Exemples de sous-espace vectoriel engendré et d'indépendance linéaire

alors dans cette vidéo on va étudier cet ensemble de trois vecteurs ici à trois dimensions donc il ya un petit peu plus compliqué que ce qu'on a vu jusque là et en fait on va essayer de répondre à des questions sur ces vecteurs sur cet ensemble de vecteurs et voilà l'idée c'est que vu que c'est un peu plus compliqué a priori si tu arrives à comprendre ce qu'on dit sur ces vecteurs tu devrais bien comprendre les notions qu'on a on a vu en algèbre linéaire jusqu'à présent donc on va essayer de répondre en fait dans cette vidéo à deux questions la première question c'est est-ce que en fait le vecteur 2e levée de l'ensemble des trois vecteurs ici est-ce qu'il est égal à r 3 donc l'idée est ce que l'ensemble des vecteurs dans r3 peuvent être obtenus par une combinaison in her de ces trois vecteurs ici ça c'est notre première question est la deuxième question c'est une question sur l'indépendance l'indépendance l'indépendance linéaire l'indépendance linéaire de ces trois acteurs est ce que ces trois vecteurs là sont des vecteurs qui sont linéairement indépendant et ça ça revient à poser la question est ce que cette famille de vecteurs eux est une famille libre ça c'est nos deux questions et l'idée c'est d'essayer de répondre à ces deux questions de façon mathématique au cours de cette vidéo alors pour répondre à la première question qui est est ce que le 22e est égale r3 la façon de répondre c'est d'essayer de voir si on peut atteindre sii combinaison linéaire de ces trois vecteurs peut donner n'importe quels vecteurs d'un r3 donc une combinaison l'inr de ses vecteurs on commence à connaître on prend un réel c1 c'est un fois notre premier vecteur donc 1 - 1 2 plus une constante ces deux nous concentrer l ces deux fois notre deuxième vecteur qui est le vecteur de 1,3 plus une troisième constante ces trois fois le troisième vecteur -1 02 est ce qu'on dit ici c'est qu'on veut que cette combinaison in her soit capable d'atteindre tous les évêques souhaitent soit égal à n'importe quels vecteurs du plan donc par exemple on va prendre de façon arbitraire on va prendre un vecteur qu'on appelle le vecteur donc cliqué avec a b c avec abc qui sont trois réelles aléatoire ici je devrais dire que c'est pas la même chose que c1 c2 c3 d'accord c'est un autre c'est un autre réel et la question c'est que si je prends ce vecteur abc complètement quelconque et arbitraire est ce que je suis capable de trouver c1 c2 et c3 tels que se vexe vecteur arbitraire soit il combine des envies fière de ses trois vecteurs hersant là on l'a déjà vu dans les vidéos précédentes pour résoudre ce problème on va écrire en fait les trois équations qui correspondent aux trois lignes de nos de notre de nos vecteurs et on va essayer de voir est ce qu'il ya une une solution en c1 c2 c3 pour ces trois équations alors du coup je vais commencer la première équation donc ici c'est 1,1 du coup c'est une fois c'est un donc c'est un plus deux fois ses deux plus deux fois ces deux - ces trois mois ces trois qui est égal à a le premier le premier coefficient ici ça c'est ma première ligne ma deuxième ligne ici j'ai moins c'est un plus ses deux plus ces deux est ici j'ai zéro fois ces trois donc gg 0 je vais pas de marquer je vais juste marquer que c'est égal à aurait lb ça c'est ma deuxième ligne est ma troisième ligne j'ai ici j'ai deux fois c'est un plus trois fois ses deux plus trois fois ses deux plus deux fois ces trois deux fois ces trois et ça c'est égal à c'est mon troisième coefficient fit donc maintenant j'ai trois équations avec trois inconnus que sont les c1 c2 c3 et je vais essayer de résoudre cette équation donc pour faire ça la façon la plus simple c'est de résoudre par élimination donc par exemple ici vu que j'ai déjà une équation où il n'y a pas assez 3 je vais essayer pour commencer d'éliminer ces trois dans cette équation donc pour faire ça je vais juste faire cette ligne a ici plus deux fois cette ligne là parce que là j'ai un - c3 donc si je multiplie par deux ça fera moins de ces 3 - 2 et 3 plus de ses 3 safra 0 et je vais avoir mon c3 qui va disparaître donc c'est cette ligne on a dit plus deux fois cette ligne là donc si je fais le calcul ici j'ai du coup deux c1 plus de c1 donc ça fait 4 c1 ici j'ai trois ses deux plus du coût deux fois de ces deux donc plus 4 ces deux ont fait cette c2 plus cette fois c'est 2 est ici du coup j'ai deux fois ses trois plus moins deux fois ces trois donc g2c 3 - de ces trois donc j'ai zéro et ça ça doit être égal à ses plus deux fois c'est plus 2a et du coup je peut réécrire les autres lignes comme elle l'était donc ichi g - c'est un plus ces deux qui est égal à b c'est ma deuxième ligne est ma troisième ligne je peux l'écrire comme elles étaient donc ces c'est un plus deux fois ces deux - c3 qui est égal à 1 ça c'était la première étape la deuxième étape maintenant c'est de supprimer ces deux de cette équation je vais continuer je parle ici du coup pour supprimer ces deux dans cette équation il faut que je multiplie par sept cette ligne et qu'ensuite je la soumettrai à cette troisième ligne donc c'est cette ligne - cette fois cette ligne là moi cette fois la deuxième ligne donc au niveau de ces un g4 c1 - - cette c1 donc j'ai quatre c1 plus 7 cm donc ça me fait 11 c'est un donc 11 c1 ici j'ai cette c2 - cette c2 donc j'ai bien les c2 qui disparaissent et ça assez égale à 11 c 1 de pardon pardon pardon c'est égal à c'est plus de ça c'est plus 2 à moins 7 x b - 7b et du coup je peut réécrire encore une fois les autres équation comme elle était donc j'ai moins c'est un plus ces deux qui est égal à b ça c'est la deuxième ligne à la première ligne c'était c'est un plus de ses 2 - c'est 3 qui est égal à a donc une fois que j'ai ça maintenant je peux résoudre donc si je descends ici g11 s'est inquiété gallas et +2 à -7 b donc je peux / 11 de chaque côté donc j'ai c'est un qui est égal à 1 11e fois c'est plus deux à -7 b c'est plutôt à -7 b/g si je remonte gc 2 qui est égal à b plus c'est ainsi je vais si je j'additionne part c'est un de chaque côté donc b + c 1 et sur la première ligne si je si je fais passer le c3 de l'autre côté et le à de l'autre côté j'ai c3 qui est égal à moin na plus c'est un plus de ses 2 donc l'idée c'est que si tu me donnes un vecteur abc quelconque je suis capable de calculer c'est un corset 1 il va être égal à 1 11e de ses +2 à - cb donc c'est un il existe c'est c'est un nombre réel qui existe ensuite je suis capable de calculer ces deux parce que b est un nombre égal qui existe et c'est un est un nombril qui existe et je suis capable de calculer ces trois parce que a est un nombre réel qui existe c'est un aussi et ses deux dauphines donc ce que j'ai dit ici c'est que quelle que soit abaissé je suis capable de calculer c1 c2 c3 tels que ici tel que le vecteur a b c soit une combinaison d'une aire de mes trois vecteurs donc en fait si je reviens à ma question j'ai bien montrer que tout vecteur de r3 peut être exprimé comme une combinaison linéaire de mes trois vecteurs donc ça signifie que le vexe 2 c'est bien r3 donc j'ai répondu à ma première question le vecteur de ces biens r3 alors maintenant on parle de si on parle de d'indépendance linéaire on a vu dans la vidéo précédente que le fait des pour des vecteurs d'être linéairement indépendant c'était en fait équivalent au fait que l'égalité que je vais marquer ici donc si on prend encore 3 réel c'est 1 1 - 1 2 plus ces 2 2 au mans 2e électeurs de 1,3 plus ces trois fois mon troisième vecteur qui est moins 1 02 en fait si une combinaison linéaire de ces trois vecteurs est égal aux vecteurs nue donc aux vecteurs 000 alors le fait que mes trois vecteurs soit linéairement indépendant ça veut dire que cette égalité est vérifié si et seulement si on n'a que ses seins est égal à ces deux est égal à ces trois est égal à zéro voilà là il ya équivalences entre les deux si c'est un égal c'est de égale c3 égal à zéro et si on n'a pas le fait que ces deux eagles et 3 égal à zéro si on a cette égalité sans que celles ci soient vérifiées alors ça veut dire que mes vecteur seront linéairement dépendants et en fait si on compare maintenant à ce qu'on vient de faire est ici ici donc on a une combinaison linéaire des trois vecteurs qui doit être égale aux vecteurs nul et ici on avait fait une combinaison in her 2 et 3 vecteur qui doit être égale à n'importe quels vecteurs donc en fait je peux très bien remplacer métro à coefficient ici par 0 à chaque fois je remplace ses coefficients par 0 j'ai bien l'égalité que je voulais ici donc en fait dans les calculs de c1 c2 c3 si je remplace maintenant à baisser par 0 donc je dis que j'ai acquis est égal à b qui est égal à ces qui est égal à zéro d'accord donc la combinaison in her de mon vecteur qui doit donner le vecteur nu alors je peux calculer mais c1 c2 et c3 pour lequel cette égalité vérifiez donc si je calcule pour montcéens j'ai dit que à égal à zéro donc ça c'est zéro j'ai dit que ben est égal à zéro ça c'est zéro et que c'est égal à zéro donc en fait c'est un c'est un 11e 2 0 donc c'est un est égal à zéro il peut faire la même chose pour ces deux baies on a dit qu'il est égal à zéro et on vient de calculer le on vient de calculer ses seins et en a fixé un est égal à zéro donc c'est un c'est égal à zéro donc ça veut dire que ces deux c'est égal lui aussi à 0 et maintenant je finis pour ces trois ans qu'on a dit que a est égal à zéro que c'est un est égal à zéro et que ces deux est égal à zéro donc ça veut dire que ces trois élus aussi égale à zéro donc ce qu'on vient de dire c'est que la seule solution pour que une combinaison linéaire des trois vecteurs soit égal aux vecteurs nu c'est que les coefficients devant mes trois vecteurs soient tous les trois nuls dont ce que je viens de montrer c'est que ces trois vecteurs sont bien linéairement indépendant donc on a répondu à cette deuxième question on a bien une indépendance linéaire dans cette famille des trois vecteurs et alors c'est intéressant de remarquer ici du coup on a en a trois vecteurs élevé de cet ensemble est égal à r3 c'est ce qu'on a montré et on a montré en notant que ces trois vecteurs était linéairement indépendant et on peut se poser la question est-ce que c'est logique à ce que les deux réponses ici sont liés alors en fait si on n'avait pas indépendant séminaire c'est à dire supposons que là on prenne un autre vecteur qu'on remplace ce vecteur par un autre vecteur qui qui s'obtient par combinaison in her des deux autres à ce moment là si c'était vrai ça veut dire que ce vecteur n'ajoute pas de nouvelle dimension aux actes donc ça veut dire que le vecteur 2e ce serait le même vecteur que ces deux vecteurs et ces deux vecteurs on a vu que deux vecteurs le level maximum ça pouvait être fière d'eux donc en fait ça voudrait dire que si on avait ce vecteur qui est linéairement dépendant des deux autres vecteurs c'est à dire si ce vecteur peut être obtenue par combinaison linéaire des deux autres alors levêque de l'ensemble ne peut pas être supérieur r2 donc on a bien en fait une les deux ici c'est normal à partir du moment où on a dit que le 22e est égal à r3 qu'il y ait indépendance linéaire parce qu'on a trois vecteurs dans cette dans cette famille est en fait l'idée c'est que chacun de ces vecteurs va ajouter une nouvelle dimension avec temps fait on va avoir un premier un premier vecteur qui va être comme ça deuxième vecteur qui va être comme ça et un troisième vecteur donc chacun ajoute une dimension là on est le vecteur de juste ce vecteur c'est une droite levêque tu des deux vecteurs vu qu'ils sont pas collinaires c'est r2c un plan et on va avoir un troisième vecteur qui va qui ne va pas être dans le même plan que les deux autres et du coup qui va ajouter une dune une nouvelle dimension au vectes donc on va bien obtenir au final r3 voilà j'espère que cette vidéo tu as un peu éclairé sur les notions de vérité d'indépendance minière et je te revois pour la vidéo prochaine