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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :10:23

Transcription de la vidéo

il ya quelques vidéos de ça on a parlé de sous espace dessous espace on a défini les sous espaces et on a dit que pour être un sou espaces il fallait vérifier trois conditions d'adoption prend un sou espace s on a dit qu'il fallait que le vecteur nul appartiennent à s ça c'est la première condition on a dit que la deuxième condition si on a deux vecteurs v1 et v2 ces deux vecteurs qui appartiennent à s alors on doit avoir que v1 plus v2 le vecteur v1 plus v2 doit être un vecteur qui appartient aussi à s ça c'est là la stabilité par addition est la troisième condition section prend un réel c'est donc qui appartient air est un vecteur v1 qui appartient à s v1 qui apparaissent alors le vecteur ses x v 1 doit aussi appartenir à s ça c'est la stabilité par multiplication donc on a trois conditions pour que un certain ensemble soit un sou espace de r n par exemple et dans la vidéo précédente on a parlé des matrices par exemple on peut prendre une matrice à de taille m x n est la question qu on a maintenant c'est que si on prend une équation homogène donc si on fait la multiplication de cette matrice à part un vecteur x si on dit que ce vecteur donc parce que le produit de la maaf et sa part fait par un facteur ix ça donne un vecteur si on dit que ce vecteur est égal au vecteur nul c'est ce qu'on appelle une équation homogène et le fait qu'on dise homogène ça vient du fait que c'est égal à zéro ça c'est homogène la question qu'on a c'est si on prend l'ensemble des vecteurs x qui vérifie cette équation donc l'ensemble des vecteurs x tel que le produit de la fois it's hot égal à zéro est ce que ça nous donne un sou espaces donc si je prends la question c'est si je prends mon vêtement sous-ensembles haine qui est l'ensemble des vecteurs ixe et xe en fait ici doit appartenir à air puissance n x appartient air puissance n forcément pourquoi parce que sinon le produit de à paris x n'est pas vérifiée vu que am colonnes il faut que x appartiennent arn donc mon ensemble c'est l'ensemble des vecteurs ix qui appartiennent à airaines tels que le produit de à paris ixe soit égal avec temps nul ça ça c'est un ensemble qui va des bandes bien sûr de matrice à mêler l'idée c'est quelle que soit ma maîtrise à est-ce que l'ensemble associés qui est cet ensemble ci est un sou espace de rn la question c'est est-ce que ça c'est un sou espace un sou espaces alors pour répondre à cette question mais on va vérifier est ce que ces trois conditions ici sont vérifiées donc la première question c'est est-ce que le vecteur nul appartient à mon ensemble n donc la question c'est est-ce que le produit de à foix le vecteur nul est-ce que ça c'est égal à quoi c'est égal donc pour répondre à cette question je prendre ma matrix 1 donc ma batterie ça c'est à 1,1 à 1,2 et c'est jusqu'à à 1 n est ici à 2,1 et cetera jusqu'à am1 est ici jusqu'à à m n donc ça c'est ma batterie ça et la question c'est à foix le vecteur nul donc le vecteur nul il va avoir n coefficient ça va être une fois 0 je vais le faire d'une taille différente parce que c'est pas ici à haisnes coefficient ici à m coefficient donc c'est 0-0 et c'est jusqu'au dernier que chien qui est zéro et donc à quoi illégal ce produit si on fait le calcul on n'a que qu'est ce qu'on a sur la première le premier coach ma fille ça va être à 1 x 0 plus à 1,2 fois zéro + etc jusqu'à aaen x 0 ça fait zéro plus zéro plus zéro plus zéro une fois donc ça fait zéro le 1er confiance et euros de la même façon le deuxième ça va être à 2,1 fois zéro plus à deux fois 0 extérieur caa2 n x 0 donc ça va faire encore 0 donc en fait chaque chien ici va être égal à zéro donc j'ai bien que le produit de la matrice à quelle que soit la matrice à foix le vecteur nul me donne le vecteur nul le fait que quelle que soit la matrice à le produit de la matrice à foix le vecteur nuls soit égal avec tant mieux ça veut bien dire que le vecteur nul est compris dans mon ensemble n donc la première condition est bien vérifié pour aisne pour mon ensemble n parce que je les dis le vecteur nul appartient bien à n la deuxième condition c'est si j'ai deux vecteurs v1 v2 qui appartient hanifi à n donc si j'ai v1 et v2 puis appartient à m alors est-ce que le vecteur v1 bus v2 appartient à m si j'ai v1 et v2 cap ferret ça veut dire que à foix v1 est égal à zéro et à fo avait 2 est égal à zéro au vecteur nul plus exactement égal aux vecteurs nul donc si j'ai les deux qui sont égaux à zéro si je prends maintenant le vecteur v1 puisque les deux donc le produit de matrice à foix le vecteur v1 plus v2 en fait ça j'ai pas j'ai pas démontrée mais le produit d'une matrice pour un vecteur et distributif donc ça c'est comme j'ai dit j'ai pas démontrée mais tu peux le faire assez simplement maintenant qu'on a défini le produit d'une matrice par un vecteur tu peux montrer que ce produit est distributif et si les distributif alors j'ai que le produit de à foix vient plus des 2 c a fait un plus à v2 or je sais que v1 et v2 appartiennent à à à mon ensemble n donc avait un est égal avec tendu les caves et de est égal aux actes en eut donc ça veut dire que ici c'est égal aux vecteurs nul ici c'est égal avec temps nul et du coup à foix vient plus des deux est bien égal aux vecteurs nul est donc la deuxième condition est bien vérifier ça ça prouve que v1 plus v2 le vecteur v1 plus v2 appartient à m donc mon ensemble est stable par addition du coup la dernière condition qui nous manque c'est la stabilité par multiplication scalaires donc si je prends maintenant un vecteur v1 qui appartient à n est un réel c c appartient air alors que vous le produit à foix cv 1 à foix cv 1 là encore c'est une propriété que j'ai pas démontrée mais que tu peux faire par toi même c'est démontré que le produit d'une matrice par un vecteur est associatif et si ce produit bien sédatifs alors je peut réécrire cette égalité je pourrais écrire ça sous la forme c'est fois à v1 et ça je sais avait vu que v1 appartient-elle je sais que avait est égal aux vecteurs nul et c'est faux le vecteur nul c'est égal aux vecteurs nul donc j'ai que à foix le vecteur c'est v1 est égal avec temps nul donc ça se vérifie ma troisième condition parce que j'ai que ces x v 1 appartient à m et du coup là j'ai démontré que 0 appartient à haisnes que si v1 et v2 appartiennent alors v1 plus v2 appartient à haisnes que si v1 appartiennent et que c'est appartient air à leur cv 1 appartiennent donc j'ai bien prouver que n est bien un sou espace de r n ça je l'éprouvé et en fait ça tu remarqueras que j'ai fait aucune hypothèse sur matrix à ça c'est vrai quelle que soit la matrice a en fait ce sous espace ici n on va l'appeler n on va l'appeler le noyau le noyau de la matrice à le noyau de à et en fait on va noter n on va dire qu'on va le noter comme care cas le r2 a fait ça vient de l'allemand de l'allemand pour noyau rnc bien le caire 2 ac le noyau de a donc voilà dans cette vidéo on s'est servi d'eux de ce qu'on connaissait sur les sous espace pour démontrer que cet ensemble ici était bien ce n'est ce pas ce qu'on appelle le noyau de a et qui en fait une propriété importante de la matrice a donc dans cette vidéo en fait on s'est servi de ce qu'on connaissait sur les sous espace pour démontrer que si on définit un ensemble comme l'ensemble des vecteurs tels que le produit d'une matrice à foix ce vecteur est égal avec temps nu on a démontré que les trois conditions pour que cet ensemble soit sous espaces étaient réunis donc zéro appartient à n l'ensemble est stable par addition il est stable par multiplication scalaires donc c'est bien sous espaces et c'est un souhait ce pas ce qu'on appelle le noyau de a et qu'on note caire 2 à