Preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

alors le but de cette vidéo c'est de démontrer les inégalités de kochi schwarz en fait en démontrant ses inégalités on va utiliser un peu le produit scalaires on va utiliser les notions de longueur de vecteurs qu'on a vu dans dans les vidéos précédentes donc je vais prendre deux vecteurs je veux prendre un vecteur x est un vecteur y qui appartiennent chacun à r n et je prends de ses vecteurs je veux dire qu'ils sont non nul ce ne sont pas des vecteurs nul est là mais inégalités de kochi schwarz elles me disent que j'ai le produit scalaires 2x par y c'est un produit scalaires le produit qu'elle rdx par y il est inférieur en valeur absolue ça c'est la valeur absolue le la valeur de celui du produit ce cas les 1 2 x par y est inférieur ou égal à la longueur où on peut dire aussi la norme 2 x fois la norme de y voilà ça c'est le premier cas est le deuxième cas on dit que en fait il y a que la norme la la la valeur absolue pardon du produit scolaire 2 x par y va être égal à la norme 2 x fois la norme de y sous certaines conditions sous la condition que x soit en fait soit soit collinaires avec greg donc c'est à dire que x peut écrire comme ces x y avec ces qui est un réel un certain réel donc ça jeudi en tout début de cette vidéo ça c'est ce qu'on appelle les inégalités les inégalités de kochi schwarz de kochi schwarz et du coup dans cette vidéo on va on va démontrer cette inégalité est alors pour faire ça je vais j'ai commencé par un petit rappel rapide sur ce que c'est la norme ou la longueur de x si on prend par exemple la norme d'un vecteur v on a dit que c'est égal à la racine carrée de v1 au carré plus v2 au carré plus etc jusqu'à vn au carré ça c'est sous la racine donc par définition 7 7 longueurs ou cette norme elle est forcément supérieur ou égal à zéro elle peut jamais être négative d'accord c'est comme une longueur une longueur n'est pas négative et du coup pour faire cette démonstration on va prendre un élément paix qui dépend d'une variabilité et on va dire que ce pde t c'est égal à la norme d'un vecteur qui est le vecteur t x y - x donc voilà donc c'est la norme de thé y - x le tout aux quarts et donc par définition d'après ce qu'on a dit p de thé est un nombre qui est donc c'est un scalaire c'est un scalaire qui est forcément positif d'accord il ne peut pas être négatif succès une longueur et en plus au carré et on avait aussi vu dans les vidéos précédentes que l'on pouvait écrire il y avait un lien entre longueur et où normes et produits produits scolaires donc si on parle de la norme devait au carré c'est égal au produit scalaires devait par lui-même devait par v donc voilà avec ses petits rappels on va pouvoir maintenant continuer notre démonstration donc si je continue là dessus maintenant mon pays de tes montp qui dépend de tes je peux l'écrire sous cette forme là donc je peux l'écrire comme le produit scalaires de thé y - x par lui-même t y - x le produit scala de thé y - x par lui-même par tes y - x et comme on a vu dans la vidéo précédente les propriétés du produit scalaires de distribuer tivité de d'associate ivité etc on peut maintenant on peut développer ce produit scolaire et on n'a que peu de thé illégal a dans le premier terme on a du coup c'est donc je vais faire le premier terme c'est et y produit qu'à l'ère de derrick parti y donc ça fait écart et produits scolaires de y par y ça c'est mon premier terme je chante couleurs le deuxième terme s'est produit scolaire de thé y par - fixe donc ça fait moins t y x produits scolaires de thé y paris x le troisième terme on va prendre du coup le troisième terme c'est x parts et y produit vers 2x partie grecque donc ça fait moins x pro du scanner par des y c'est un produit qu'à l'air et le dernier terme qui est moins x produits keller de moise x par - x donc ça fait plus - zik par - x donc maintenant que j'ai développé ça je peux je peut arranger mais terme donc le premier thème je l' ai déjà fait en fait c'était carré produits scolaires de y par lui-même les deux termes suivants on voit qu'en fait c'est les mêmes en fait on a du coup on a moins de produits ce qu'est vers 2x par y soit et et le troisième terme on a produit qu'à l'ère de -6 par moins 10 x donc moins - par moins ça fait plus donc ça fait plus le produit scalaires 2 x par lui-même produit qu'à vers 2x par x donc avant de continuer en fait on va on va pour simplifier la démonstration on va dire que ce terme là on va l'appeler à ce terme là donc deux fois le produit scanner de x par y on va l'appeler b et ce terme là le produit qu'à la 2 x par lui-même on va l'appeler c est du coup mon p 2 t il est égal à quoi il est égal à a décaré - b fois tu es plus c est si on se souvient de ce que j'ai dit ici on n'a que p2 t il est forcément supérieur ou égal à zéro donc ça veut dire que quelle que soit et ceci est supérieur ou égal à zéro donc par exemple on peut évaluer paix avant une valeur précise donc je vais descendre un peu on peut se poser la question quelle est la valeur de paix de b sur deux a calé lavalin de paix en b sur deux ans et ça si on regarde ces gars-là à x b carrés sur quatre à carrer 4 à carré - b x b sur deux a plus c est ça on sait que c'est supérieur ou égal à zéro donc si on simplifie maintenant on a le hac il simplifie ici ici on va avoir un des cars et du coup ça c'est égal à b carrés sur quatre a moins b carrés sur deux a plus c'est ça c'est supérieur ou égal à zéro donc qu'est-ce que ça veut dire ça ça ça veut dire que on a si on simplifie les deux termes ici on peut écrire comme 2b carrés sur quatre a donc comme ça on met au même dénominateur et on peut simplifier à ce moment là on obtient qu'on a moins des carrés sur quatre a plus c'est super ou égal à zéro du coup au passage j'ai oublié de dire que ici quand on divise par a on n'a pas de problème parce que a c'est du coup le produit scalaires de y par lui-même donc ça veut dire que c'est là la longueur où la norme de y au carré et vu que y ait non nulle sa norme est aussi non nul donc à et tué est un est un réel qui est non nul donc on n'a pas de problème pour / a du coup maintenant si je reviens ici ça qu'est ce que ça veut dire ça veut dire qu'on a c'est qui est supérieur ou égal à b pcar et sur 2 1 sur 4 ha pardon on assez qui est supérieur ou égal à bégard et sur 4 ha et du cou avant de remplacer abaissé par leur valeur on va juste x 4 ha et je viens de parler de acquis non nul je sais même que a est supérieur à 0 strictement supérieur à zéro vu que c'est une une norme au carré donc je peux très bien multiplier de chaque côté par 4a et ça va pas changer le signe de mon inégalités donc si je fais ça g4 à ces qui est supérieur ou égal à becquart est donc maintenant je vais prendre cette inégalité ici et je vais remplacer abaissé par leurs valeurs qu'on a qu'on a écrit ici donc si je fais ça oups je suis descendu trop bas j'ai quatre fois le produit keller de y par lui-même ça c'était à fois le produit scalaires 2 x par lui-même qui est supérieur ou égal à becquart et donc qui est supérieure ou égale à deux fois le produit scolaire de x par y au carré et donc ça je peux le réécrire je peux dire que c'est 4 fois le produit scalaires de y pas lui-même donc c'est la norme de y au carré donc ça c'est la norme de grecs au carré le produit scalaires 2 x par lui-même c'est la norme 2 x au carré donc ça c'est la norme 2 x au carré et ses supérieures ou égales à ici je peux développer donc ça me fait 4 à cause du carré quatre fois le produit scalaires 2x par y au carré du coup maintenant je peux simplifiée par quatre comme cas très positive ça ne change pas le signe de mon inégalités et je peux passer à la racine si je passe à la racine j'ai ici la norme de y carré ça me donne la norme din grecque parce que la norme de y est un nombre positif ici j'ai du coup la norme 2 x qui est aussi un nombre positif strictement positive fut que x et y sont nuls qui va être supérieur ou égal à ici je vais avoir la la valeur absolue du produit calais rixe par y si j'ai bien j'ai bien la valeur absolue d'accord j'ai pas simplement le produit scalaires parce que je veux que ce nombre soit positif et ici j'ai obtenu exactement ce que j'avais au début ce que je voulais obtenir donc j'ai obtenu l'inégalité de kochi schwarz ça c'est l'inégalité de kochi schwarz cauchy schwarz donc j'ai bien démontrer cette inégalité est alors le deuxième point c'est si je prends maintenant que x est égal à ses x y c'est à dire si les deux vecteurs sont collinaires qu'est-ce que j'ai j'obtiens que maintenant la valeur absolue du produit keller x par le produit par y pardon la valeur absolue du produit scanner de x ou y c'est égal à la valeur absolue de du produit qu'à l'ère de six grecs par y donc je peux sortir le seuil quand je le sors en fait ici je dois obtenir la valeur absolue de ces je connais pas le signe de s'aimer du coup quand je le sors de là vers absolue il sort en valeur absolue et du coup il me reste le produit scalaires de y par lui même et ça je sais que c'est égal à la norme de y au carré donc ça me fait la valeur absolue de ces fois la norme de y au carré et donc ça si je continue je peux l'écrire comme valeur absolue de ces fois la norme de y fois la norme de y et ça je peux dire que c'est égal a en fait je peux rentrer le cdh dans la norme donc ça je ne fais pas la démonstration mais tu pourras le tu pourras faire la démonstration par toi même si tu veux ça se fait assez assez facilement en fait mais je peux montrer que du coup la valeur de celui de ses fois la norme de y c'est égal à la à la norme de ces x y et du coup il me reste d'autres étaient la norme de y est ça c'est égal en fait à la norme de x ça c'est la norme de xx x du coup la langue de y du coup si je remarque on était passé on était parti de la valeur absolue 2 du produit jusqu'à l'ère de x par y donc j'ai bien montrer cette fois-ci légalité que la norme la valeur absolue du produit scolaire de x par y est égale à la norme 2 x fois la norme du grec si les deux vecteurs sont collinaires j'espère que tu as bien compris dans cette vidéo les propriétés du produit de galère et des normes qu'on a mis en jeu pour calculer pour vérifier les inégalités de koji schwarz et on peut enfin pouvoir maintenant les utiliser dans les vidéos suivantes pour faire des exercices