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Preuve : Relation entre le produit vectoriel et le sinus d'un angle

Transcription de la vidéo

dans la dernière vidéo on a défini le produit vectorielle entre deux vecteurs entre deux vecteurs a et b qui appartiennent r3 et on a calculé on a et on a dit que ce produit vectorielle il était égal à cette expression ici est un peu plus tôt on avait dit pour le produit scalaires cette fois ci on avait dit que le produit scalaires de à part b était égal à la norme 2 à fois la norme 2b fois le cosinus de l'angle d'état entre nos deux vecteurs et l'idée de cette vidéo ici ça va être en fait de définir de montrer que si on a deux vecteurs ab cette fois ci ça va être la norme du produit vectorielle de à par b on veut montrer que c'est égal à la norme 2 à fois la norme 2b fois le sinus cette fois ci deux états donc en fait on veut montrer que il ya vraiment un lien entre le produit scolaire et le produit vectorielle vu que si on prend la norme du produit vectorielle on a quelque chose qui ressemble à allah aux produits scolaires sauf qu'on remplace le cosinus de teta par le film us de détails donc je ne le cache pas cette démonstration ça va être un peu ça va être un peu ardue parce que non pas qu'elle soit compliqué mais il va falloir vraiment déroulé tout les tous les calculs mais si tu es pris un tuba on peut on peut on peut y aller alors pour commencer on va partir du coût de la norme on va partir de déchets on va partir de la norme du projet du vectoriel de à part belle et on va prendre cette norme au carré alors la norme au carré on avait défini dans une vidéo plutôt on avait défini que si on prend à la norme d'un vecteur x donc au carré c'est égal à x 1 au carré plus x2 au carré +63 au carré donc là c'est un vecteur x qui est en r3 ou les composants son x1 x2 x3 non clichy si on fait la même chose pour avec tauriel b donc c'est égal à le premier terme ici au carré donc c'est à deux baies 3 - à 3 b2o carré le tocard et plus le deuxième terme donc c'est à troyes b 1 - à un b3 au carré plus je vous écris le dernier terme ici à un hub et 2 - a2 b1 au carré alors maintenant on va faire on va tout simplement développer terme à terme donc le premier terme ici on a à 2 au carré b3 au carré - deux fois à deux à trois b2 b3 donc j'ai juste real orange est ici les termes plus à 3 b2 et chacun okah est donc à trois quarts et b2 carré donc ça c'est ce terme ici ensuite pour le deuxième terme ici donc ça fait plus donc c'est tout à la ligne plus à 3 au carré b1 au carré - le terme croiser ces deux fois à 1 à 3 b1 b3 b1 b3 plus le dernier terme qui est à 1 au carré b3 au carré et enfin le dernier terme ce terme ici si on développe on n'a plus à un au carré b2o carré - le terme croisé qui est deux fois à 1 a2 b1 b2 plus le terminer terme qui est à deux au carré b1 au carré alors maintenant ce qu'on peut faire c'est on va retravailler ça un petit peu par exemple on va commencer par mettre les termes en 1/4 et donc on a un thème ici et un terme ici donc ça c'est égal à a1 au carré et du coup un facteur en ab deux carrés plus des trois quarts et les thermes ensuite en a deux carrés on a ce terme ici et ce terme ici donc plus à deux au carré facteur de b1 carré plus des trois quarts et plus le terme en a trois carrés et les termes en a trois quarts et on a à trois baies de carrés et a3 bien car est donc à trois quarts et facteur de b1 au carré plus b2b de au carré et maintenant on a tous été remis si au milieu tous étaient en wifi qui nous reste est du coup ça fait moins deux fois à deux à trois b2 b3 plus a1 a3 b1 b3 plus à a1 a2 b1 b2 très bien donc maintenant on va à l'essai ce résultat se reposer un petit peu ce résultat là juste pour rappel ce qu'on a calculé ce que quelques étapes de calcul c'était la norme au carré du produit vectorielle de à par b donc on va laisser ça reposer un petit peu et on va repartir sur un nouveau calcul ce que j'ai dit ici j'ai dit que la norme de à fois la norme 2b fois le cosinus de langue d'état c'est égal à à scalaires b et donc ça on sait que c'est égal à a1 b un plus à 2 b2 plus à troyes b 3 donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va prendre le car et de tout ça qu'on va dire que c'est la norme de à au carré fois la norme de bo carré folk aux sinus carré de l'angle qui est égale au produit scolaire au carré et qui est égale du coup à tout ça au carré en fait moi j'ai plutôt l'écrire donc je vais pas mettre au carré je vais l'écrire comme le produit de sa part lui même donc fois à un b un plus à 2 b2 plus à troyes b 3 donc je descende un petit peu pour la place pour la suite du calcul et du coup maintenant juste que je vais faire fait que je vais développer cette expression ici donc si je commence je vais commencer ici donc j'ai commencé en développant par rapport à ce premier terne donc ce terme fois le premier terme ça me fait dû à un au carré b1 au carré le deuxième terme donc ça me fait plus à a1 a2 b1 b2 et le troisième terme plus à 1 à 3 b1 b3 maintenant je vais développer par rapport au deuxième terme ici donc le premier terme me donne du à 1 à 2 b1 b2 donc je vais l'écrire ici a1 a2 b1 b2 le deuxième terme me donne du coup à deux au carré b2o carré plus est le troisième terme c'est à deux baies deux à trois baies 3 donc je vais l'écrire ici plus a2 a3 b2 b3 et il me reste plus que le dernier terme le dernier terme donc c'est celui ci donc le premier terme c'est un a3 b1 b3 donc je vais l'écrire ici à 1 à 3 b1 b3 le deuxième terme c'est à 2 à 3 b2 b3 donc je vais écrire ici a2 a3 b2 b3 et le premier terme c'est à troyes b3 ou carré donc à trois au carré b3 au qu'avec maintenant ce que je peut remarquer c'est que là j'ai deux fois le même terme ici j'ai deux fois le même terme est ici j'ai deux fois le même terme donc je peux réarrangé tout ça et le mettre sous la forme de donc c'est égal à 1 au carré b1 au carré plus à 2 au carré b2o carré plus à 3 au carré b3 au carré plus du coup ces termes qui sont égaux a donc plus deux fois ce premier terrain donc a1 a2 b1 b2 plus a1 a3 b1 b3 plus le troisième terme a-2 a-3 b2 b3 et alors ce qu'on remarque c'est que ce terme ici que j'ai écrit en violet se termine ici c'est l'opposé de long terme ici en violet ces deux termes sont sont opposés donc ça qu'est ce que ça fait ça me donne envie de d'additionner les deux les deux expressions pour que ces deux termes se simplifie donc là on va voir si on fait l'addition des deux expressions ça va se simplifier donc ça nous donne bien envie de faire ça donc si on le fait ça c'est quoi le fils cette expression c'est égal en avait dit c'est écrit ici en fait c'est égal à la norme 2 à vectorielle b au carré donc ça fait à vectorielle b l'ananda vectorielle b o car est plus là nombre de à au carré fois la norme de b le nombre de baies au carré fois le cosinus carré de l'angle d'état qui est égal à donc on a dit que les deux termes en violet s'est simplifié et il nous reste un terme en à un carré qui si on a un quart est bien calé ici on a un quart et b2 carré plus des trois quarts et donc si on factories par le à un carré ce premier terme ici on a dû à un au carré facteur de b1 au carré plus b2o carré plus b3 au carré on peut faire une chose avec le à deux au carré donc ça fait à deux au carré facteur de b1 au carré plus b2o carré plus b3 au carré et on peut faire la même chose avec le à trois quarts et donc j'ai plus à 3 au carré facteurs 2b un carré plus b2k et plus des trois quarts et une fois qu'on a ça dans voit qu'on peut encore on peut encore simplifiée parce que là on a b1 au carré plus baie de hawke arrive plus des trois quarts et là on a la même chose et là on a la même chose donc on va mettre ce b un carré puisque b2k les puces des trois quarts est un facteur donc je vais le faire ici ça c'est égal 1 on a dit donc on a dit qu'on mettait ce terme un facteur donc à b1 au carré plus b2o cas et plus b3 au carré est un facteur on a du coup à un quart est plus douce pardon plus à 2 okah est plus à 3 au carré et alors ça on remarque que ici qu'est ce qu'on a bien carré plus b2 carré plus des trois quarts et on a dit si on revient à ce qu'on avait dit au début on a dit quand on a un vecteur x la norme de xo caresser x1 carré +62 carré +63 carré voilà c'est exactement ce qu'on va apparaître là on à la norme 2 b au carré est ici ici on a tout simplement la norme de à au carré et a maintenant on voit apparaître quelque chose on voit qu'ici on a la note de akkar et la fois la norme de bichari fois le cosinus carré deux états ici on a le nombre de bichari fois la norme de hakkari donc on va soustraire de chaque côté ce terme donc si on veut écrit on va avoir à gauche on va avoir la norme de à vectorielle b au carré qui va être égal on a dit ici ce terme donc c'est la norme de à au carré fois la norme de bep au carré - et - quoi - se termine et donc moins la norme de à au carré fois la norme de bep au carré fois le cosinus carré de l'angle cause qu'ils n'usent carré deux états et du coup ça va c'est évident qu'on peut mettre la norme de hakkari fois la norme de bk est un facteur donc ça c'est égal à on a dit nombre de à au carré fois nombre de baies au carré facteur de 1 - caussinus carré deux états et là on est super contents parce qu'on voit le bout pourquoi parce que là qu'est ce qu'on va apparaître on a eu des égalités très importante c'est que si on à quelle que soit la langue d'état on a le cosinus carré de teta plus sinus carré deux états qui est égal à 1 ça c'est vrai quel que soit l'angle et du coup on a que le sinus carré deux états est égal à 1 - caussinus carré deux états et du coup ici mais qu'est ce qu'on a vu apparaître aux surprises on voit apparaître si nos gars et deux états donc on a dit que la norme de avec tauriel b o car est égale à la norme de hakkari fois la note de b carré fois le sinus carré deux états il nous reste plus et on a bientôt fini il nous reste plus qu'à passer à la racine carrée donc si on fait ça on à la norme 2 à vectorielle b qui est égale à la norme 2 à fois la norme de b x sinus deux états et voilà c'est exactement c'est ce qu'on voulait obtenir on a que le poulain hommes du produit vectorielle de à barbe et est égale à la norme 2 à faux la note de b fois le sinus de teta donc voila c'était une démonstration un peu laborieuse où là on a vraiment il a fallu tout développer mais au final on a réussi à obtenir notre notre résultat et j'espère que tu as bien compris tous les étapes du calcul