Introduction à l'indépendance linéaire

supposons que j'ai deux vecteurs le vecteur 2,3 et le vecteur 4,6 donc là j'ai un ensemble de vecteur est la question que je me pose c'est quel est le vecteur de cet ensemble de vecteurs donc ce qui veut dire qu'elle est l'ensemble des des points qu'on peut atteindre en faisant une combinaison l'inr de ces deux vecteurs donc pour rappel une combinaison line rc je prends un vecteur qui et c'est un fois le premier vecteur donc de trois plus un autre réel ces deux fois le deuxième vecteur qui aimons vecteur 4,6 et du coup je cherche quel et l'ensemble des vecteurs que je peux créer en faisant une combinaison linéaire comme sa fille de des deux vecteurs et donc cool ici j'ai rajouté que c1 et c2 les deux doivent appartenir à air voilà et la première chose qu'on remarque se regarde un petit peu ces vecteurs c'est que ce vecteur ici le vecteur 4,6 en fait c'est tout simplement deux fois le vecteur 2 3 ce que je dis c'est que 4,6 et deux fois le vecteur 2 3 ouais je fais deux fois deux ça fait bien quatre et deux fois trois ça fait bien six donc je peut réécrire ce vecteur ici je peux leur écrire comme étant ses 1 fois le vecteur de 3 c'est un faux électeurs de trois plus ces deux fois maintenant deux fois le vecteur de 3 donc fois deux fois le vecteur 2 3 et du coup maintenant je peux leur écrire je peux je peux dire que ça s'est également fait c'est un plus de ces deux fois le vecteur 2 3 d'accord j'ai juste mis le vecteur de trois ans facteur est en fait ça a vu qu'on a dit quand on fait des combinaisons une aire que c1 et c2 pouvez parcourir tous r ça c'est la même chose quelques riffs que c'est c'est égal à un réel ces trois fois mon vecteur 2 3 donc en fait ça veut dire que je suis parti d'une combinaison binaire de deux vecteurs différents et en fait j'ai dit que c'est faire des combinaisons in her de ces deux vecteurs qui sont différents c'est la même chose que juste multiplier le vecteur inde et de ses vecteurs par un réel c3 alors qu'est ce que ça veut dire au niveau du duvet kt de cet ensemble de vecteurs levêque tu de cet ensemble de vecteurs en fait on l'obtenait en faisant des combinaisons linéaire du premier vecteur et du deuxième vecteur est ce qu'on dit c'est que faire ces combinaisons une r d de vecteurs c'est la même chose que multiplier le vecteur 2 3 par un réel par un scalaire réel et du coup si on regarde au niveau graphique donc si on va sur notre plan je peux dessiner mon vecteur 2 3 donc c'est ce vecteur là le vecteur de droit et en fait le vecteur du de mon ensemble ça va être tout simplement du coup la multiplication de ce vecteur par un scalaire et du coup si je multiplie ce vecteur par un scalaire et je vais juste en fait me déplacer sur 7 sur cette ligne là donc si je prends ces trois qui est positif je vais me déplacer dans cette partie de mon graphe ci je prends ces trois négatifs je vais me déplacer dans cette danse est parti du graff et c'est donc en faites ce que je dis c'est que le vectes 2 mai deux vecteurs c'est tout simplement en fait cette cette ligne je vais les crédences que ce que je viens de dire en fait c'est que le vectes de mai vecteur 2,3 et du vecteur 4,6 c'est tout simplement cette droite ici c'est cette droite qui est en rouge et du coup contrairement on avait vu dans la vidéo présidente que on pouvait avoir que le vote de deux vecteurs donne tout le plan donc ça veut dire donne en fait l'espace r2 ici parce que les deux les deux vecteurs sont en fait sont collinaires donc si je trace le le deuxième vecteur ce vecteur ici en fait ce vecteur ici c'est ce vecteur en bleu ici voilà donc les deux vecteurs le vecteur rouge est le vecteur en bleu ils sont collinaires c'est pour ça que le vectes de ces deux vecteurs me donne une droite et non pas r2 le fait qu'on puisse obtenir un des vecteurs en multipliant l'autre par une constante en fait on dit que ces vecteurs sont linéairement dépendants ces deux vecteurs sont linéairement dépendants et ont dit à propos de l'ensemble de vecteurs cet ensemble la d2 vecteur on dit que c'est une famille de vecteurs qui est lié donc c'est une famille candy liés c'est une famille de vecteurs qui est lié et c'est parce que cette famille de vecteurs ailier que le vectes de ses vecteurs c'est tout simplement une droite au lieu d'être r2 si cette famille était ce qu'on appelle une famille libre et alors ça maintenant on peut regarder ce qui se passerait dans l'espace r3 si on regarde un peu graphiquement supposons dans ac 3 on a une famille enfin en aide d un vecteur un premier vecteur comme ça et un deuxième vecteur qui est comme ceci ces vecteurs ils vont définir un plan un plan qui est comme ceci est du coup le vecteur de ces deux vecteurs c'est bien ce plan en rouge ici maintenant si je prends un autre vecteur un troisième vecteur qui est lui aussi dans ce plan ce vecteur bleus levêque tu de ces trois vecteurs en fait va aussi être le plan parce qu'on on voit que ce vecteur puisqu'il est dans le plan ne nous permet pas d'obtenir des vecteurs qui sont hors du plan d'accord si on prend une combinaison nerfs des deux vecteurs violée on va pouvoir définir tout le plan si on rajoute ce vecteur bleus m'a finalement on reste dans le même vecteur pour ces trois vecteurs on n'ajoute pas de dimension à ce mec tu parce que ce vecteur est en fait compris dans ce plan ça veut dire que l'ensemble des points qu'on peut obtenir par combinaison linéaire entre les deux vecteurs violet est le même que l'ensemble qu'on pourrait obtenir par combinaison linéaire des deux vecteurs violé plus le vecteur bleus est en fait si on veut pouvoir augmenter le vectes en rajoutant un vecteur il faut en fait obtenir un vecteur comme se fit un vecteur qui va sortir de ce plan rouge et à ce moment là si on prend le vectes du vecteur verts et des deux vecteurs violet et ben voilà on va bien voir tout l'espace en trois dimensions et on a bien ajouté une dimension grâce à ce vecteur vert alors je vais prendre des exemples parce que ce sera peut-être un peu plus clair que que cette représentation géométrique donc si on prend des nouveaux vecteurs on va prendre le vecteur est par exemple 2 3 le vecteur 2 3 le vecteur 7,2 et on va prendre un troisième vecteur le vecteur 9,5 donc ça c'est ma famille de vecteurs et la question c'est est-ce que c'est une famille liée donc est ce qu'il ya un des vecteurs qui peut être obtenu par combinaison linéaire des deux autres ou est ce que c'est une famille libre où tous les tous les les les vecteurs ne peuvent pas être obtenus par combinaison lunaire des deux autres donc si on regarde rapidement il semblerait que ce vecteur ne soit pas un multi le plus de celui là que ce troisième vecteur ici ne puisse pas être un multiple de aucun des deux autres mais si on regarde un peu plus en détails en fait on voit que ce vecteur le premier vecteur 2,3 qu'on appelait v1 plus le deuxième vecteur 7,2 qu'on va appeler le vecteur v2 la somme de ces deux vecteurs est égal en fait au troisième vecteur v3 ce qui veut dire que ce vecteur peut être obtenue par combinaison nerfs des deux premiers alors si on regarde ce qui se passe graphiquement on va représenter ces vecteurs il fit sur le plan donc mon vecteur 2 3 et wii fit donc de 3 c ce vecteur là ici ça c'est mon vecteur de trois monts vecteur 7 2 7 2 alors cette fille deux m'ont vecteur c2c ce vecteur ici et du coup ce qu'on voit en représentant ces deux vecteurs c'est que c'est ils ne sont pas collinaires que les deux vecteurs ne sont pas collinaires donc ça veut dire que par combinaison in her 2 ces deux vecteurs on peut obtenir tout le plan c'est à dire on peut en fait obtenir r2 donc ce qu'on obtient ce qu'on voit très facilement un représentant ces deux vecteurs c'est que le vectes de v1 et v2 levêque tu de v1 et v2 c'est ce qu'on vient de dire c'est égal à r2 en prenant des combinaisons linéaire de ces deux vecteurs on ne peut obtenir r2 donc ça veut dire que le vecteur de v1 v2 cr2 et si on regarde le troisième vecteur qu'on a le vecteur 9,5 le vecteur 9,5 donc neuf signifie 5 c'est ici donc c'est ce vecteur ici comme ceux ci et c'est un vecteur ce point là appartient bien à r2 donc ce qui veut dire que par définition vu que le vecteur de v1 et v2 cr2 ça veut dire que ce point là peut être obtenue par combinaison les nerfs des deux autres vecteurs donc par définition ce ce vecteur peut-être est une combinaison lunaire en fait des deux autres vecteurs en fait on le voit très bien si on rajoute ici le vecteur v1 on arrive exactement au même point dans ce qui veut bien dire que le vecteur v3 c'est la somme devait 1 et 2 et 2 et du coup qui joue apprend ce que j'avais dit plus tôt on a vu que ce vecteur là peut être obtenue par combinaison de linéaire des vecteurs v1 et v2 donc ça veut dire que cette famille de vecteurs c'est aussi une famille qu'on va appeler une famille lier deux vecteurs il ya un des vecteurs qui peut être obtenu par combinaison linéaire des deux autres et en fait on verra par la suite que c'est normal que cette famille de vecteurs soit une familier parce qu'on peut pas avoir trois vecteurs qui sont linéairement indépendant dans un espace qui est à deux dimensions r2 est à deux dimensions mais du coup en fait j'espère que tu commences à bien voir le lien qu'il existe entre le vectes qui va nous donner l'espace qu'on peut obtenir par des combinaisons linéaire des vecteurs et le fait que les vecteurs soit linéairement indépendants ou linéairement dépendants et du coup pour continuer on va prendre un nouvel exemple on va prendre deux de nouveaux vecteurs un premier vecteur qu'on va dit on va dire que c'est le vecteur 7 0 et le deuxième vecteur qui va être le vecteur 0 - 1 et la question c'est est-ce que ces vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants est ce que cette famille est une famille libre ou une familier et du coup ici comme on n'a que deux vecteurs cette famille ses vecteurs seront linéairement dépendant si on peut obtenir le deuxième vecteur en multipliant le premier vecteur par parra réel par exemple par une constante c'est un est ce qu'on voit c'est que quelle que soit c'est un vus qui chie on a une composante qui est zéro on pourra jamais obtenir en multipliant 0 par quelles que soient ses seins on pourra jamais obtenir de -1 donc ça veut dire qu'on peut pas obtenir ce vecteur en multipliant ce vecteur parent c1 et de la même façon si on multiplie ce vecteur par une constante vu qu'ici on a le la composante qui est zéro on pourra jamais obtenir le set ici en multipliant euros par part un réel donc ça ça nous dit que cette famille est une famille qu'on a appelé livre c'est une famille famille libre de vecteurs parce que les vecteurs sont linéairement indépendant est en fait si on regarde graphiquement ce que ça donne donc je vais m en rouge le premier vecteur donc sept 07 est ici donc c'est ce vecteur ici ça ses lecteurs 7 0 est le vecteur 0 - 1 c'est ce vecteur ici donc on voit bien déjà que ces deux vecteurs ne sont pas collinaires donc a priori donc ça ne samoudi en fait directement de dire qu'ils n'ont pas connue nerfs ça nous dit que le mec tu de ces deux vecteurs qu'on va appeler v1 et v2 levêque tu de cette de vecteurs je pense que tu l'as compris cr2 voilà en en faisant des combinaisons linéaire devient et devait deux on obtient r2 parce que cette ces vecteurs sont linéairement indépendant et que la famille de vecteurs est une famille libre et si on revient à l'exemple d'au-dessus avec nos trois vecteurs ici on a dit que le mec tu deviens et v2 c'est égal à r2 et si on regarde maintenant qu'elle est le vecteur de v1 v2 et v3 et bien on a dit en fait ces trois vecteurs sont dans le même plan du coup le vectes de ces trois vecteurs c'est égal à r2 on n'a pas gagné de dimension en rajoutant le vecteur v3 est en fait à partir de ça du coup dit que cette famille cette famille c'est la plus petite possible qui nous permet de parcourir tous r2 donc en fait on va on va l'appeler cette famille on va dire que c'est une base de r2 j'ai pas encore défini les ce que ça voulait dire une base mais l'idée c'est d'aider ge a commencé à l'introduire en utilisant ce terme donc cette famille sera une base de r2 mais cette famille qui comprend trois vecteurs ne sera pas une base de r2 parce qu'on a vu qu'on n'avait pas besoin de trois vecteurs pour faire une base de r2 donc si maman je passe à trois dimensions je prends des nouveaux vecteurs à trois dimensions je vais prendre un premier vecteur j'ai utilisé les laits la même technique qu'avant je prend 1,2 un premier vecteur pardon on dit à 2,00 ça c'est mon premier vecteur le deuxième vecteur va être le vecteur 010 ça c'est mon deuxième vecteur et je vais avoir un troisième vecteur qui va être 0,07 à mon écrit et la question est est ce que ces vecteurs sont linéairement indépendant est ce que la famille de vecteurs est une famille libre où une famille liée alors du coup ici vu qu'on a trois vecteurs en fait l'idée c'est d'avoir est ce que le troisième facteur par exemple peut être obtenue par combinaison une ère des deux premiers vecteurs est-ce qu'on voit assez directement c'est qu'ici on a 1-0 ici 1-0 ici donc quelles que soient les constantes multiplicatrice devant chacun de ses lecteurs on va obtenir zéro plus zéro et du cou en aucun cas on pourra obtenir un set ici donc ce vecteur là ne veut pas être obtenus par combinaison les nerfs des deux premiers vecteurs et de la même façon si on gagne ici on prend ces composantes ici quelles que soient les constantes multiplicatrice on va obtenir zéro plus zéro donc on n'obtiendra jamais eu un ici donc ce vecteur là ne peut pas être non plus obtenu par combinaison linéaire des deux autres et si on finit de la même façon si on prend ces deux vecteurs là ici on a 1 0 ici en 1 0 donc en aucun cas en multipliant par des scolaires on pourra obtenir le 2 qui ici donc ce vecteur aussi et ne peut pas être obtenu par combinaison nerfs des deux autres vecteurs ça ça veut dire que cette famille de vecteurs est une famille libre donc voilà aucun des vecteurs ne peut être obtenue par combinaison les nerfs des autres vecteurs donc si on fait une représentation maintenant 3d de ces vecteurs on va avoir un premier vecteur comme se fit un deuxième vecteur comme ceux ci dans le plan et un troisième vecteur en fait qui va être comme ceux-ci d'accord du coup on a bien par exemple ces deux vecteurs là qui sont dans le même plan les deux vecteurs y fixant le même plan et ce vecteur là qui est dans un plan différent donc par rapport à ce qu'on avait dit avant en conte en faisant des combinaisons linéaire de ces trois vecteurs on va bien pouvoir parcourir tous r3 et donc ça ça nous dit que le mec tu de cette famille de vecteurs c'est égal à r 3 donc voilà j'espère que tu as bien compris le lien qui existe entre le vectes et les histoires de famille libre ou de familier et dans la vidéo suivante en fait je j'essaierai de définir un peu plus formellement on va dire les l'indépendance linéaire et on fera quelques autres exemples pour mieux comprendre ça