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Espace vectoriel engendré par les colonnes d'une matrice

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a on a beaucoup parlé du noyau doigts et en fait dans cette vidéo je devais faire intervenir une autre propriété de la matrice 1 on va appeler l'image doit donc l'idée c'est si on prend une matrice à et on dit que cette matrice as et les elle est définie par des vecteurs colonnes v1 v2 et ses caves et n ça c'est une une notation qu'on a vus auparavant et on va dire que l'image ce qu'on va appeler l'image de la matrice à ces levêque tu le vecteur des vecteurs colonnes v1 v2 jusqu'à vienne levêque de v1 v2 et cetera jusqu'à vn la première chose à faire c'est on va essayer de montrer que l'image de à 7,1 sous espaces par exemple si on prend que a c'est une matrice m x n ça veut dire que tous les vecteurs ici appartiennent à arm ils appartiennent tous à m donc on va essayer de montrer que l'image de à c'est un sou espace de r m alors donc la première chose à faire levêque tu en sais c'est là la combinaison linéaire des vecteurs donc si on prend le vecteur 0 vous avez un plusieurs fois v2 +0 fauves et toi avec stages qu'à 0 x v m ça va nous donner le vecteur nul donc le vecteur nul est bien inclus dans l'image de a donc ce que j'ai dit 0 le vecteur nul est inclus dans l'image de ah ça c'est le premier point à vérifier le deuxième point à vérifier c'est la stabilité par addition donc si on prend par exemple de vecteurs a et b qui appartiennent tous les deux à l'image de à tous les deux à l'image de a alors est ce que le lecteur a + b appartient à l'image de ah bon alors pour ça si à appartient à l'image de soi ça veut dire que à peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ses vecteurs donc on va dire que a est égal à à 1 v1 plus à 2 v 2 plus et c'est plus à nvn ça c'est mon rectorat et mon vecteur b de même façon il s'écrit sous la forme b info avait un plus b 2 x v 2 + etc jusqu'à bnv n donc j'essaie de vecteurs et moi ce que je veux montrer c'est que le vecteur à puce b appartient à l'image de a donc si on calcule le vecteur a + b c'est égal à quoi ces gars-là à un plus b 1 selon v un plus à 2 + b 2 selon les deux plus etc jusqu'à aen plus bn fois vn donc ça c'est bien une combinaison linéaire de mai vecteur v1 v2 jusqu'à vn donc le vecteur à puce b il appartient bien à l'image de à appliquer appartient à l'image de rats donc ça c'était le deuxième point c'est la stabilité par addition le premier point c'était que le vecteur nul appartient à l'imagerie et le troisième point c'est la stabilité par multiplication scalaires donc si j'ai un réel c'est donc ce qui appartient à r c'est fois à ségalas quoi ces gars-là c'est à 1 v1 plus c'est à 2 v2 plus et cetera jusqu'à c'est à nvn et ça le vecteur c'est assez bien aussi une combinaison une aire de mai vecteur v1 v2 jusqu'à vn donc le vecteur ca appartient lui aussi à l'image de a donc l'image de à c'est bien une c'est bien un sou espace de r puissance m je veux marquer ici on a dit l'image de à l'image de la c1 sous espaces c'est un sou espaces et encore une fois ici j'ai pas fait de d'hypothèses sur un donc ça c'est vrai quel que soit quelle que soit à l'image de à est un sou espace 2 de rmi si dans le cas où la matrice cm x alors maintenant on va prendre les choses un peu différemment on va on va regarder un autre espace on va regarder l'ensemble pardon qui est définie par l'ensemble des vecteurs à x la multiplication d'une matrice par un vecteur nous donne aux acteurs donc ça c'est bien un ensemble de vecteurs tels que x en fait parcours x appartient air puissance n de toute façon x doit forcément appartenir à airbus en scène sinon le produit de à paris xe n'existe pas nous voilà donc on prend l'ensemble des vecteurs qu'on va créer en multipliant à paris xe avec x qui peut parcourir tous fn par sens la vue ainsi on dit ici j'ai mon vecteur x donc qu'ils aient x1 x2 et serrage kxn le vecteur ax ax je peux l'écrire comme x 1 x v 1 + x 2 x v 2 + x l x vn donc c'est x 1 v1 plus xe2v 2 plus et cetera jusqu'à xnv n donc ce qui veut dire que quand j'écris ça quand j'écris l'ensemble des vecteurs ax tels que x appartient à rennes c'est la même chose qu écrire c'est la même chose qui écrivent l'ensemble des vecteurs x 1 v1 plus xe2v 2 + etc jusqu'à xnv n tels que les x1 x2 et cetera jusqu'à x n appartiennent tous à r que j'écrive ça ou que j'écrive ça c'est la même chose j'ai écrit exactement la même chose parce que quand x parcours tout est reine les x1 x2 jusqu'à l'excès ni parcours chacun tout air et averses à assat assez directement ici c'est une combinaison linéaire des vecteurs et v1 v2 jusqu'à vn et du coup par définition ça cet ensemble là c'est égal ou vectes c'est égal avec tu devais un v2 cetera jusqu'à vn et du coup par définition c'est égal aussi à l'image de a donc en fait cet ensemble ici c'est une autre façon d'écrire l'image de à elle est en fait assez parlante pas ce que ça veut dire que l'image de à c'est tous les vecteurs que l'on peut créer en multipliant la matrice à part un vecteur x tel que x soit n'importe quels vecteurs dans rennes par exemple ça va nous aider si je prends prenons l'équation suivante je prends l'équation à x égale un certain b 1-1 certains vecteurs b1 est ce que je dis c'est que ce vecteur b1 je suppose qu'il n'appartient pas appartient pas on l'écrit appartient barre et il n'appartient pas à l'image de à je suppose que b1 n'appartient pas à l'image de 1 et ma question c'est quelles sont les x qui vérifie à ce moment là cette équation mais ce que j'ai dit c'est que si b1 n'appartient pas à l'image de à d'après ce que j'ai dit ici bien ne peut pas s'écrire sous la forme à x x donc ça veut dire que l'équation ax égal à bien n'a pas de solution c'est une équation qui n'a pas de solution vu que b1 ne peut pas s'écrire sous la forme à x x donc cette équation n'a pas de solution maintenant prenons l'équation ax égale b2 et on va supposer que que cette équation à au moins une solution qu'on va dire que c'était quoi sur à au moins une solution il peut en avoir plusieurs milles en a au moins une à ce moment là qu'est ce que ça veut dire ça veut dire qu' il existe un 1 1 x tel que ax soit égal à b2 et donc ça veut dire que b2 appartient à cet ensemble créé par les ait vu qu'il existe un x tel que ax soit égal à b2 donc ça veut dire que b2 appartient à l'image de à b2 appartient à l'image de 1 donc voilà tout ça il ya des choses qui peuvent paraître un peu évident mais finalement on a essayé d'introduire les choses plus d'à petits et puis dans la vidéo précédente on va commencer à regrouper justement les idées de noailles au delà de l'image de aille voir ce qu'on peut faire avec tout ça