 2 0 qui vaut zéro donc ici on peut dire que la norme du produit vectorielle de à par b c'est égal dans ce cas là dans le cas où les deux vecteurs sont collinaires c'est égal à zéro donc le cas des vecteurs collinaires c'est un cas où on minimise la norme du produit vectorielles et de la même façon sur francs comme avant le cas où les deux vecteurs sont perpendiculaires donc ici j'ai mon vecteur b et je vais prendre un vecteur acquis et perpendiculaires donc injectera comme ceux ci ça c'est mon victorin les deux sont perpendiculaires à ce moment là j'ai que monte et à ivo 90° et du coup sinus de 90 degrés ça vaut 1 donc ça veut dire que la norme du produit vectorielle de à barbe et dans ce cas là c'est égal à la norme 2 b fois la norme de à foix monsigny de détail qui voit donc dans le cas où les vecteurs sont perpendiculaires jeu j'ai maximiser le la norme du produit vectorielle ce qui veut dire que dans le cas où les vecteurs sont colinéaires jeu maximise le produit scalaires et je minimise le produit vectorielles et dans le cas où les vecteurs sont perpendiculaires jeu maximise le produit vectorielle où la norme du produit vectorielles et j'ai minimise le produit scalaires alors je vais prendre juste un dernier exemple pour pour bien montrer à quoi ça correspond le produit vectorielle si je prends je reprends le vecteur un vecteur b comme ceci est un vecteur a comme ceci et je m'intéresse aux par lots g comme ceci ou donc là j'ai gmi a ici et ici g b je m'intéresse à l'air en fait de ce pareil logram donc cette aire hi-fi en jaune alors en géométrie comment est-ce que je calcule rey se taire je prends ici la hauteur ici je prends du coup avec quelque chose qui tombe à 90° ça je vais l'appeler la hauteur la hauteur h et l'air mon air et en jaune à quoi est ce que va être égal et va être égal à ma mon côté ici donc qui est la norme de b qui est la norme de b fois la hauteur h x h et en fait ce qu'on a assez que si ici j'ai mon ongle le thêta entre a et b ici j'ai mon enquête et a g6 l'état sinus de d'état c'est égal ou côté opposé donc ch sur le côté sur l'hypoténuse pardon et l'hypoténuse c'est la norme 2 1 ch sur la norme 2 a du coup si je multiplie par a de chaque côté j'ai que h c'est à la norme de la fois sinistre et a donc ici je peux remplacer j'ai la norme de b fois la norme 2 à 6 juste état donc en fait ce que j'ai cg que mon ère l'ère de mon paris au g c'est égal à la norme du produit vectorielle de à barbe et donc voilà donc dans cette vidéo on a on n'a pas fait comme dans la vidéo dernière des matins en développant les calculs etc mais j'espère que ça va un peu donner une idée d'une intuition des propriétés du produit vectorielles et du produit scolaire