Distance du point au plan

dans la vidéo précédente on a vu comment à partir de l'équation d'un plan on pouvait retrouver le vecteur normal à ce plan et dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est qu'on va se servir de ça pour maintenant définir la distance entre un point qui n'est pas sur mon plan est ce plan donc par exemple si je prend un point suis-je prend un point dans l'espace qui est ici donc et pas sur mon plan et je veux dire que ce point il est de coordonner x0 y 0-0 et maintenant je me pose la question quelle est la distance entre ce point x 0 y 0-0 et mon plan ici non bien sûr on peut définir un vecteur position pour ce point là ça va être le vecteur position x 0 i plus y 0 j + 0 k et maintenant on va dire bien sûr ce point où il peut être relié à ce point xueping avec bnp à ce point x y z etc mais la distance qui sépare ce point x 0 h 00 au point xp y p2p ce sera pas forcément la plus courte distance la plus courte distance en fait on le voit bien ça va être quelque chose ça va être la distance qui relie ce point x 0 y 0-0 à un point sur le plan tel qu'en fait le vecteur qui relie ces deux points va être normale au plan en fait donc si je regarde par exemple la distance entre le point xp irrite paix cette paix et x 0 y 00 donc si je trace comme se fit en fait on peut tracer un triangle entre le point qui va intercepter le plan et du coup tel que ce segment ce vecteur la soie normale au plan le point x 0 y 0-0 et le point xp y pzp et la danseuse dans ce triangle qu'est ce qu'on a alors bien sûr ici cette distance ici on a dit ça c'est la distance entre mon poing et le plan donc c'est cette distance dès et on peut définir également un vecteur en rouge qui sépare xp y possède paix et x 0 y 0 0 on va dire que c'est le vecteur f ça on va l'appeler le vecteur f et du coup la longueur ici c'est tout simplement la longueur de f où la norme de f si on a la nordev est la dernière chose qui nous manque c'est ici on peut définir un angle teta entre ces deux segments où ces deux vecteurs et qu'est ce qu'on avait en a que d'après la trigonométrie on a que le cosinus le cosinus de teta est égal aux côtés adjacent sur l'hypothénuse le côté adjacent c d et l'hypoténuse c'est la norme dfc la norme de f donc maintenant il faut bien sûr que je définis ce f les coordonnées de f donc je vais descendre un petit peu mais fc le point on a dit piepoli x 000 à xp y pzp donc je vais avoir que f ses coordonnées c'est x 0 - xp selon i plus y 0 - y paie selon j + z0 - afp selon k donc maintenant j f nous ce qui nous intéresse c'est la distance d donc si je multiplie de chaque côté par la norme de f je vais avoir que la norme de f x caussinus de l'état est égal à d ici ce que je peux faire maintenant j'ai tout à fait le droit de multiplier et de diviser par la norme de mon vecteur normal donc si je multiplie par la norme de mon victorienne et que je divise par la norme de mon secteur n ça j'ai le droit parce que n n'est pas nul et du coup la juge en fait je multiplie par un donc ça j'ai tout à fait le droit et mais ce qui est intéressant s'il fait ça c'est que ici qu'est ce que je vois apparaître ici la norme de haine fois la norme des folkeux sioniste états ont la vue dans des vidéos présentent ça c'est exactement c'est quoi c'est le produit scalaires entre n et f donc en fait j'ai que ma distance décès le produit scolaire de haine par f / la norme de haine sans l'a dit c'est égal à ma distance alors ya juste une chose auquel il faut faire attention c'est qu'ici mon produit scalaires peut être négatif et distant négatif ça a pas vraiment de sens donc en fait pour pallier ce problème on va juste mettre des valeurs absolues ici voilà et je veux dire que ma distance c'est la valeur absolue du produit scolaire entre eux n et f / la norme de haine et pourquoi c'est logique ça parce qu'en fait si je reviens à mon dessin ce que je fais quand je fais le produit scalaires de haine par f en fait on voit que ce vecteur là qui suit dé il est en fait les dans la même direction exactement que n vu que ici on a un angle droit et quand je fais le produit scalaires de f parraine ce que je fais c'est que j'ai projeté f suresnes et du coup on l'a dit dans une vidéo précédente c'est comme si je regardais l'ombre de f sur rennes et ça ça va bien me faire des ça va bien de faire des modules haut la longueur de haine c'est pour ça que je vais normalisé par la norme de haine donc maintenant je peux continuer mon calcul à quoi est égale le produit scalaires de haine par f si je regarde j'ai le produit scolaire de haine par f c'est égal à quoi j'ai dit que n c'était grand à un grand belgy grand c et k du coup si je fais le produit scanner de f par n je vais avoir à x 0 - à xp + b y 0 moimbé y paie plus c'est z0 - czt donc maintenant ce que je fais c'est que ce point là la valeur absolue de sa la valeur absolue de mon produit scalaires et pour avoir la la distance il faut que je divise par la norme de haine la norme de haine on sait que du coup c'est la racine carrée la racine carrée de à au carré plus b au carré plus c'est au carré c'est la racine carrée de tout ça et donc ça c'est on l'a dit c'est égal à d alors maintenant ce que je vais faire c'est que je sais pas les termes en x 0 et un xp donc ça assez égal je vais commencer par mettre mes termes en x 0 c à x 0 + b y zéro plus c'est z0 et qu'est ce qui me reste si je regarde il me reste du coup moins à xp moimbé y paie moi c et b et je rappelle que pèsait de le point xp y psp c'est un point qui appartient en plan du coup ils vérifient l'équation du plan qu'est ce que ça veut dire si je reviens ici ça veut dire que à xp plus béat y paie plus ses épées est égal à grande et donc en fait je peux remplacer ceux - à xp - y paie - cmp par - d ce sera la même chose ça c'est moins d et du coup il faut pas que j'oublie 2 / la norme de haine donc par la racine carrée 2 à o car est plus b coca et plus c'est au carré et donc ça j'ai dit que c'était égal à la distance qui sépare monde.il 0 y 00 de mon plan j'ai bien démontrer qu'il existe une expression simple pour calculer la distance entre un point et un plan donc d'équations à x + b y plus et z aygalades et et cette distance elle est donnée ici par cette expression donc maintenant on peut on peut voir ce que ça donne avec un exemple si je prends un plan d'équations 1 x - 2e grecque - 2 y +3 aide égale à 5 par exemple et je veux avoir la distance entre ce plan est le point de coordonner 2 3 prendre un point qui n'est pas sur le plan de 3,1 ce point 2 3 1 n'est pas sur le plan et du coup on va essayer de calculer la distance entre ce point est ce plan donc pour faire ça moi j'applique ma formule ici j'ai que la distance des ces gars là du coup la valeur absolue donc 1 x 2 1 x 2 - 2 x 3 - 2 x 3 plus trois fois plus 3 1 et du coup moins d donc moins 5,5 ça c'est mon numérateur et le dénominateur g racine carrée donc ici mais à b et c c'est 1 - 2 et 3 donc à au carré c'est un an caresser un bo carré ça fait deux ans qu à getafe 4 + 4 et c'est au carré ces trois quarts et donc ça fait 9 + 9 donc si je résous au numérateur j'ai quoi j'ai j'ai un x 2 ça fait 2 - 2 x 3 s'est fait moins 6 + 3 + 3 - 5 ça me fait moins six donc en valeur absolue ça me fait 6 5 et 6 et au dénominateur fait 9 et 1 10 14 donc racine de 14 donc ma distance des c'est égal à 6 sur un fils de 14 et donc j'ai été capable de calculer très facilement grâce à cette formule la distance entre un point et un plan