Dimension du noyau

alors dans cette vidéo on va prendre une matrice béquilles et comme ceux ci et on va déterminer son noyau et on va d d'amener on va essayer de déterminer la dimension de son noyau donc le noyau on sait déjà c'est le noyau de b qu'on appelle caire de b il est égal à l'ensemble qui comprend tous les vecteurs x qui appartient à r5 ici parce qu'il faut des vecteurs de r5 tous les vecteurs x2 r5 tête que le produit de la matrice b fois le vecteur x soit égal aux vecteurs nul ça on l'a vu c'est là c'est la définition du noyau de b et on a vu aussi que le noyau b il était égal au noyau de la matrice échelonné réduite correspondant à b donc de la matrice échelonné réduite correspondant à b donc pour calculer le noyau où l on l'a déjà fait on va calculer la matrice échelonné réduite et ensuite ça nous aidera à calculer le noyau donc si on part deux baies pour obtenir la matrice échelonné réduite on fait comme d'habitude je vais garder la première une constante et je vais changer la deuxième ligne donc la première l'insee 1 1 2 3 et 2 et du coup la deuxième ligne je vais faire la deuxième ligne - la première vit donc ici ça me fait zéro ici à moins-10 ici 3 - 2 1 ici à - 3 - 2 est ici 4 - 2 2 donc ça c'est la première étape et ensuite ce que je vais faire c'est que je vois ici mon pivot il est ici donc je vais vouloir annuler le de ici donc je vais garder la deuxième ligne constante et je vais faire la première ligne - là de moins deux fois la deuxième ligne donc ce chiffre marque 0 0 1 - 2 2 et du coup j'ai dit que j'en placer la première ligne par la première ligne - deux fois la deuxième ligne donc ici ça va pas changer un moins deux fois 0-0 1-1 mondes de feu 0,1 de moins 2 fois 1 0 ce que je voulais faire ici 3 - 2 fois moins deux donc ça fait 7 est ici deux fois 2 - 2 x 2 ça fait moins deux donc ça c'est ma matrice échelonné réduite à matrix et chez le nez le 8 et du coup maintenant ce qu'on veut savoir le noyau de cette matrice pour faire ça on va multiplier cette matrice par un vecteur x quelconque donc x1 x2 x3 x4 et x5 et on va dire que le produit de cette matrice par le vecteur doit nous donner le vecteur nul donc ici ses lecteurs 0-0 et je peux repasser sa sous forme maintenant d'un système d'équations donc si je fais ça la première ligne ça me donne x 1 x 1 je marquais d'une couleur différente les deux pivots mais depuis volition ici essayez donc x1 et ensuite il ne s'est pas un pivot donc plus x 2 plus 7 x 4 ici - 2/6 cac -2 6 5 - 2 x 5 est égal à 0 - 0 ici ça c'est ma première ligne est ma deuxième ligne du coup j'ai 0 x1 + 0 x2 plus x3 c'est mon pivot x 3 - 2 x 4 - 2 x 4 + de zyc 5 + 2 x 5 égal à zéro et du coup maintenant si j'exprime x1 x3 en fonction des autres variables libre gx un qui est égal à -6 2 - 7 x 4 + de zyc 5,2 x5 et x3 qui est égal à 2 x 4 + 2 x 5 - 2 x 5 - 2 x 5 du coup maintenant qu'on a ça on peut exprimer le vecteur les vecteurs appartenant au noyau comme une combinaison linéaire de vecteurs donc je veux dire que mon vecteurs il fit x1 x2 x3 x4 et x5 je vais l'écrire comme de vecteurs donc ici java x 2 x 1 premier vecteur plus x 4 fois un deuxième vecteur + x 5 x un troisième vecteur la x 2 x 4 x 5 c'est bien mais trois variables libre et du coup je vais avoir quoi dans les lecteurs alors je sais que x 1c - x26 genre en moins en moins 7 6 4 7 6 4 + de zyc cinq ans 8 x 2 c'est une variable libre mes coups ça va être juste et égale à 1 x 2 + 0 x4 plusieurs x5 x3 c'est une variable pivot qui vaut 2 x 4 - 2 x 5 donc zéro x 2 2 x 4 - 2 x 5 x 4 est égal à x 4 et x5 est égal à x5 donc voilà maintenant j'ai appelé ces trois vecteurs v1 v2 et v3 et du coup je sais que tous les x qui sont dans le tous les vecteurs x qui sont dans le noyau de b s'écrivent sous la forme d'une combinaison linéaire devait un v2 et v3 ce qui veut dire que le noyau de b il est égal au vectes de v1 v2 et v3 je veux marquer ici je dis que le noyau par ces noyaux de la matrice échelonné réduite mais illégales ou noyau de b jeu directement écrire le noyau de b il est égal on a dit aux vectes de v1 v2 et v3 alors ça c'est quelque chose qu'on a on l'a déjà fait plusieurs fois mais la question qu'on se pose la question qui est importante c'est est ce que est ce que cet ensemble et linéairement indépendant est-ce que là on a un ensemble où une famille qui est linéairement indépendante ça c'est la question parce que si cette famille et linéairement indépendante alors on peut dire que v1 v2 v3 forme une base du noyau de b le si céline herman dépendant alors c'est pas le cas et en fait ce qu'on voit sur garni si ces trois vecteurs ici on voit qu'on a un et ce1 ils associés dans les deux autres réacteurs à des 0 ici et ici ça veut dire que quels que soient sa veut dire qu'on est incapable de d'exprimer ce vecteur v1 comme une combinaison une aire de v2 et v3 donc quelles que soient les facteurs is 4 et 5 ça nous fait zéro x x 4 + 0 folique 5 on n'arrivera jamais à 1 donc v1 linéaments independent ne peut pas s'exprimer comme combinaison lunaire des deux autres et de la même façon ici dans v 2 on a un ici qui associé à 0 ici et ici donc v2 ne va pas pouvoir s'exprimer comme une combinaison de lumière devait arrêter 3 et pour finir voilà je vois que j'ai fait une erreur ici 1 1 ici c'est x5 est égale à une fois x5 ça c'est 1 1 et du coup ici j'ai à 1 et par cinq piges ya un qui associé ici à 1 0 est ici 1 0 donc de la même façon v3 ne veut pas s'exprimer comme une combinaison l'inr de v1 et v2 et donc l'ensemble où la famille v1 v2 en effet 3 forment une base du noyau de b c'est une base deux guerres de b parce que aucun des éléments ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des deux autres donc ça veut dire que la famille est bien linéairement indépendante et du coup c'est une famille linéairement indépendante qui génère le noyau de b donc c'est bien une base du noyau de b et alors si tu as suivi la vidéo précédente on a parlé on a commencé à parler de la dimension d'un sous espaces et on a dit que la dimension d'un seul espace la dimension d'un sous espace sous espace v on va l'appeler à quoi c'est égal la dimension donc on note dim devait c'est égal au nombre d'éléments d'une base devait d'une base de v en fait on a dit que toutes les bases de v devait avoir le même nombre d'éléments donc la dimension de wc égal au nombre d'éléments dans une base quelconque devait et du coup une fois qu'on a dit ça ben maintenant on peut calculer la dimension du noyau b on peut dire que la dimension la dimension du noyau de b c'est égal à quoi ces galops nombre d'éléments dans une base devait donc ici on a un élément deuxième en trois éléments donc la dimension du noyau de b c'est égal à 3 en fait si on regarde un peu plus en détails on voit que ça correspond exactement au nombre de variables libre que j'ai ici qu'en fait la dimension du noyau chief legal la dimension du noyau d'une matrice à quelconque g qu'il est égal au nombre de variables libre ou de deux colonnes qui ne sont pas des clones pivot on va dire on va dire des variables libre ça ça veut dire une chose nombre de variables hymne de variables libre dans la matrice échelonné réduite de la matrice échelonné réduite donc en fait ça veut dire que ici à partir du moment où j'ai vu que ici j'avais trois variables libre qui correspondent à ces trois colonies si j'aurais pu m'arrêter ici dire que la dimension deux mondes du noyau de matrix c3 parce que j'ai trois variables libre et ça m'aurait épargné de faire tout le travail que j'ai fait ici pour montrer que v1 v2 et v3 est une famille qui est une base du noyau de ben et que du coup là la dimension du noyau b est égal à 3 j'aurais pu la voir directement voilà donc j'espère que tu as trouvez ça utile et puis je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo