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Dimension de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonne d'une matrice ou rang

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va prendre cette matrice à et on va s'intéresser à l'image de à l'image de à l'image de à l'image de on sait on l'a déjà vu que si on prend les vecteurs colonies si par exemple on va les noté a1 a2 etc jusqu'à ici on va voir à 5 à 5 on sait que l'image doit on écrit hymne de à c'est égal à quoi ces galops vectes de ses vecteurs donc wrecked 2 à 1 a2 a3 a4 et a5 ça c'est par définition c'est ce qu'on avait vu au début et nous ce qui nous intéresse c'est de chercher une base de on va essayer de trouver une base ne parlerons pas une base doit une base de l'image de à une base 2002 à et du coup on a besoin d'une famille qui soit à la fois une famille génératrice qui soient génératrices de l'image de a donc génère il doit et qu'ils soient aussi linéairement indépendante linéairement indépendante du coup la première question qu'on peut se poser c'est est-ce que cette famille qu'on a là on sait qu'elle est génératrice de l'image doit mais est ce qu'elle est linéairement indépendante est ce qu'elle est linéairement indépendante c'est la question à laquelle on va essayer de répondre et pour faire ça on va passer par la matrice échelonné réduite donc ça maintenant on sait faire on va prendre cette matrice là on va réécrire la première ligne comme ça et on va essayer de faire apparaître des héros en dessous du 1 donc j'ai ici 1 0 - 1 04 et du coup ici si je fais cette ligne la deuxième ligne moins deux fois la première ligne ici j'ai zéro ici j'ai un ici j'ai ici j'ai 2 ici j'ai zéro et ici j'ai un maintenant pour cette ligne je peux faire cette ligne plus la troisième ligne plus la première ligne donc si je fais ça ici j'ai obtenu un zéro ici je vais obtenir 1 2 ici je vais obtenir 5 - 1 donc ça fait 4 ici un plus zéro ça fait 1 ici - 5 + 4 ça fait moins 1 et pour la dernière ligne du coup je vais faire la dernière ligne - la première ligne du cou 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 3 - 1 - 1 donc ça fait moins 2 - 2 - 0 - 2 et 9 - 4 ça fait 5 donc ça c'était la première étape maintenant je peux continuer mon calcul donc je vois que mon premier pivot il est ici et ici je vais avoir un deuxième pivot qui va apparaître il faut juste que je fasse apparaître des héros ici ici j'ai déjà 1 0 donc ça c'est pas un problème mais il faut que je fasse apparaître des 0 ici donc je peut réécrire mettre deux premières lignes du budget pas toucher à la première donc ici 1 0 - 1 04 ici 012 01 ici je vais faire la troisième ligne - deux fois la première la deuxième ligne donc si je veux avoir zéro ici de moins-20 ici 4 - 2 fois 2 0 ici 1 - 0 ça me fait un pays si moins en moins deux fois 1 ça me fait moins 3 et sur la dynamique je vais faire tout simplement la dernière ligne plus la deuxième ligne donc je vais voir ici 0 ici - 1 + 1 0 - 2 + 2 0 - 2 + 0 - 2 et 5 + 1 6 donc ça c'est la fin de deuxième étape donc si je regarde mes pivots sont ici et ici il fila je vais avoir une une variable libre et mon troisième pivot va être ici il faut maintenant que je fasse disparaître le moins de ici donc si je fais ça donc je peux garder mes trois premières lignes comme elles sont je vais avoir un 0 - 1 04 0 1 2 0 1 0 0 0 1 - 3 et du coup ici je vais faire la dernière ligne plus de fois l'avant de la troisième ligne et du coup ici j'ai bien 000 - 2 + 2 0 - 6 - 6 0 donc ça c'est ma matrice échelonné réduite et du coup les pivots j'en ai parlé les pivots sont ici ça c'est un pivot ça c'est un pivot ça c'est un pivot donc j'ai noté les colonnes correspondante je veux dire que les vecteurs colonnes correspondant je veux dire que sa cr un sas où est le vecteur colonnes r2 ça le vecteur colonnes r4 et on voit que si on regarde ces colonnes vecteur ici r1 r2 r4 ils sont bien linéairement indépendant parce que ici si on regarde r1j 1 1 mais ici g10 ici j'ai un terreau donc et rien ne peut pas être obtenu par combinaison in her 2 r2 et de r4 r2 ici g11 ici g10 est ici g10 donc r2 ne peut pas non plus être obtenue par combinaison une ère de l 1 et 2 4 et à 4 et 6 juin alors qu'ils g10 ici j'ai un terreau donc à 4 ne peut pas être obtenu par combinaison lunaire de r2d2 avant donc je peux dire je sais que ma famille composée de r1 r2 et r4 est une famille linéairement indépendante ça c'est ce que je veux montrer ici rapidement est ce que je vais dire alors que je les ai pas démontrée mais ce que je veux dire c'est que en fait on peut dire la même chose ce qu'on a dit sur r1 r2 r4 on peut dire la même chose sur les vecteurs colonnes a1 a2 et a4 ces trois vecteurs colonnes seront aussi forment ensemble une famille linéairement indépendante coup ce que j c'est que alors sa gelée je n'ai pas démontré un effet il faut me croire mais je le démontre et aurait peut-être dans la vidéo prochaine ça ce que je dis c'est que si r1 r2 r4 forment une famille linéaments indépendante alors à 1 à 2 et à quatre formes aussi une famille linéairement sont aussi linéairement indépendant forment une famille ce qu'on appelle une famille libre alors maintenant est ce que cette famille est génératrice de l'image doit en fait oui alors ici c'est dur à le voit mais on peut en fait montré que ces vecteurs colonies s'ils peuvent être obtenues par des combinaisons in her 2 à 1 2 à 2 et 2 à 4 et en fait c'est plus facile à le voir sur la forme échelonné réduite si au regard de ce vecteur colonne ici eh ben il peut facilement être obtenue avec une combinaison lunaire de r1 est de eur 2 il suffit de prendre - eyrein où ça va me donner le moins ici + 2 ou r2 qui va me donner le wifi et du coup j'ai bien obtenu ce r3 comme une combinaison une aire de r and war 2 est de la même façon ce vecteur vu qu'ici je le seul qui a un coefficient n'ont nulle sur la première ligne cr1 je peux dire que c'est 80 + r 2 - 3 r 3 et la j'obtiens bien bon r5 je l'obtienne là encore comme une combinaison linéaire de mai vecteur r1 r2 r4 en fait c'est exactement la même chose ici à trois et à cinq jeux peut les obtenir comme combinaison une aire de à 1 2 à 2 et 2 à 4 donc ce qui veut dire que cette famille a deux à quatre et linéairement indépendante on peut aussi dire maintenant qu'elle est génératrice elle génère l'image de à et du coup cette famille c'est une base de l'image de là c'est une base de l'image de a qu'en fait on n'a pas besoin ici c'est cette famille là pour répondre à ma question cette famille là n'était pas linéairement les vecteurs n'était pas linéairement indépendant en fait il ya ce vecteur là et ce vecteur là qui sont redondants et du coup pour former une base de l'imagerie on a besoin uniquement de a1 à a2 et a4 et alors si tu as vu la dernière la dernière vidéo ou celle d'avant j'ai relié le nombre d'éléments dans une base à la dimension du fuse espaces et on a dit que la dimension d'un sous espace ce qui est égal au nombre d'éléments dans une base de ceux-ci espace donc ici si je regarde la dimension de l'image de la dimension de l'image de à c'est égal au nombre d'éléments dans cette base donc c'est égal à 3 est en fait ce seul la dimension de l'image de à sa annoncé ce qu'on appelle le rende à donc on écrit rg c'est le rang 2 à et ça du coup c'est égal à trois jeunes étaient ça c'est le rang 2 à leur grande de haïti est égal à 3 voilà j'espère que c'est clair la façon dont j'ai obtenu une base de l'image de la même si je dois avouer que j'ai pas du tout démontrer et du coup grâce à cette base on a pu avoir la dimension de l'image d'israël c'est ce qu'on appelle le rende à