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Heure actuelle :0:00Durée totale :17:38

Transcription de la vidéo

alors dans la vidéo précédente on a commencé à parler de dépendance nerfs donc de dépendance de dépendance linéaire et on a vu on a vu un peu comment ça se passait sur des familles de vecteurs l'idée de cette vidéo maintenant ça va être deux de formaliser un peu cette dépendance linéaire on a vu déjà que cette dépendance nerfs elle était liée à la notion de famille de vecteurs d'une famille qui qui sera lié si les vecteurs sont dépendants sont linéairement dépendants et qui sera une famille libre si les vecteurs sont linéairement indépendant et du coup pour un peu voir comment ça se passe on va prendre un ensemble de vecteurs un ensemble eux deux vecteurs et on va dire que c'est l'ensemble des vecteurs v1 v2 xterra jusqu'à jusqu'à vng un ensemble de vecteurs et maintenant ce que je dis c'est que ces vecteurs sont linéairement ils sont linéairement linéairement dépendants si et seulement si donc si et seulement si souvent les cris on l'écrit si et seulement si s sii et on le note on note souvent avec une flèche comme ça de chaque côté donc c'est une notion d'équivalence en fait donc ses vecteurs v1 v2 vn son linéairement dépendant si et seulement si en fait on peut dire que le coup si on prendrait des réelles c1 1 c2 jusqu'à cn on peut dire que c'est un faux avait un plus ces deux fois v2 plus et cetera jusqu'à cn fois vn donc si ce vecteur là il est égal à zéro si le vecteur siens s'il existe en fait des c1 c2 jusqu'à cn tels que ce vecteur là soit égal à zéro avec donc il ya une condition la condition c'est que ces vecteurs selon l'ine armandie dépendant si et seulement si ça cette égalité vérifier avec au moins avec au moins un s'est i avec au moins un des réels c'est y qui est non nul avec au moins un pays non nul ça veut dire qu'en fait si on prend tout laisser y qui sont nuls on est d'accord que cette égalité ici et tout en vérifier quelles que soient les vecteurs v1 v2 viennent maintenant ce qu'on dit c'est que ces vecteurs sont linéairement dépendant si et seulement si on peut écrire cette égalité avec au moins un dci qui sera non nul alors dans la vidéo précédente on avait fait les choses un peu différemment on avait dit qu on avait défini des vecteurs linéairement dépendants 6 vous pouvez écrire un des vecteurs par exemple je vais prendre aussi le vecteur v1 si on pouvait dire que v1 est une combinaison lunaire des autres vecteurs se dire qu'on peut écrire v1 comme à un pardon à à deux fois v2v 2 + etc jusqu'à à nvn donc si je peux écrire v1 comme une combinaison linéaire des autres vecteurs alors on a dit que les vecteurs était linéairement dépendants et maintenant ce que j'aimerais bien de montrer c'est que ces deux définitions donc le fait qu'on puisse écrire un vecteur comme une combinaison linéaire des autres lecteurs et le fait qu' on puisse écrire la somme de tous les vecteurs pondérée par des réelles égal à 0 avec au moins un des réels n'ont nulle ces deux définitions sont en fait équivalente donc il faut montrer que si on a ça si on avait un qui s'écrit comme une combinaison linéaire de l'autre vecteur alors forcément on aura ceci qui est vrai et à la baisse il faut montrer que si on a ça qui est vrai alors on avait un qui peut suffire comme une combinaison lunaire deux autres vecteurs donc dans un sens c'est assez c'est assez triviale si on part de cette égalité on va soustraire de chaque côté par v 1 donc on va avoir zéro qui était viala moins une fois v1 plus à 2 v2 plus etc jusqu'à à nvn hélas ici j'ai bien une somme de mai vecteur pondérée par des coefficients réel qui est égal à zéro avec on a bien au moins un des deux éco efficients qui n'ont nulle vu qu'ici on a moins une fois v1 d'accord ça ça nous dit bien qu'il ya mon au moins un dci et non nul donc j'ai bien montrer que sylvain pouvait écrire comme une combinaison l'inr des autres vecteurs alors on n'avait que la somme des vecteurs pondéré pouvait être égal à 0 avec au moins un des des des coefficients non nul maintenant il faut que j'aille dans l'autre sens donc je vais partir de cette de cette égalité ici et je vais essayer de montrer que ses équivalents au fait que v1 ce crime comme une combinaison lunaire des autres vecteurs donc tout simplement ici je vais supposé donc supposons supposons que c'est un soin non nul c'est un soin mon coefficient n'ont nulle c1 soit différent de zéro donc dans cette égalité ici je peux divisé à gauche et à droite par c'est un donc je vais avoir v1 plus ces deux sûr c'est un v2 plus et cetera jusqu'à cn sur ces 1 x vn qui est égal à zéro est donc sage je peut soustraire de chaque côté ce terme ici et du coup j'ai que v1 il est égal à moins c'est 2 sûr c'est un v2 plus et cetera jusqu'à cn sur ces 1 x v n est donc là j'ai bien écrit que vient pouvait écrire comme une commune les combinaisons les nerfs des autres vecteurs donc j'ai bien montrer que si je pars de cette égalité avec le fait qu'au moins un des séismes n'ont nulle alors que j'arrivais au fait qu' un des vecteurs pouvait s'écrire comme une combinaison une ère d autres vecteurs alors pourquoi je te raconte ça tout simplement parce qu'en fait cette égalité ça va être assez utile pour finalement montré est-ce que des vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendant et est ce qu'une famille de vecteurs est une famille et où une famille livre de vecteurs donc maintenant on va continuer avec avec des exemples on va prendre deux vecteurs on va prendre un set de vecteurs le premier vecteur ça va être un vecteur 2-1 et le deuxième vecteur ça va être le vecteur 3 2 ça c'est mon set c'est mon ensemble de vecteurs et la question c'est est-ce que cette famille de vecteurs est une famille libre ou une familier de vecteurs et du coup est ce que ces deux vecteurs sont linéairement dépendants ou linéairement indépendant et maintenant si on utilise qu'on a fait juste au dessus on peut dire que une façon de montrer que ces vecteurs sont dépendants ou indépendants c'est de regarder si je prends l'égalité c'est un fois le vecteur de un plus ces deux fois le vecteur 3 2 si je prends que c'est laid les combinaisons linéaire de ces deux vecteurs est égal aux vecteurs nul donc le vecteur le vecteur nul ses lecteurs 00 est ce que est ce qu'il existe une telle combinaison lunaire qui est égal à zéro avec ses 1 où ces deux qui n'ont nulle dans ce que je dis ici c'est que si j'ai cette égalité qui est vrai avec si on a en plus c'est un ours ou c2 qui est non nulle c1 où ces deux noms nul alors ça veut dire que les vecteurs sont dépendants c'est ce qu'on a dit au dessus ces vecteurs sont dépendants au contraire si on a si on n'a que c1 et c2 les deux à la fois c1 et c2 sont nulles alors ça veut dire que ces vecteurs sont indépendants donc voilà l'idée maintenant ça va être de résoudre ce thème est de voir si c1 et c2 sont nulles ou non donc c'est simple maintenant j'utilise l'algèbre linéaire on va faire par rapport à cette première ligne donc sur la première ligne g que deux c'est un plus 3 ces deux +3 c2 est égal à zéro et sur la deuxième ligne g que c'est un plus deux c2 est égal à zéro donc maintenant j'ai un un système à deux équations et pour le résoudre voilà est-ce que je vais faire c'est que j'ai commencé par multiplier la deuxième ligne par par 2 donc donc j'ai si je multiplie par 2 g 2 c'est un + 2 x 2 4 ces deux qui est égal à zéro et maintenant je peux soustraire la première ligne à la deuxièmee donc si je fais ça j'ai deux c1 - de seine donc ça fait 0 0 + 4 c 2 - 3 ces deux ça me fait ces deux donc plus ces deux qui est égal à zéro donc j'ai que ces deux est égal à zéro et maintenant pour ses seins il faut que je remplace ces deux dans cette ligne par 06 je le remplace la g 0 donc j'ai causé un directement aide égale à zéro c'est un est égal à zéro donc là j'ai montré que j'avais si l'égalité la combinaison linéaire de c1 2-2 par nom de mf de vecteur est égal à zéro ça veut dire que les coefficients devant chaque vecteur est égal à zéro donc tu l'auras compris ça veut dire que mes deux vecteurs sont linéairement indépendant et donc que cette famille devait clarifier est une famille cette famille est une famille libre c'est une famille livre de vecteurs et je peux même aller plus loin dire que vu que c'est une famille livre je sais que le vectes levêque tu de ces deux vecteurs je vais les appeler v1 et v2 de v1 v2 c'est vrai que là il est égal à r2 voilà tout tout est lié en fait le fait que les vecteurs soient dépendants ou indépendants le fait que la famille soit libre ou pas et levêque tson sont liés alors maintenant je vais prendre un autre exemple on va prendre une autre famille de vecteurs on va prendre l'ensemble donc des vecteurs je vais prendre les deux autres deux un bon vecteur 2-1 montvicq terre 3 2 et maintenant je vais rajouter un troisième vecteur qui est le vecteur 1 2 et la question est toujours la même j'ai cet ensemble de trois vecteurs est ce que cette famille là est une family brouillés et du coup est ce que ces vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants et du coup pour faire ça je vais faire comme avant je vais prendre l'égalité c'est un fois le vecteur de un plus ces deux fois le vecteur 3 2 plus ces trois fois le vecteur maintenant 1 2 donc cette égalité ces vecteurs d'hommes et rigaud ce c'est cette combinaison linéaire doit être égale à zéro et maintenant ce qu'on cherche et quelles sont les conditions sur c1 c2 et c3 pour que cette égalité soit vrai est ce que les trois collégiens doivent être égaux à zéro ou pas donc comme avant on peut décrire nos équations donc si on prend la 1re ligne g que deux c'est un plus 3 ces deux plus c3 est égal à zéro sur la première ligne et sur la deuxième ligne g que c'est un plus 2 ces deux plus deux ces trois doit être égale à zéro voilà donc maintenant gg unique j'ai deux équations avec trois inconnus et en fait si on réfléchit bien avant de se lancer dans le calcul ici j'ai dit avant que ces deux vecteurs former une famille libre et que le vecteur de ces deux vecteurs était égal à r2 et donc ça veut dire que tous les vecteurs de r2 peuvent s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs et du coup a fortiori ça veut dire que ce vecteur ici peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs donc ça veut dire que c'est les trois vecteurs si on les prend tous ensemble les trois vecteurs vont être linéairement dépendants et que cette famille va être une famille et de vecteurs si je veux marquer ici ça on sait déjà avant calcul que c'est une famille c'est une famille de vecteurs qui est une famille lier ça je le sais parce que je sais déjà que le vecteur de ces deux vecteurs c'est tout r2 alors maintenant si on si on fait le calcul je peux prendre en fait de façon arbitraire je peux prendre une valeur pour pour ces 3 on va voir ce que ça donne je vais prendre que ces trois est égale à 1 de façon de façon complètement arbitraire donc si je remplace ces trois parrains dans ces équations g que deux c'est un plus 3 ses deux plus un est égal à zéro ça c'est ma première équation est ma deuxième question j'ai que c'est un plus 2 ses deux plus de ces trois donc ça fait deux est égal à zéro alors maintenant je vais faire comme avant j'ai multiplié cette deuxième ligne par par deux donc ça me fait que deux c'est un + 2 x 2 4 ses deux plus deux fois 2 4 ici est égal à zéro et maintenant comme avant je peut soustraire cette ligne là à cette ligne ici et du coup je vais obtenir deux c1 - de c1 donc ça fait 0 4 c 2 - 3 ces deux ça me fait ces deux est ici j'ai 4 - un simple et 3 ces deux +3 égal à zéro donc ici je peux déjà résoudre ça me fait que ces deux est égal à -3 hackman en gc 3 jc2 je peux remplacer danser dans cette ligne hi fi mais valeur de c2 et c3 et du coup j'ai que c'est un plus de ces deux donc ça fait moins 6 donc ça fait plus moins six de ces trois ça me fait 2 + 2 est égal à zéro donc ça me fait que c'est un plus - 6 + 2 donc ça fait moins 4 ça fait c est moins quatre égal à zéro ça veut dire que c'est un est égal à 4 donc ici j'ai bien montrer que j'avais une combinaison de c1 c2 c3 avec au moins un décès qui n'ont nulle tels que cette égalité soit vérifiée et du coup j'ai vérifié par une autre façon que cette famille de vecteurs est une famille liée de vecteurs et que ces vecteurs sont du coup linéairement dépendant alors maintenant je peux je peux vérifier mon calcul donc si je remplace c1 c2 et c3 dans cette équation par leurs valeurs que j'ai trouvé ici j'ai quoi j'ai quatre fois le vecteur 2 1 + ces deux on a dit que c'était moins 3 - 3 fois le vecteur 3-2 le vecteur 3 2 plus ces trois c'est égal à 1 donc plus une fois les vecteurs 1 2 et alors à quoi c'est égal ça donc ici j'ai 4 x 2 8 - 3 x 3 donc moins neuf donc ça fait moins un plus un ça fait zéro donc ici le premier coefficient c zéro est le deuxième client g4 plus -6 donc ça fait moins 2 + 2 donc ça fait zéro donc j'ai bien que cette combinaison linéaire est égal aux vecteurs nul alors que les coefficients sont son nom nul des trois coefficient ici son nom nul donc ça confirme que cette famille est une famille liée donc que les vecteurs sont linéairement dépendant est par contre une chose mais auquel il faut faire attention on a dit que ces deux vecteurs former une famille livre donc qu'ils étaient line herman indépendant ça veut pas dire que ce le vecteur qui pose problème c'est forcément celui-là 1 parce que si on prend cette famille ici des sets de vecteurs c'est aussi une famille libre donc en fait c'est pas forcément ce vecteur là qui pose problème c'est le fait d'avoir les trois ensemble qui fait que cette famille est une famille et voilà donc j'espère que maintenant tu comprend un peu mieux les notions de dépendance linéaire ou d'indépendance linéaire de familiers ou des familles libre et du coup je vais faire quelques quelques autres exemples dans la prochaine vidéo