Un système sans solution

alors on continue avec un deuxième exemple dans le même principe que la vidéo d'avants n'a donc trois équation à trois inconnues x1 x2 x3 x4 nous perdons trois équations à quatre inconnues alors puisqu'on a ici plus d'inconnues que d'équations on peut penser qu'on va avoir une infinité de solutions et on va voir ici quel type exactement de solutions n'obtient avec ce système donc même méthode que précédemment ont construit la matrice augmenté donc dans chaque colonne j'ai les coefficients devant les inconnus ici un 1 2 devant x1 ici 2 2 4 devant x 2 1 2 0 devant x3 puisqu'on ici on n'a pas de terme en x 3 1 - 1 6 est le vecteur du deuxième membre ici qui est 8 12 4 donc voilà notre matrice augmenté qu'on va essayer de mettre sous forme échelonné réduite alors les opérations utiles à faire ici on va par exemple faire l2 est égal à elles deux - l1 pour faire apparaître des zéros à gauche ici donc c'est parti je fais cette opération donc l1 on le touche pas pour l'instant 1 2 1 1 de l'autre côté 8 donc si je si je soustrais pardon la ligne une à la ligne 2 ça va nous faire 1 - 1 0 2 - 2 0 2 - 1 1 - 1 - 1 - 2 et ici on avoir 12 - 8 ça nous donne 4 donc si on veut éliminer ces deux éléments ici pour faire apparaître des zéros on va faire aussi l3 est égal à elle 3 - 2 l1 donc c'est parti ici j'ai 2 - 2 fois 1 0 4 - 2 fois 2 0 0 - 2 x 1 - 2 et 6 - 2 x 1 4 ici ça nous donne l 3 donc ces 4 - 2 x 8 dont 4 - 16 on tombe sur -12 alors quelle opération judicieuse je peux faire je peux faire apparaître 1 0 ici donc ça va nous faire pour faire ça on va faire l un est égal à l1 - l2 donc on ne va pas toucher la deuxième ligne ici donc on réécrit 001 -2 4 ici par contre elle un on lui soustrait elle de vue donc 1 - 0 0 2 - 0 0 1 - 1 01 - -2 que ça fait 1 + 2 on tombe sur trois ans 8 ici on a donc huit - 4 ça nous fait tout simplement 4 alors on peut aussi s'occuper de la troisième ligne en faisant l3 est égal à elle 3 + 2 l2 ça va nous faire apparaître des 0 donc c'est parti ici on a donc zéro + 2 fois 000 plus deux fois 0-0 - de plus deux fois 1 0 et 4 plus deux fois moins deux donc 4 - 4 0 ici on se retrouve avec -12 + 2 x 4 - 12 +8 ça nous donne moins 4 alors on a fait apparaître ici deux éléments pivot que jean tour en rouge ce sont les seuls éléments n'ont nulle dans leurs colonnes pour les deux autres colonies si on n'a pas d'élément pivot qui apparaît il y en a une colonne complète complètement constitué de zéro qu'on l'a positionné en bas de la matrice alors si je réécris maintenant cette matrice échelonné réduite sous forme de système donc je rappelle c'est très simple puisque chaque colonne correspond au coefficient devant un inconnu précis donc on avait du coup ici pour la première ligne ça va nous donner x un + 2 x 2 + 0 x3 j'aurais pu le ne pas le mettre 1 0 x3 plus 3 6 4 et donc ça c'est égal à 4 ensuite ici j'ai x3 qui vient du 1é 6 - 2 x 4 qui est égal à 4 et enfin ici dernière ligne j'ai zéro x10 x20 x30 x 4 qui est égal à moins 4 donc ça nous donne zéro est égal à moins 4 donc bien sûr 0 est égal à -4 ça c'est complètement impossible donc qu'est ce que ça veut dire que c'est impossible ça veut dire qu'il n'ya pas de solution pour satisfaire ces trois équations alors au début on a vu en fait trois équations à quatre inconnues on se dit peut-être qu'il ya une infinité de solutions or là on vient de trouver qu'il n'y a aucune solution donc on est bien sûr dans un espace de dimensions 4 puisqu'on à quatre inconnues donc ces trois surfaces entre guillemets dans l'espace deux dimensions 4 et bien non en faite pas d'intersections dont aucune intersection alors c'est pas facile à visualiser dans r4 on peut essayer de se donner un petit exemple dans r3 donc par exemple dans r3 on peut imaginer un plan voilà notre plan r3 et on aurait dans ce cas là un deuxième plan qui n'a absolument aucun point d'intersection avec le premier on pourrait par exemple avoir pour ces deux plans les équations suivantes 3 x + 6 y +9 z est égal à 5 et pour le deuxième plan 3x plus 6 y +9 z est égal à 2 donc là on a deux plans qui ont exactement les mêmes coefficient devant x y z mais qui ont deux constantes différentes donc ces deux plans qui ne sont pas ces camps sur 7 donc sur ce petit exemple dans r36 j'appelle l1 cette première ligne l2 celle ci si je fais l1 - l2 eh bien ça ça nous donne tout simplement zéro ici 0 est égal à 3 donc c'est bien sûr encore une fois impossible il n'y a pas de solution sur cet exemple également alors dans un premier temps quand on voit qu'on a plus d'inconnues que d'équations on peut penser qu'il ya une infinité de solutions mais il ya effectivement des cas où on a pas du tout de solutions donc pour résumer si on est dans le cas on tombe sur une équation du genre 0 égal 1 avec un nul eh bien il n'y a pas de solution c'est impossible pas de solution deuxième possibilité c'est lorsqu'on arrive à avoir le même nombre de pivot que deux variables par exemple si j'ai un 0 0 0 1 0 0 0 1 est ici un b c est bien dans ce cas là on a tout simplement une solution unique et troisième cas de figure possibles c'est lorsqu'on a des variables libre donc je vais prendre un exemple ici par exemple je vais avoir 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 et avec ici sur notre matrice augmenté 0,5 de vue donc je rappelle que si j'ai pas zéro ici et que j'ai que des zéros en face alors j'ai oublié 1-0 ici voilà donc si j'ai pas à zéro ici et que j'ai que des héros en face alors on est dans le premier cas c'est à dire pas de solution ici on reconnaît deux éléments pivot et deux colonnes libre en fête de variables libre et donc dans ce cas précis on a des variables libre et donc on n'a pas de solution unique on a une infinité de solutions donc à bien retenir ces trois cas si on tombe sur une égalité impossible du type 0 et il ya le 2 0 également 1,4 dans ce cas là il n'y a pas de solution si on a bien le même nombre de pivot que deux variables alors à ce moment là on a une solution unique et si on a des variables libre comme ici il y à une infinité de solutions